1.1《三角形内角和定理》同步练习（含答案）

1.1《三角形内角和定理》
一、单选题
1．九边形的内角和为（ ）
A．1260° B．1440° C．1800° D．720°
2．如图，是 ABC的一个外角，若，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
3．将一块含有的直角三角板叠放在如图所示的直尺上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 ABC中，、分别是高线和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．如图，在 ABC中，点D在的延长线上，，，则 ．
7．已知一个边形的内角和等于，则从这个多边形的一个顶点出发可以画 条对角线．
8．在如图所示的三角形纸片中剪去得到四边形，若，则的度数是
9．如图，在 ABC中，，的平分线交于点O，．
（1）的度数为 ．
（2）若CD平分外角，交BO的延长线于点D，点E是 ABC的两外角平分线的交点，则的度数为 ．
10．如图1已知线段，相交于点，连接，，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题：
（1），，，之间的等量关系为 ；
（2）如图2，和的平分线和相交于点，并与，分别交于点，．若，，则的度数为 ．
三、解答题
11．计算：
(1)如图，求出图中x的值．
(2)一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数．
12．如图，在 ABC中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点．
(1)若，，求的度数；
(2)当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明．
13．已知边形（且为整数）的内角和公式为，边形的外角和为．
(1)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，求这个多边形的边数；
(2)如图，分别平分，，，求的值．
14．在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过 ABC的顶点A作直线l平行于 ABC的边，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于”这个结论．
(1)如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边上的任意一点P”，过点P分别作 ABC另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于”这个结论．请你先作出辅助线，再完成这个证明过程．
已知，如图2，在 ABC中，点P是边上的任意一点．求证：．
(2)如图3，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向．从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？
15．【问题呈现】
小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：
如图①，与分别为 ABC的两个外角，求证：．
【推理证明】
(1)补全证明过程．
证明：与分别为 ABC的两个外角，
_____，_____
_____
，
．
(2)如图②，在 ABC纸片中剪去，得到四边形．若，则的大小为_____度．
(3)如图③，在 ABC中，分别为外角，的平分线，写出与之间的数量关系，并说明理由．
16.请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．
(1)探究1：如图1，是 ABC的内角与的平分线和的交点，若，则____________度：
(2)探究2：如图2，是 ABC的外角与外角的平分线和的交点，求与的数量关系？并说明理由．
(3)拓展：如图3，是四边形的外角与的平分线和的交点，设．
①直接写出与的数量关系；
②根据的值的情况，判断的形状（按角分类）．
参考答案
一、单选题
1．A
解：∵n边形的内角和公式为，
∴九边形的内角和为.
故选：A.
2．B
解：，，
．
故选：B．
3．C
解：如图所示：
由对顶角相等可得，
∵此三角形是直角三角形，
∴，即．
故选：C．
4．C
解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意；
B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意；
C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意；
D、如图，
∵，∴，，∵，∴，∵，∴，
∴，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．D
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．故①符合题意；
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．故②符合题意；
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
由①知：，
∴．故③符合题意；
∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴，
∴．故④符合题意；
综上可知，正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
二、填空题
6．
解：根据题意得，是 ABC的外角，
则，
故答案为：．
7．10
解：设多边形的边数为，
则内角和为，
解得，
即从一个顶点出发的对角线条数为，
故答案为：10．
8．
解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
9． 80° 10°
（1）解：∵BO平分，CO平分，
∴，.
∵，，
∴，
∴，
∴.
（2）解：由（1）知.
∵点E是 ABC的两外角平分线的交点，
∴，，
∴
.
∵BO平分，CD平分外角，
∴，.
∵，，
∴
，
∴.
10．
（1）解：在和中，
∵ （对顶角相等），，
，
∴ ，
故答案为：．
（2）解：设，，
由（1）得：，
两式相加得：，代入，，得，
解得，
故答案为：．
三、解答题
11．（1）解：，，解得．
（2）解：设这个多边形是n边形，
由题意得：，解得：．
答：这个多边形的边数是8．
12．（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵交的延长线于点E，
∴，
∵，
∴，
∴的度数是．
（2）解：
证明：∵，平分，
∴，
∴，
∵交的延长线于点E，
∴，
∴，
即．
13．（1）解：设这个多边形的边数为，依题意，，
解得，
这个多边形的边数为5．
（2）解：四边形的内角和为，
，
，
又分别平分，，
∴，
，
．
14．（1）证明：过点P作，，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵C岛在A岛的北偏东方向，
∴，
∵C岛在B岛的北偏西方向，
∴，
∴，
∵B岛在A岛的北偏东方向，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
；
答：从B岛看A，C两岛的视角是60度，从C岛看A，B两岛的视角是90度．
15．（1）证明：与分别为 ABC的两个外角，
，，
，
．
故答案为：，，．
（2）解：∵，，
∴．
故答案为：50．
（3）解：，理由如下：
∵分别为外角，的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴．
16．（1）解：∵，
∴.
∵是 ABC的内角与的平分线和的交点，
∴，
∴
∵，
∴．
（2）；
理由：∵是 ABC的外角与外角的平分线和的交点，
∴
，
在中，
；
（3）①，
如图，延长交于点Q，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∴；
②当时，则，则是钝角三角形；
当时，则，则是直角三角形；
当时，则，
∵是四边形的外角与的平分线和的交点，
∴，
∴是锐角三角形．