姓名： 准考证号：
泽州县2025—2026学年第一学期九年级期末质量监测
数 学 试 卷
注意事项：
6. 2025年9月13日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛
1.本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。 大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力。如图，乐器上
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 的一根弦AB长为80cm，两个端点 A、B固定在乐器的板面上，支撑点 C是靠
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 近点 B的黄金分割点(即 则支点 C到端点 B的距离为
第Ⅰ卷 选择题(共30分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的
四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑)
7. 如图，若△ABC与△A B C 是位似图形，则位似中心的坐标是
1. 下列二次根式，不能与 合并的是
A. ( -2, - 2) B. ( -2, - 1) C . ( 0 , - 1 ) D. ( -1, 0)
C. 8.如图,△ABC中, AB=AC, ∠A=45°, AC的垂直平分线分别交AB、AC于 D、
E两点, 连接CD, 如果 AD=1, 则tan∠BCD的值为
2. 下列各式计算正确的是
A.
3. 一元二次方程 可配方成( 的形式，则m+n的值为
A. - 5 B. - 4 C. 5 D. - 2
4. 在△ABC中, 则△ABC一定是
A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等边三角形 D.等腰直角三角形
5. 小文在假期旅游时，看到了一个美丽的圆弧形门洞(如图)，她对这个门洞
若 CF=4,cos∠EFC
进行了测量，测得圆弧上任意两点间的最大距离为2.4m，门洞最底部的两 9. 如图,沿AE折叠矩形 ABCD, 使点 D落在 BC边的点 F处,
个端点A、B和圆弧上一点 C构成的∠ACB =30°，则这个门洞处AB边长为 则AB的长为
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
A. 1m
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10.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30° C的俯角为 ，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么
角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛 该建筑物的高度 BC为 ▲ m .
物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 15. 如图, 在△ABC中, E是 AB上的一点， 过点B作BD
h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有函 交CE的延长线于点 D.若BD=2, CD=4, 则DE的长为 ▲ .
三、填空题(本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演
数关系 下列说法正确的是
算步骤)
A.小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
16.(本题共2个小题，每小题5分，共10分)
B.小球从飞出到落地要用4s
C.小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 (1) 计算:
D.小球的飞行高度可以达到25m
(2) 解 方 程 : x ( x - 4 ) = 2 ( x - 4 ) .
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分。请将答案直接写在答
17.(本题7分)山西拥有丰富的红色旅游资源，周末甲、乙两人计划从武乡八路
题卡相应的位置) 军纪念馆、黎城黄崖洞、左权麻田八路军总部、大同平型关大捷纪念馆四个
11.计算: 景点中随机选择一个游玩，两人各自独立选择，每个景点被选中的概率相等，
12.将二次函数 的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3 甲不选黎城黄崖洞，乙不选左权麻田八路军总部，且每人只能选一个景点。
(1)甲选择到武乡八路军纪念馆游玩的概率为 ；
个单位长度，则平移后的函数解析式为 ▲ .
(2)用列表法或树状图法求甲、乙两人选择同一景点的概率.
13.已知 t为一元二次方程 的一个根，则 的值为
▲ . 18.(本题9分)如图, ⊙O的直径AB=10, 弦AC=8, D是∠ACB的平分线与⊙O
的交点, E是 CD与AB的交点, P为AB延长线上一点, 且∠PCB=∠PAC。
(1) 求 BC、AD的长;
(2)试判断直线 PC与⊙O的位置关系，并说明理由.
14.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为 测得底部
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19.(本题7分)实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图，是某同学 21.(本题10分)阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务：
为准备实验考试组装的制取氧气的实验装置.已知
在数学中，当问题的条件不够时，常添加辅助线构成新图形，形成新
试管倾斜角α为10°，实验时，导气管紧贴水槽MN，延长 BM交 CN的延长
关系，建立已知与未知的桥梁，从而把原问题转化为易于解决的问题.在
线于点 F,且MN垂直CF, AC平行DE(点C, D, N, F在同一条直线上). 著名美籍匈牙利数学家波利亚所著的《数学的发现》一书中有这样一个例
经测量得，铁架杆DE与水槽之间的水平距离L , 子：试作一个三角形，使它的三边长分别是各条中线长的三分之一.解决
这个问题的步骤如下：
时，请求出铁夹子E点距离水平面的高度DE.(结果精确到0.1，
第一步，如图1，已知△ABC的三条中线AD，BE和CF相交于点M ，
参考数据：
则有
下面是该结论的部分证明过程：
证明：如图1，过点C作BE的平行线，交AD的延长线于点G，则
∠AME =∠G.
又∵∠MAE =∠GAC,
20.(本题9分)春节前夕，腊月的脚步一近，家家户户就开启了热火朝天的 ∵点E是 AC的中点,
“备年”模式，空气中都飘着浓浓的年味与烟火气，五颜六色糖果、坚果、
杏仁、核桃、开心果等是超市中必买的年货。为了迎接春节，某大型连锁 ……
超市采购了一批高品质新年坚果礼盒，每盒的进货成本为40元。超市试 第二步，同理可证：
售期间，将礼盒售价定为每盒60元，此时每天的销量可达100盒。试售 第三步，图2，取 BM的中点 Q，连接DQ .则△DQM的三边长分别是各条
结束后，超市营销部门发现，礼盒的销量与售价存在明显关联，市场决定 中线长的三分之一.
降价销售，减少库存，售价每降低1元，每天的销量就会增加10盒.
任务：
(1)如果超市某天销售这种坚果礼盒的利润为2210元，那么每件坚果
(1)请在上面第一步中证明过程的基础上完成结论 的证明；
礼盒售价是多少元
(2)超市想要通过合理降价来平衡销量与利润，从而实现每天利润的最 (2)请完成第三步结论的证明；
大化，求利润的最大值和对应的礼盒售价. (3)请直接写出图(2)中
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22.(本题10分)综合与实践
23.(本题13分)综合与探究
问题情境： 问题情境: 在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点C旋转得到 点A的
如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长( 宽
对应点 D落在边 AB上,连接BE .
4m。按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 初步探究：
表示，且抛物线上的C点到墙面OB的水平距离为3m时，到地面 OA 的距离 (1)如图1,求证:△BCE∽△ACD .
(2)如图2,当BC=4, AC=2时,
头 求 BE的长.为了安全起见，隧道正中间有宽为0.4m的隔离带。
深入探究：
(3)如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点 F，过点B作AC的平行线
交EF于点 G ,DE与BC交于点 K .
①求证:AC=CF;
拓展延伸：
②当 时，直接写出 的值.
问题解决：
(1)求b、c的值，并计算出拱顶D到地面 OA的距离；
(2)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果
灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米
(3)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设
双向行车道，那么这辆货车能否安全通过 泽州县 2025-2026 学年第一学期九年级期末质量监测
数学参考答案及评分标准
一、选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1-5 BDCDC 6-10 ACCBB
二、填空题 (每小题 3 分，共 15 分）
7
11. 2 12.y = 2 x 3 2 13.（110+110 3） 14.-4052 15.
8
三、解答题（共 90 分）
16.（1）( 3 2)2 + 12 + 6 1
3
3
解：原式=( 3)2-2× 3×2+22+2 3+6× …………………（3 分）
3
=3-4 3+4+2 3+2 3 …………………（4分）
=7 …………………（5分）
（2）x(x 4)=2(x-4)
解：移项得：x(x 4)-2(x-4)=0 …………………（7 分）
因式分解得：(x 2)(x-4)=0 …………………（8 分）
∴x 2=0 或 x-4=0
解得 1=2， 2=4 …………………（10 分）
1
17.解：（1） …………………（2 分）
3
（2）分别记武乡八路军纪念馆、黎城黄崖洞、左权麻田八路军总部、大同平型关大捷纪念馆为 A、B、
C、D,列表如下（树状图略）：
乙
甲 A B D
A (A,A) (A,B) (A,D)
C (C,A) (C,B) (C,D)
D (D,A) (D,B) (D,D)
…………………（5分）
由列表可得，一共有 9种可能的结果，且它们出现的可能性相同，其中甲、乙两人选择到同一
个风景区参观游玩的结果有 2 种。
2
所以 P（甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩）= …………………（7 分）
9
（其它方法可参考给分）
18.解：（1）如图所示，连结 OD. …………………（1 分）
∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°.
在 Rt ABC 中,
∵AB=10, AC=8, ∴BC= 2 2 = 102 82 = 6. …………………（3分）
1
∵CD 平分∠ACB, ∴∠ACD= ∠ACB=45°,
2
∴∠AOD=2∠ACD=90°. …………………（4分）
在 Rt△AOD 中
∵OA=OD=5, ∴AD= 2OA=5 2. …………………（5 分）
（2）PC 与⊙O 相切 …………………（6分）
理由：如图所示，连结 OC,则 OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∵∠ACB=90°, ∴∠OCA+∠OCB=90°,
∴∠OAC+∠OCB=90°. ………………（8分）
∵∠PCB=∠PAC, ∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=90°,
∴PC 与⊙O 相切。 ………………（9分）
（其它方法可参考给分）
19.解：过点 B 作 BG⊥CF 于点 G,作 BH⊥DE 于点 H, ………………（1分）
由已知可得：∠ABH＝10°,
1
∵AB＝24,BE＝ AB, ∴BE＝8.
3
在 Rt△BEH 中,
BH＝BE cos∠ABH＝ 8×cos 10° ≈ 8 × 0.98 = 7.84(cm), ………………（2 分）
EH＝BE sin 10° ≈ 8 × 0.17 = 1.36(cm). ………………（3分）
∵AC⊥CF,AC∥DE ∴DE⊥CF A E B
又∵BG⊥CF, BH⊥DE, ∴四边形 BGDH 是矩形 H
∴DH＝BG DG＝BH＝7.84(cm) M ………………(4 分)
∵∠BFC = 45 ,MN⊥CF BG⊥CF NF=MN C D G N F
∴MN=8(cm) BG=GF
∵DN=26cm ∴GF=DN+NF-DG=26+8-7.84=26.16(cm) ………………(5 分)
∴DH=BG=GF=26.16(cm)
∴DE=DH+EH=26.16+1.36≈26.5(cm) ………………(6 分)
答：铁夹子 E 点距离水平面的高度 DE 约为 26.5(cm). ………………(7 分)
20. 解：（1）设每盒坚果礼盒降价 x 元，则每盒利润为 (60-x-40)=(20-x)元，
销售量为(100+x)件 根据题意得： ………………(1 分)
(20-x)(100+10x)=2210 ………………(2 分)
解得：x1=3,x2=7 ………………(3 分)
∵要降价销售减少库存 ∴x=7 60-7=53（元） ………………(4 分)
答：每盒坚果礼盒售价 53 元时，每天利润为 2210 元。 ………………(5 分)
（2）设每天销售利润为 y 元，则 ………………(6 分)
2 2
y=(20-x)(100+10x)=-10x +100x+2000=-10(x-5) +2250 ………………(7 分)
∵-10<0，∴y有最大值。当 x=5 时，y 取最大值 2250。
60+5=65（元） ………………(8 分)
答：每盒坚果礼盒 65 元时，每天利润最大，最大利润为 2250 元。 ………………(9 分)
21.（1）解：补全证明如下：
∵ CG∥BE ,∴∠DBM＝∠DCG .
∵AD 是 BC 边上的中线，∴ BD = CD . ………………（1 分）
在△BDM 和△CDG 中，
∵∠DBM＝∠DCG ，BD＝CD ，∠BDM＝∠CDG
∴△BDM≌△CDG (ASA), ∴BM＝CG , ………………（3分）
ME ME 1
∴ ＝ ＝ ………………（4 分）
BM CG 2
DM 1 DM 1 1
（2）证明：∵ ＝ ,∴ ＝ ,即 DM＝ AD ………………（5 分）
AM 2 AD 3 3
1
∵点 Q 是 BM 的中点，∴ QM＝BQ＝ BM .
2
= 1 1∵ ，∴ QM＝ BE ………………（6 分）
2 3
∵点 D 是 BC 的中点，∴QD 是△MBC 的中位线， ………………（7分）
1
∴QD＝ CM.
2
= 1 1又∵ , ∴QD =CF
2 3
则△DQM 的三边长分别是各条中线长的三分之一； ………………（8分）
1
(3) . ………………（10 分）
12
17 17 1
21. 解：（1）根据题意得 B(0,4) C 3, ，，将 B(0,4)、C 3, 的坐标代入 y = - x +bx+c，
2 2 6
c=4
得 1×32+3b+c= 17
b = 2
解得 c = 4 ………………（2分）6 2
∴抛物线的表达式为 y = 1 x + 2x + 4 = 1 x 6 2 + 10 ,
6 6
∴D(6,10)
∴拱顶 D 到地面 OA 的距离为 10m. ………………（3 分）
1
（2）令 y=8，则 x 6 2+10＝8， ………………（4 分）
6
解得 1= 6 +2 3 ,x2 = 6 2 3 ，则x1 x2 = 4 3， ………………（6 分）
所以两排灯的水平距离最小是 4 3m。 ………………（7 分）
（3）由题意得货车最外侧与地面 OA 的交点为(1.8,0)或(10.2,0)， ………………（8分）
当 x=1.8 或 x=10.2 时，y=7.06＞6 ， ………………（9分）
所以这辆货车能安全通过。 ………………(10 分)
23.证明：（1）由旋转，得AC=CD,CB=CE,∠ECB=∠DCA
= ∴ ,∴△BCE∽△ACD ………………（2分）
（2）∵∠ACB=90 ，BC=4,AC=2
∴∠A+∠ABC=90 ,AB= AC2+BC2= 22+42=2 5.
又∵△BCE∽△ACD
BE
∴∠CBE = ∠A, = BC = 2 ………………（4分）
AD AC
∵∠DBE = ∠CBE +∠ABC = ∠A+∠ABC = 90 , BE = 2AD
∴BD2 + BE2 = DE2.
由旋转可知， = = 2 5,
∴(2 5 )2 + (2 )2 = (2 5)2,
4 5
解得AD＝ 或AD=0(舍去),
5
8 5
∴BE＝2AD＝ . ………………（6分）
5
（3）① 由旋转，得EC=BC,CD=CA,∠ACD=∠BCE，
又∵∠ACB=∠BCF=90°
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠BCE+∠ECF＝90°
∴∠BCD=∠ECF. ………………（8分）
∵FG∥AB，∴∠F+∠A=180°.
又∵∠CDA+∠CDB=180°,∴∠CDB=∠F.
∴△BCD≌△ECF(AAS), ………………（9分）
∴CD=CF,
∴AC=CF. ………………（10分）
7
② . ………………（13分）
32
