《28.1锐角三角函数（1）》学情分析
莒南县第八中学 吴俊红
1·九年级的学生前面已经学习了函数，四边形，相似三角形和勾股定理的知识，已经掌握了直角三角形各边，各角之间的关系和函数的基本概念，能够熟练的利用勾股定理解决有关直角三角形的问题。具备了一定的 合作交流能力，会观察，猜想，分析，综合，抽象和概括；会用归纳，演绎和类比进行推理。为锐角三角函数的学习提供了研究方法。21世纪教育网版权所有
2·学生已经掌握直角三角形中个边和个角的关系，能领会运用相似图形的性质及判定方法解决问题，有较强的逻辑思维能力和推理证明能力，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的能力。这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础。
3·在本节，学生首次接触到以角度为自变量的函数，初学者不易理解，学生很难想象到对于任意锐角，它的对边，邻边的比值也是固定值的事实，关键在于教师引导学生比较，分析，得出结论。正弦的概念是全章的基础，对学生今后的学习十分重要，同时，正弦概念隐含角度与数之间的一一对应的函数思想，又用几个字母符合组合来表示，在教学中应作为难点处理。这种对应关系不同于以前学习的数值与数值之间 的对应关系，因此对学生而言，建立这种对应关系有一定困难
《28.1锐角三角函数（1）》效果分析
莒南县第八中学 吴俊红
兴趣是最好的老师，我先由抢答题及实际问题出发，激发学生的斗志和兴趣，之后让学生经历了动手操作、观察、猜想、论证，使学生非常直观的感受到锐角三角函数是一种特殊的函数，体验变换思想，解决问题。学生学习兴趣高涨。
我在习题的安排上，精选了三道习题，先从直角三角函数简单概念导入，然后提升为根据锐角三角函数求解，后又升华为求一个角的正弦值转化到求与它相等的角中求解三角函数问题，一环紧扣一环，层次分明，让学生在不知不觉中完成知识的建构，方法的归纳以及数学思想和方法的渗透，循序渐进的巩固了锐角三角函数，并且使学生在获得知识的同时发展思维也得以培养。21世纪教育网版权所有
“教必有法，而教无定法”，只有方法恰当，用心教，教学才会有效.
《28.1锐角三角函数（1）》课后反思
莒南县第八中学 吴俊红
上完课，回过头来进行反思。我个人认为这节课主要有以下几个特点：
1、在本节课的上课过程中，遵循“愉悦高效课堂”的教学策略，按照“创设情景，引出话题------自主学习，合作探究------课堂巩固------归纳小结———达标检测”的相关步骤，合理安排教学环节。21cnjy.com
2、教学过程中，使用多媒体这一先进教学手段，把视频、图片直观形象地展示在学生面前，使课堂内容更加丰富多彩、生动形象。21·cn·jy·com
3、探究过程中，我先由抢答题及实际问题出发，激发学生的斗志和兴趣，之后，让学生经历了动手操作、观察、猜想、论证，使学生非常直观的感受到锐角三角函数是一种特殊的函数，体验变换思想，解决问题，学生学习兴趣高涨。充分发挥学生的主动性，给学生充足的时间，激发了学生学习的积极性和主动性，真正做到了“学为主体”。21世纪教育网版权所有
4、我在习题的安排上，精选习题，先从直角三角函数简单概念导入，然后提升为根据锐角三角函数求解，后又升华为求一个角的正弦值转化到求与它相等的角中求解三角函数问题，一题多解，变式训练，，一环紧扣一环，层次分明，让学生在不知不觉中完成知识的建构，方法的归纳以及数学思想和方法的渗透，循序渐进的巩固了锐角三角函数，并且使学生在获得知识的同时思维发展也得以培养。
本节课的不足之处主要有：
课堂语言不够精炼。
书写太不给力。
3、对学生的评价过于单调。大部分的评价都是“好”、“非常好”，没有创新，不能让学生很好的体会回答精彩被赞赏后的愉悦感。21教育网
在今后的教学过程中，我会继续努力，继续完善，加强学习，让课堂教学更上一层楼！
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
《28.1锐角三角函数（1）》教学设计
莒南县第八中学 吴俊红
教学目标
知识与能力
通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
能根据正弦概念正确进行计算。
经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
过程与方法
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察，比较，分析，概括等逻辑思维能力。
情感，态度与价值观
引导学生探索，发现，以培养学生独立思考，勇于创新的精神和良好的学习习惯。
教学重难点及突破
1．重点
理解认识正弦sinA概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实。
2.难点
引导学生比较，分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
3.教学突破
采用由特殊到一般的方法展开讨论：在讨论直角三角形中，30°和45°角的对边与斜边的比为固定值的基础上讨论锐角为任意给定度数的情形。这种由特殊到一般的过度，可以使学生有较多机会的体验：在直角三角形中，当锐角度数一定时，这个锐角的对边与斜边的比值是一个固定值。这为认识正弦函数的概念铺设了必要的台阶，从而水到渠成地概括给出正弦函数的概念。
教学准备
教师准备：多媒体，课件，三角板。
学生准备：三角板等作图工具
教学设计
一．复习引入
师：抢答题：（相信你的反应是最快的）
在直角三角形中，两锐角之间的关系是什么？三边之间的关系是什么？
学生抢答后，老师表扬，调动学生积极性。
师：直角三角形中，两角，三边除了上面关系外，还有哪些新关系呢？这就是这节课要学习的内容 ---------锐角三角函数
（设计意图：通过抢答题，调动学生的积极性，从而引出本节课的内容）
二．自主学习，合作探究
（一）引入正弦。
（1）探究30°对边与斜边的比值
课件展示教材61页“问题”：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
分析：问题转化为在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB
（设计意图：以实际问题为背景创设情境，激发学生兴趣。培养学生发现数学并将实际问题转化为数学问题的能力）
生思考后回答：“根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”，求出AB=2BC=70m,即需要准备70m长的水管。
教师用数学语言表示为：发现, 可得AB=2BC=70m.
思考：在上面的问题中，如果出水口的高度为50m,那么需要准备多长的水管？（教材61页第一个思考）
师：你能把它转化为数学问题吗？
生：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝50m，求AB.
教师用数学语言表示为：发现
师：观察上面的两个发现，你有什么结论？
生：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，它的对边与斜边的比值是固定值，与三角形的大小无关。
（2）探究45°角的对边与斜边的比值
教材第61页第二个“思考”： 如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？（学生思考）
师：上面的30°的题目中，都有具体数值，我们很容易求出斜边的长，但本题中没有具体长，如何求 ？
学生讨论交流后的答案是：
生：可以设BC=X,因为∠C＝90°，∠A＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形，则AC=BC=X,根据勾股定理得出：AB=,
师：根据刚才的叙述，如何计算呢？，你要注意什么问题？
生：,要注意二次根式的化简。
师：还有其它方法吗？
生：根据刚才30°的题目，可以去两个或3个特殊值，如BC=1,2,3时，根据勾股定理求出斜边，从而也能求出的值。
师：通过对本题的探究，你能得出什么结论？
生： 在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都是一个固定值等于。
师：综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比是一个固定值 等于 ，与三角形的大小无关 ；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都也是一个固定值等于 ，也是一个固定值，与三角形的大小无关。
师：通过刚才的这两个结论，你有哪些猜想？
通过学生的猜想引出问题：当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究任意锐角的对边与斜边的比值
课件展示教材62页“探究”：任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能解释一下吗？
生：在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
因此 即 。
师：通过刚才的探究，你能得出什么结论？
生：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。
师：我们把这个固定的值叫做这个角的正弦。
（设计意图：让学生经历由特殊到一般的探究过程，使学生体验合理的猜想是数学学习中研究问题的方法之一。）
（二）认识正弦。
师：分析讲解正弦定义，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记住sinA 即
板书： （举例说明：a=1,c=3,则sinA=）
生：类比写出.sinB= 。
师：注意：sinA是线段之间的比值，没有单位。
师：请同学们思考一下，要求一个角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
生：知道对边与斜边就可计算了。
（三）正弦简单应用
例1：（课件展示教材63页例1）
师：思考要求一个角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
图（1）中求出什么就可以了？你是怎么计算的？图（2）呢？
生口述解题过程，与之同时，教师出示课件解题过程。
（设计意图：巩固正弦概念，通过教师示范，使学生回求正弦，经过强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点。）
巩固新知
学生先独立完成，教师巡视指导，最后组内交流.
1. 根据下图，求sinA和sinB的值．
2.在Rt△ABC中，∠C=90°， ，AB=26cm,求BC长。
3.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，图中不能表示sinB的是（ ）
拓展：若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.
（设计意图：三道练习题的选题都有一定的目的性，第一题主要是正弦概念的巩固训练，提示学生注意勾股定理及二次根式的化简；第二题是正弦概念的变式训练，正弦，对边，斜边知道其中的两个，可以列方程求第三个；此题还有一个优点就是设5X,13X这种简便计算方法的渗透；第三题是正弦概念的拓展训练，借助此题给学生的信息就是转化思想，求一个角的正弦值，可以转化到求与它相等的角的正弦值；在讲解中及时点拨，达到做一道会一类的效果。非常好。）
总结提升
本节课所学的正弦定义是什么？在应用时注意哪些问题？
本节课你学到了哪些数学思想？
你还学到了哪些解题方法？
当堂达标
一选择
1.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值为（ ）
A.扩大100倍 B.缩小
C.不变 D.不能确定
2.如图,则sinA=(______)
3.如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠ABC的正弦值是（ ）
4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，1），AO与X轴正半轴所成的夹角为a,则 的值为（ ）
二．填空题
已知圆锥的母线长为13cm，高12cm，为设圆锥的母线与高的夹角为,如图，则的值为 .
如图，AB是圆O的直径，CD是弦，CD⊥AB, BC=6,AC=8, 题中的值是 .
（设计意图：共五道题，注意训练正弦定义，但在选题时，注意了把三角函数渗透到格点，坐标系，圆锥，圆等知识中，让学生初步感受此节知识与其它知识点的密切联系及重要性。）
板书设计
正弦
课件18张PPT。第28章bcasinA=cosA=tanA=莒南县第八中学 吴俊红 如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，在直角三角形中，两锐角和三边存在上面的关系外，还存在怎样的新关系呢？两锐角之间的关系是什么？三边之间的关系是什么？抢答题：（相信你的反应是最快的）问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？情
境
探
究35m┌┌30°？ 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB。 根据：“在直角三角形中， 30°所对的直角边等于斜边的一半”
发现：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，这个角的对边与斜边的比值都是一个固定值 ，与直角三角形的大小无关。ABC50m35mB 'C '┌┌结论：你能把它转化为数学问题吗？30°在Rt△ABC中， =90°，∠A=30°， 且 ，求 。 发现：上面的30°的题目中，都有具体数值，我们很容易求出斜边的长，但本题中没有具体长，如何求 ？你有哪些方法？=45°二次根式的化简注意： 在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，这个角的对边与斜边的比都是一个固定值等于 ，与直角三角形的大小无关。你还有什么解法？结论： 一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？结论问题通过这两个结论，你有哪些猜想？ 在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'，所以 Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．因此即通过刚才的探究，你能得出什么结论？结论： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记住sinA 即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有cab对边斜边 正 弦 函 数一个角的正弦表示定值、比值、正值，无单位。角A的正弦sinA随着角A的变化而变化。 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．解： （1）在Rt△ABC中，由勾股定理得因此（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得因此ABCABC34135小试牛刀（1）（2）思考：求一个角的正弦值，需要知道直角三角形中的哪些边？
图（1）中缺少哪条边？如何计算？图（2）呢？1. 根据下图，求sinA和sinB的值．ABC35 练习 巩固新知1CAB26cm还有其他方法吗？ 可设对应边长分别为5x,13x这种计算方法。2.注意：答案:BC=10cm拓展提高：1.正弦中有三个量，对边，斜边，正弦值， 知道其中的两个，可列方程求第三个量 练习2.在直角 中 ， ， ,
AB=26cm,求BC长。 收获：拓展提高：3.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，图中不能表示sinB的是（ ）
534若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.注意：求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。D收获：收获平台总结提升：
1.本节所学的正弦的定义是什么，在应用时应注意哪些问题？
2.本节课你学到了哪些数学思想和解题方法？
一选择
1.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍，sinA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小
C.不变 D.不能确定C当堂达标sinA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。 D.不能确定B3.如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠ABC的正弦值是（ ）
的值为（ ）4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，1），AO与X轴正半轴所成的夹角为a,则AC5.已知圆锥的母线长为13cm，高12cm，为设圆锥的母线与高的夹角为 ，如图，则 的值为------6.如图，AB是圆O的直径，CD是弦， BC=6,AC=8, 则 的值为-------------。答案：68答案：二 填空作业1、习题28.1第一题，第二题。2、补充作业
在Rt△ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝900
(1)BC=8,AC=15,求sinA，sinB。
(2)AB=10,BC=8,求sinA，sinB。
3、预习余弦和正切。
收获平台通过今天的学习，
我知道了 ，
今后，我打算 。让青春美丽绽放相信未来成功的你一定会为今天努力拼搏的自己而喝彩！《28.1锐角三角函数（1）》 教材分析
莒南县第八中学 吴俊红
本章是在学生已学了一次函数、反比例函数、二次函数以及相似形的基础上进行的，它反映的不是数值与数值的对应关系，而是角度与数值之间的对应关系,这对学生来说是个全新的领域。一方面，这是在学习了直角三角形两锐角关系、勾股定理等知识的基础上，对直角三角形边角关系的进一步深入和拓展；另一方面，又为解直角三角形等知识奠定了基础，在实际生活中有着广泛的应用，同时也是高中进一步研究三角函数、反三角函数、三角方程的工具性内容。
本节主要研究正弦函数，教材从一个实际问题引出对正弦函数的讨论。这个实际问题抽象出数学问题就是在直角三角形中已知一个锐角和这个锐角所对的直角边，求斜边的长。通过讨论30°和45°的角与其所对的直角边与斜边的比值之间的对应关系，引出对一般情况的讨论，即对于任意给定度数的锐角，它的对边和斜边的比值是否是一个固定的值。对于任意锐角的正弦函数，教材中利用“相似三角形对应边成比例”探索得出了对应角的对边与斜边的比相等，从而得到在直角三角形中，锐角度数一定时，这个锐角的对边与斜边的比值是一个固定的值，由此可以得到正弦函数的概念。
本节中正弦函数的概念的学习是本章内容的起点， 它为后面研究余弦函数和正切函数的概念提供思想和方法上的引导。重视正弦函数的概念教学，让学生真正理解它的意义，是后面学习的基础和保障。
专家观课、评课记录
莒南县第八中学 林稳
今天听了吴俊红老师的九年级下《28.1锐角三角函数（1）》，让我对教学呈现的有效性有了进一步的思考。新课标中课堂有效性体现在学生在学业上有所收获，有所提高，有所进步，在认知上从不懂到懂，从少知到多知，从不会到会。在情感上从不喜欢到喜欢，从不感兴趣到感兴趣。吴老师的课堂基本都围绕这一主旨，甚至有所提升。给我了很大的启发。
?? 1.关注学生个体，统筹全局，创建和谐课堂。
吴老师时时面带微笑，加上语言和蔼可亲，让学生犹如时时沐浴在春风中，师生关系不可谓是不融洽。但是课堂轻松之余不失其严谨性。如：最后的能力提升，坚持让学生各抒己见，从知识上、从情感上，从价值观上等等。可以说，吴老师在这堂课上投入了很深的情感。正应了那句话：没有情感，没有爱的教育不能称之为成功的教育，没有情感，没有爱的课堂不能称之为成功的课堂。
2.培养学习数学的兴趣
吴老师先由抢答题及实际问题出发，激发学生的斗志和兴趣，让学生经历了动手操作、观察、猜想、论证，使学生非常直观的感受到锐角三角函数是一种特殊的函数，体验变换思想，解决问题。吴老师在习题的安排上符合学生的思考规律，并巧妙的安排了一题多解，使学生在吃得饱的基础上又能吃得好，从而全面激发了学生学习数学的兴趣。
3.深度挖掘教材，全面归纳思想与方法，在思维提升中呈现层次性。
吴老师充分考虑学生认知的差异性与层次性，题目从直角三角函数简单概念导入，然后提升为根据锐角三角函数求解，后又升华为求一个角的正弦值转化到求与它相等的角中求解三角函数问题，一环紧扣一环，层次分明，让学生在不知不觉中完成知识的建构，方法的归纳以及数学思想和方法的渗透，循序渐进的巩固了锐角三角函数，并且使学生在获得知识的同时发展思维也得以培养。更巧妙的是，吴老师只用了3道题。正应了那句广告词：简约而不简单。
4.“1+n”式教学在课堂中的妙用。
何谓“1+n”式教学，可以简单的归结为变式、一题多解等。“1+n”式教学能充分暴露学生知识认知上的问题，赵老师例题1的变式中的数据选取更有“诱惑性”（把斜边5，直角边3改为直角边5、3），让很多学生没有禁住经验上的诱惑，而掉入陷阱。变式、一题多解能很好的提升学生对数学方法的归纳、数学思维的提升，以及综合应用的能力。
总之，这是一节开放的课堂，老师合理的问题设计为学生思维火化的碰撞创设了良好的条件，使学生的主体作用和主观能动性得到了充分发挥。有效的教学活动，不能依赖于单纯的记忆、模仿，动手实验、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要模式，只要围绕这一核心，我想，我们一定创设出更多的成功有效课堂。
我对于本节课的建议有：在课堂教学中，语言可以再精炼一些。（评课专家 林稳）
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《28.1锐角三角函数（1）》课堂巩固练习
莒南县第八中学 吴俊红
1. 根据下图，求sinA和sinB的值．
2.在Rt△ABC中，∠C=90°， ，AB=26cm,求BC长。
3.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，图中不能表示sinB的是（ ）
拓展：若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.
《28.1锐角三角函数（1）》当堂达标
一选择
1.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值为（ ）
A.扩大100倍 B.缩小
C.不变 D.不能确定
2.如图,则sinA=(______)
3.如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠ABC的正弦值是（ ）
4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，1），AO与X轴正半轴所成的夹角为a,则 的值为（ ）
二．填空题
已知圆锥的母线长为13cm，高12cm，为设圆锥的母线与高的夹角为,如图，则的值为 .
如图，AB是圆O的直径，CD是弦，CD⊥AB, BC=6,AC=8, 题中的值是 .
《28.1锐角三角函数（1）》课标分析
莒南县第八中学 吴俊红
1、理解锐角正弦的意义，了解锐角与锐角正弦值之间的一一对应关系，进一步体会函数的变化与对应的思想；
2、会根据锐角正弦的意义解决直角三角形中已知边长求锐角正弦，以及已知正弦值和一边长求其它边长的问题；
3、经历锐角正弦意义的探索过程，体会从特殊到一般的研究问题的思路和数形结合的思想方法；
4、经历由实际问题引发出对正弦函数讨论的过程，培养学生观察生活、发现问题、研究问题的能力。
