第10章概率重组练习（含答案）-2025-2026学年数学人教A版必修第二册

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第10章概率重组练习-2025-2026学年数学人教A版必修第二册
一、选择题
1．新高考选科要求，语数外+（物理、历史）二选一+（政治、地理、化学、生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B“选历史”，事件C“选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（　　）
A．事件C与事件D互斥 B．
C．事件A与事件B对立 D．
2．不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（　　）．
A． B． C． D．
3．设是一个随机试验中的两个互斥事件，且，则（　　）
A． B． C． D．
4．投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（　　）.
A．是和 B．只有 C．只有 D．不存在
5．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（　　）
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
6．现有4名男志愿者和2名女志愿者报名参加第21届文博会的服务工作，从这6名志愿者中随机抽取2人安排在文博会的A展区工作，则抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．已知事件，满足，，则（　　）
A．若，则
B．若与相互独立则
C．若与相互独立，则
D．若与互斥，则
8．2024年6月，国家卫健委等16部门联合发布《“体重管理年”活动实施方案》，旨在通过三年行动提升全民体重管理意识，推广健康生活方式.体重指数（体重公斤数除以身高米数平方）是常用的衡量人体胖瘦程度的一个标准，中国成人参考标准如下表.某中学在高三年级学生中随机抽取10人并计算出他们的体重指数分别为：16，18，18，19，19.7，20.3，21，22，26，30，则下列结论不正确的是（　　）
偏瘦 <18.5
正常 18.5~23.9
偏胖 24~27.9
肥胖 ≥28
A．这组数据的中位数为20
B．该组数据的极差为14
C．这十个人的平均体重正常
D．从该校学生中随机抽取一人，体重偏胖概率为20%
二、多项选择题
9．将一颗质地均匀的正方体骰子抛掷1次，记试验的样本空间是，事件，则（　　）
A．与是互斥事件 B．事件与相互独立
C． D．
10．已知，为随机事件，，，则下列结论正确的有（　　）
A．若，为互斥事件，则
B．若，为互斥事件，则
C．若，相互独立，则
D．若，相互独立，则
11．下列说法正确的是（　　）
A．数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数是7
B．若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为16
C．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥
D．若事件与事件相互独立，，，则
三、填空题
12．小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与小吴分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会答的概率为　 　
13．在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是　 　
14．天津是一个历史悠久的文化古都，五大道，石家大院，古文化街，鼓楼这四个景点又是天津十分有名的旅游胜地．已知某游客游览五大道的概率为，游览石家大院，古文化街，鼓楼的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客只游览一个景点的概率为　 　；该游客至少游览三个景点的概率为　 　．
四、解答题
15．甲、乙两人参加射击训练，甲每次击中目标的概率都是，乙每次击中目标的概率都是，假设每人每次射击的结果相互独立.
（1）若甲、乙各射击1次，求甲击中目标次数等于乙击中目标次数的概率；
（2）若甲、乙各射击2次，求甲、乙两人中至少有一人击中目标2次的概率.
16．某班级举行“数学文化节”活动，其中有一个“双人答题闯关环节”规则如下：甲、乙两人分别从包含道传统文化题和道数学历史题的题袋中随机抽取道题作答（抽出的题不放回）.已知甲先抽，乙后抽，且每道题被抽中的机会均等.
（1）求甲抽到的道题中恰好是道传统文化题和道数学历史题的概率；
（2）若甲答对每道题的概率均为，乙答对每道题的概率均为，且两人答题是否正确相互独立，求甲、乙两人答对题目总数不少于道的概率.
17． 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求出的值；求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；
（2）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.
18．某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的．
（1）求部件正常工作的概率；
（2）为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案：
方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；
方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？
19．中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌.其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制.每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月10日，中国队对战瑞典队，最终以取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为.
（1）求中国队以的比分获胜的概率；
（2）求中国队在已输一场的情况下获胜的概率；
（3）求至多进行四场比赛的概率.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】A,B,C
10．【答案】A,C,D
11．【答案】B,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】；
15．【答案】（1）解：设“甲击中目标次”，“乙击中目标次”，
设为“甲击中目标次数等于乙击中目标次数”，
则，与互斥，所以
（2）解：设“甲击中目标2次”，“乙击中目标2次”，
法一：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，
“甲、乙两人都未击中目标2次”，与互为对立事件，
则，
所以.
法二：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，
则两两互斥，
所以
.
16．【答案】（1）解：设传统文化题为，数学历史题为，甲从道题中不放回抽取道题，
样本空间，，
设“恰好道传统文化题和数学历史题”，，，
由古典概型公式得，
所以，甲抽到的道题中恰好是道传统文化题和道数学历史题的概率为；
（2）解：设“甲答对道题”（），
；；
设“乙答对道题”（），
； ，
设“甲、乙两人答对题目总数不少于道”
由两人答题是否正确相互独立，有
所以，甲、乙两人答对题目总数不少于道的概率为.
17．【答案】（1）解：由频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，解得；
平均数为岁；
设中位数为， 则，解得岁；
（2）解：第 1，2 组的人数分别为 20 人， 30 人， 从第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，
则第 1，2 组抽取的人数分别为 2 人， 3 人， 分别记为，，
设从 5 人中随机抽取3人，样本空间为
共 10 个基本事件，
其中第 2 组恰好抽到 2 人包含：，， 共 6 个基本事件，
则第 2 组中抽到 2 人的概率.
18．【答案】（1）解：记事件分别表示元件正常工作，则，
事件表示正常工作，
由元件工作是相互独立的，则
（2）解：设方案一、二正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为，
记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则．
事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立，
则方案一：
．
所以；
方案二：
所以，
所以选择方案二可以使部件正常工作的概率最大．
19．【答案】（1）解：设事件“中国队以的比分获胜”，
因为中国队在每一场中获胜的概率均为，所以，
则中国队以的比分获胜的概率为；
（2）解：设事件“中国队在已输一场的情况下获胜”，则有两类情况：
①设事件“中国队从第二场开始连胜三场”，；
②设事件“中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”，，
因为与是互斥事件，所以，
则中国队在已输一场的情况下获胜的概率为；
（3）解：设中国队进行三场、四场比赛获胜分别为事件、，瑞典队进行三场、四场比赛获胜分别为事件、，至多进行四场比赛为事件，
，，
，，
因为，，，是互斥事件，
所以，
则至多进行四场比赛的概率为.
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