1.2《等腰三角形》小节复习题（含答案）

1.2《等腰三角形》小节复习题
【题型1 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】
1.如图，，若，则的度数是 ．
2.如图，在 ABC中，，点在 ABC外，连接交于点，，若，，则的度数为 ．
3.如图，在 ABC中，，点D、E在的延长线上，点G是上一点，且，点F是上一点，且．若，则 ．
4.如图，已知 ABC是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为 度．
【题型2根据等腰三角形腰相等求第三边或周长】
5.在等腰三角形的周长为9，，则的长为 ．
6.已知等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为 ．
7.若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为 ．
8.等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成，两部分，则等腰三角形的腰长为 ．
【题型3 根据等角对等边求边的长度】
9.如图，在 ABC中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为 ．
10.如图，的平分线与 ABC中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为 ．
11.如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，若，则的长为 ．
12.如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 ．
【题型4 根据等腰三角形三线合一进行求解与证明】
13.已知在 ABC中，是边上的高，垂足为点，点在射线上，连接，若，，，则 ．
14.如图， ABC中，．
(1)求 ABC的面积；
(2)点E，D分别为上的点，且满足．判断和的大小关系，并证明你的结论．
15.如图，是等腰直角三角形，，D为斜边的中点，E，F分别为边上的点，且．若，．求的长．
16.如图，在 ABC中，，点是的中点，点在的延长线上，点在的延长线上，．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的值．
【题型5与等腰三角形的定义有关的多解题】
17.如图， ABC中，，是射线上的动点，连接，令，将沿所在射线翻折至处，射线与射线相交于点若是等腰三角形，则的度数为 ．
18.如图，中，，，点D在线段上运动点D和B、C均不重合，DE交于点E，，当 ADE是等腰三角形时，的长度为 ．
19.如图，在中，，．若为射线上的动点，连接，将沿翻折后得到，连接．若 ADE为等边三角形或等腰直角三角形，则的度数为 ．
20.如图，在 ABC中，，，已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设与的夹角为（）．
（1）若，则的度数为 ；
（2）当是等腰三角形时，的度数为 ．
【题型6 根据等角对等边证明等腰三角形】
21.如图，在 ABC中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，，求的度数．
22.如图1，在 ABC中，和的平分线相交于点，过点作，分别交和于点和．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，，求的周长．
23.如图，在 ABC中，点D为上一点，点E为的中点，连接并延长到点F使得，连接．
(1)求证：；
(2)若平分，求证： ABC为等腰三角形．
24.如图，长方形纸片，，，现将该纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为，
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求线段的长；
(3)求折痕的长．
【题型7 与等腰三角形性质和判定的多结论题】
25.如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，连接．下列结论中正确的是（ ）
①；②；③若，则；④．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
26.已知，如图，为 ABC的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
27.如图，在 ABC中，，，是边上的中点，点，分别是，边上的动点，与相交于点，且．以下个结论：①图中共有对全等三角形；②；③；④．其中不正确的结论有（　　）个
A． B． C． D．
28.如图，等腰中，，D、E分别在线段、上，，和交于点N，交于点F，交于点M，交的延长线于点G．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ．
【题型8等腰三角形的性质和判定综合应用】
29.如图，在 ABC中，，点在边上，且．

(1)如图1，____，____．
(2)如图2，若为线段上的点，过点作直线于点，分别交直线、于点、．
①求证：是等腰三角形．
②试猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明．
30.如图，已知等腰 ABC中，，D为 ABC外一点，且，．

(1)如图1，当，求；
(2)如图2，作于E交于F，当，，，求；
(3)若，且是等腰三角形，求的值．
31.在 ABC中，，，是边的中线，是边上一点，，交于点．
(1)如图①，判断的形状并证明；
(2)如图②，，
①补全图形；
②用等式表示，，之间的数量关系并证明．
32.在 ABC中，，，的平分线交边于点D．
(1)如图1，求证：为等腰三角形；
(2)如图2，若的平分线交边于点E，在上截取，连接，求证：；
(3)如图3，若 ABC外角的平分线交延长线于点E，求证：．
参考答案
【题型1 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】
1.
解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
故答案为：．
2.
解：根据题意，设，则．
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
3.
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵ ABC中，，，
∴，
∴．
故答案为：．
4.15
解： ABC是等边三角形，
，
，
，
，
，
∵AED=∠EDC+∠C，
，
．
故答案为：．
【题型2根据等腰三角形腰相等求第三边或周长】
5.1或2.5
解：∵三角形中，，周长为9，
∴，
情况一：当为腰时，则，
∴．
此时三边长为4、4、1，满足三角形三边关系定理（任意两边之和大于第三边）．
情况二：当为底边时，则，
设，
则，
解得，
故．
此时三边长为4、2.5、2.5，满足三角形三边关系定理．
故的长为1或2.5．
故答案为：1或2.5．
6.20
解：当腰长为时，
三边为、、，，不满足三角形三边关系，故舍去；
当腰长为时，
三边为、、，，，满足三角形三边关系，周长为；
故答案为：20．
7.16或17
解：，
，，
，．
情况1：腰长为6，底边长为5，
∵，符合三边关系，
∴周长为．
情况2：腰长为5，底边长为6，
∵，符合三边关系，
∴周长为．
故答案为：或．
8.或
解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y．
一腰上的中线将周长分为两部分：一部分为腰长加半腰长，
即；
另一部分为底边长加半腰长，
即．
由题意，这两部分分别为和，因此分两种情况：
情况一：且，
解得：，，
情况二：且，
解得：，，
经检验，两种情况均满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）．
故答案为：或．
【题型3 根据等角对等边求边的长度】
9.
解：∵，
∴，．
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴和为等腰三角形，
∴，．
∵，，
∴．
故答案为：．
10.5
解：∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：5．
11.6
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，
∵，，
∴．
故答案为：．
12.17
解：∵中，，
，
∵平分平分，
，
，
，
，
，
，
的周长
．
故答案为：17．
【题型4 根据等腰三角形三线合一进行求解与证明】
13.或
【知识点】三线合一
解：如图所示，当点在的延长线上时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
如图所示，当点在线段上时，
∵，
∴．
故答案为：或．
14.（1），，
，即
，即
（2）结论：，
连接，
，
在和中
∵
15.解：如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
16.（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在 ADE和 CDF中，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
在中，．
【题型5与等腰三角形的定义有关的多解题】
17.或或
解：由折叠的性质知，
当时，如图，，
由三角形的外角性质得，，
即，此情况不存在；
当且点在射线下方时，如图，
∵，
∴，
由三角形的外角性质得，，
即，
解得；
当时，如图，，
，
由三角形的外角性质得，，
即，
解得；
当且点在射线上方时，如图，，
，
；
综上，的度数为或或，
故答案为：或或．
18.1或
分以下三种情况讨论：
①当时，，如图
可知，即．
，，，
，
，；
②当时，如图
，
．
，，
，
，
．
又，，
，
，．
，
，
；
③当时，点与点重合，不符合题意，舍去．
综上所述，当 ADE是等腰三角形时，的长为或．
故答案为1或．
19.或或
当 ADE为等腰直角三角形时，
①当点在线段上时：如图，则，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点在线段的延长线上时，如图，
则：，
∵翻折，
∴，
∴；
当 ADE为等边三角形时，此时点在线段的延长线上，如图，
则，
∴；
综上：或或；
故答案为：或或．
20. 或
解：（1），，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）分类讨论：
当时，如下图：
，，
，
，
；
当时，如下图：
，，
，
，
；
当时，此时点P与点B重合，点D与点A重合，
，题干要求，故该情况不存在；
故答案为：或．
【题型6 根据等角对等边证明等腰三角形】
21.（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴．
22.（1）证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：由（1）得：，同理可得，
∴的周长，
∵，，
∴的周长．
23.（1）证明：∵为中点，
，
在 ADE和中，
，
，
∴；
（2）证明：∵，
，
∵平分，
，
，
，
∴ ABC为等腰三角形．
24.（1）解：为等腰三角形，理由如下：
由折叠的性质可知，，
在长方形中，，
∴，
∴，即为等腰三角形；
（2）解：在长方形中，∠B=90°，
由（1）可设，则有，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴；
（3）解：过点E作于点H，如图所示：
在长方形中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【题型7 与等腰三角形性质和判定的多结论题】
25.B
解：如图所示，延长至点，使得，设交于点，
∵，
∴，且，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，，故②正确；
∵，
∴，
∴平分，
当时，，则有，
当时，，则无法说明有，故①错误；
设，则，
∴，
若，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选：B ．
26.B
解：①∵为 ABC的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
故结论①正确；
②∵为 ABC的角平分线，且，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故结论②正确；
③∵，，，，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为 ABC的角平分线，，而不垂直于，
∴，
故结论③错误；
④由③知，
故结论④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故选：B．
27.D
解：∵在 ABC中，，，是边上的中点，
∴是等腰直角三角形，，，平分，
∴，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
共对全等三角形，①正确；
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴③正确；
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴④正确；
∴不正确的结论为个；
故选：D．
28.①③⑤
解：设于Q，于K，如图1所示，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
若，则为等边三角形，
∴，
但题目中没有条件得到，
故②不一定成立；
如图2所示，连接，
由可得，
∴，
∵，，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
又，
∴垂直平分，
∵，
∴
∴，
在与 CAF中
，
∴，
∴，，
在与中
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故③正确；
∵，，
∴的周长为：，
∵，
∴，
∴，
∴的周长，
故④错误；
如图3所示，过点N作于I，过点F作于P，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∵，
∴；
故⑤正确：
故答案为：①③⑤．
【题型8等腰三角形的性质和判定综合应用】
29.（1）解：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：36；72；
（2）解：①由（1）可知，，，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形．
②，证明如下：
由①可知，，
，，
，，
，
即．
30.（1）解∶ ，
，
，
，，
，
设，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：作于，如图2所示：

，
由（1）得：，
，，
，，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
；
（3）解∶分情况讨论∶ ①时，如图3所示∶

，
，
在和中，
，
，
，
即；
②时，如4图所示∶

同①得， ，
，
，即；
③时， 如5图所示∶

点在的垂直平分线上，
或，
即或；
综上所述，若，且是等腰三角形，则为或或或．
31.（1）解：的形状等腰三角形．证明如下：
∵，是边的中线，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴是等腰三角形．
（2）①补全图形，如图．
②之间的数量关系是．
证明：过点E作于点H．
∵，是边的中线，，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴，
又∵，
∴．
∴．
在中，，
∴．
∴，
∴．
∵由（1）知：，
∴．
32.（1）证明：∵，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
即，
∴为等腰三角形；
（2）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）证明：由（1）得：为等腰三角形，
∴，
∴．
如图，在上截取，连接．
，
∴，
∵，
∴
∵，
又∵．
∵平分，
∴，
∴，，则，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．