福建省厦门市2025-2026学年高三高考模拟数学试卷（1月份）（含答案）

福建省厦门市2025-2026学年高三高考模拟数学试卷（1月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设复数满足，则的共轭复数
A. B. C. D.
3.的展开式中常数项是，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现在要求在其余四个区域中涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )
A. B. C. D.
6.在等比数列中，已知对有，那么等于( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域是，满足：对任意的实数，均有，且当时，若，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知点为抛物线上一点，过点作圆：的两条切线，，分别交抛物线于，两点，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为一个随机变量，则( )
A. 若，则，
B. 若，且，则
C. 若服从两点分布，且，，则
D. 若随机变量的分布列为，则
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的最大值为
C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递减
11.已知数列，，记数列，的前项和分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则数列单调递增
D. 若，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，其中，则 ．
13.已知为坐标原点，过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，过作轴的垂线，垂足为，若为的中点，则双曲线的离心率为 ．
14.在棱长为的正方体中，平面与棱、、、分别交于点、、、若为菱形，，，则点到平面的距离的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若，的面积为为边上一点，满足．
求的周长；
求的长．
16.本小题分
某公园有两条散步路线，分别记为路线和路线附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和，已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为．
若有位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望；
若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为．
请写出与的递推关系；
设，求证：．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，平面平面，平面．
求证：；
若平面与平面的夹角的正弦值为，且，求到平面的距离．
18.本小题分
已知点、依次为双曲线：的左右焦点，，，．
若，以为法向量的直线经过点，求点到的距离；
若双曲线上存在点，使得，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值；
若函数有三个零点，，，且．
求的取值范围；
证明：．
答案
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15.【解】根据，结合正弦定理得，
因为中，，所以，即，
可得，即，
所以，结合为三角形的内角，可得，．
由，解得，
根据余弦定理得，
即，可得，结合解得，
所以为等边三角形，可得的周长为；
由，可得，
在中，由余弦定理得，
所以．
16.【解】记附近居民第天选择路线，分别为事件，，
依题意，，，，，，
则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率，
记第二天选择路线散步的人数为，则，
则，
，
，
，
则的分布列为：
故的数学期望；
当第天选择路线时，第天选择路线的概率，
当第天选择路线时，第天选择路线的概率，
所以；
证明：由知，则，
而，于是数列是首项为，公比为的等比数列，
因此，即，，
当时，，
而，所以，
当时，，
而，
所以，
所以．
17.【解】证明：过作于点，如图所示：
面面，是交线，面，故C面，
又因为面，故C，
又面，面，则，
，，面，故BC面，
又面，故可以证得；
建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，，，
，，，
由题易知，
设平面的法向量为，
，即，
令，则，
由题易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，所以，
根据同角三角函数间的关系可得，
故，解得舍或，
代入，可得，解得，
故C到平面的距离为．
18.【解】由题意知：，
所以直线的方程为：，即，
所以到的距离，
设，则，
所以，
又，
所以，
因为，，所以，
所以，又，
故实数的取值范围是．
由题求出，的值，写出直线的方程，由点到直线的距离公式即可求解；
由题，再由点在双曲线上可得，即，再由，即可得解．
本题考查了双曲线的性质及直线与双曲线的综合运用，属于中档题．
19.【解】当时，，，
当时，，，
由条件可知，；
，得，
设，
，，，所以在区间上单调递减，
当时，，当时，，
，，，得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，取得极大值，当时，，
画出函数的图象，
与的图象有个交点，则；
证明：由可知，，
要证明，只需证明，
又，，即证，所以上式等价于证明，
由，，得，即，
所以只需证明，
即证，
令，则，上式等价于证明，
令，则，
因为，所以恒成立，所以在上单调递增，
所以当时，，即，
所以原不等式成立，即．
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