第8章立体几何初步重组练习（含答案）-2025-2026学年数学人教A版必修第二册

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第8章立体几何初步重组练习-2025-2026学年数学人教A版必修第二册
一、选择题
1．设是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A．若∥，∥，则∥
B．若∥，，则
C．若，则
D．若，∥，则
2．已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（　　）
A． B． C．12 D．10
3．圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
4．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为的扇环，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，侧棱底面，是的中点，是内的动点，，则的轨迹长为（　　）
A． B． C． D．
6．如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（　　）
A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条
7．已知四棱锥的高为2，其底面水平放置时的斜二测画法直观图为平行四边形，如图所示，已知，，则四棱锥的体积为（　　）
A． B．4 C． D．12
8．如图茶杯的形状是一个上宽下窄的正四棱台，上底面边长为下底面边长的2倍，容积为28mL，厚度忽略不计.当倒入14mL茶水时，茶水的高度与茶杯的高度之比为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为1的直角三角形，则（　　）
A．该圆锥的母线长为
B．该圆锥的体积为
C．该圆锥的侧面积为
D．该圆锥的侧面展开图的圆心角为
10．在平面四边形ABCD中，，.将该四边形沿着对角线AC折叠，得到空间四边形ABCD，E为棱BD的中点，则（　　）
A．异面直线AC，BD所成的角是 B．平面
C．平面平面AEC D．
11．已知四棱锥如图，且，，分别是，的中点，则下列说法正确的有（　　）
A．平面
B．四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则
C．平面与平面的交线记为，则直线平面
D．平面与平面的交线记为，则直线平面
三、填空题
12．某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为　 　．
13．在正四棱台中，，，，则该棱台的体积　 　．
14．如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B，C，D，E，在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，当时，则点的轨迹的长度为　 　．
四、解答题
15．如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面，为的中点.
（1）求证：平面.
（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值.
16．如图，四棱锥为正四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，四棱锥的高为1，点E在棱AB上，且．
（1）若点F在棱PC上，是否存在实数满足，使得平面PDE？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由．
（2）在第（1）问的条件下，当平面PDE时，求三棱锥的体积．
17．如图，在五棱锥中，平面平面，，．四边形为矩形，且，，．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值的最小值．
18．如图，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，且平面.
（1）证明：平面平面；
（2）求四棱锥体积的最大值；
19．如图，在正四面体中，棱长为为中点.
（1）求证：平面；
（2）已知为棱上一点（不含端点），为线段上一动点，为截面上一动点
（i）若存在使得平面，求范围；
（ii）设的最小值为关于的函数，求值域.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】A,B,D
10．【答案】B,C,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）证明：在等边中，
因为为的中点，所以，
在正方形中，，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面.
（2）解：取的中点，连接，
则，
在正方形中，，
所以，
在等边中，因为为的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，
所以是平面与平面所成二面角的平面角.
设，则，
所以.
16．【答案】（1）解：（1）取DC上一点G，使，连接GF，GB，BF。
由，当时，PF：FC=2：1，结合DG：GC=2：1，得GF//PD。
因为平面PDE，平面PDE，所以平面PDE，底面ABCD是正方形，且，所以。
又因为平面PDE，平面PDE，所以平面PDE，因为，平面BGF，平面BGF，所以平面平面PDE，又因为平面BGF，所以平面PDE。
（2）解：（2）利用等体积转换已知，因为平面PDE，所以，又因为正四棱锥的高为1，底面边长为2，所以。
17．【答案】（1）证明：因为平面平面，交线为，
又因为，平面，
所以⊥平面，
又因为平面，
所以⊥，
又因为，，平面，
所以⊥平面.
（2）解：因为，，，
由勾股定理，得，
则平面，平面，
所以，
因为，，
由勾股定理，得，
过点作⊥于点，
则，
所以，
过点作⊥，交于点，连接，
所以即为二面角的平面角，
由勾股定理，得，
又因为，
由余弦定理，得，所以，
在Rt中，，
则，
解得，
所以，
在Rt中，，
由余弦定理，得
所以，
在中，由余弦定理，
得，
所以，二面角的余弦值为.
（3）解：连接，因为，，所以，
又因为，⊥，
由勾股定理，得，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角大小为，
则，
要想直线与平面所成角的正弦值的最小，则最小即可，
又因为，
由（1）得平面，
所以，
设，则，，
所以，
在中，由余弦定理，
得
，
所以，
则，
因为，
所以，
所以，
当时，取得最小值，最小值为，
则直线与平面所成角的正弦值的最小值为.
18．【答案】（1）证明：因为四边形在球的一个圆面的圆周上，所以，
又因为，所以，即，
又因为平面，平面，所以，
又因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：作，如图所示：
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
记四棱锥的体积为，
则，
而，
由平面，则，故，
于是，当且仅当时取等号，
由，得，，
由，得，
故，当且仅当等号成立，则，
故，
故四棱锥体积的最大值为.
19．【答案】（1）解：（1）在正四面体，因为E为中点，所以，又因为平面， 根据线面垂直判定定理 ，平面
（2）解：（2）（i）如图，延长交于P，在截面上，则P在线段上，平面与平面为同一平面，
因为平面，平面，
所以，又P在线段上，故
（ii）将平面沿展开，并延长，使其交于点Q， 展开的目的是将空间中 的折线距离，转化为平面上两点之间的直线距离 ，利用两点之间线段最短求解最小值
在中，AC=2，，，由余弦定理，即
平面，E是CD中点可得AE⊥BE，当MN⊥平面ABE时最小值状态，MN为M到平面ABE的距离，
此时，，，
，，
，
故，
令，易知，
可得.
由，则，则，解得，
则，
代入可得
记，
，令，因为，则，
则，
易知对勾函数在上单调递增，
则
故.
则值域为。
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