第7章复数期末重组练习（含答案）-2025-2026学年数学人教A版必修第二册

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第7章复数期末重组练习-2025-2026学年数学人教A版必修第二册
一、选择题
1．若复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则（　　）
A． B．1 C． D．2
3．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
4．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知复数满足，则最大值为（　　）
A． B． C． D．
7．在复平面中，复数的共轭复数所对应的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．已知复数z满足：（i为虚数单位），则z为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知为虚数单位，则下列结论中不正确的是（　　）
A．复数的虚部为 B．
C．若为复数，则为实数 D．若为复数，则
10．已知复数，则（　　）
A．
B．
C．为实数
D．在复平面内对应的点位于第三象限
11．已知复数均不为零，则（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．若，那么　 　.
13．若复数满足，则的最大值为　 　．
14．已知为虚数单位，，若，则　 　.
四、解答题
15．实数分别取什么数值时，复数是：
（1）纯虚数；
（2）与复数互为共轭.
16．在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数.
（1）求的值：
（2）复数求在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
17．已知复数．
（1）若复数是纯虚数，求实数的值；
（2）当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值．
18．欧拉公式：(i为虚数单位，)，是由瑞土著名数学家欧拉发现的。它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”.
（1）根据欧拉公式计算；
（2）设函数，求函数在上的值域.
19．将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角.
（1）求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根；
（2）已知，，试推导复数的三角形式；
（3）在单位圆的内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】A,B,D
10．【答案】A,C
11．【答案】A,C,D
12．【答案】5
13．【答案】2
14．【答案】
15．【答案】（1）解： 复数 为纯虚数，则，解得；
（2）解：由题意可得：，解得.
16．【答案】（1）解： 复数对应的点的坐标为， 则，，
，因为为纯虚数，所以，解得；
（2）解：由（1）可得，
，
因为复数在复平面内对应的点在第一象限，所以，解得，
则实数的取值范围为.
17．【答案】（1）解：若复数是纯虚数，则，解得；
（2）解：复数的实部为，虚部为，
当非零复数的实部和虚部互为相反数时，，
整理可得，解出或，
当时，复数不符合题意；
当时，复数满足题意，
则实数的值为．
18．【答案】（1）解：
（2）解：

19．【答案】（1）解：，解得或，
则，，，；
（2）解：
；
（3）解：将六边形按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为，
以单位圆的圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
设，由题意，得，
，，，
，，，
，，
，
由（1）知，
，
由复数乘法的几何意义，逆时针旋转与重合，故为正三角形.
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