福建多校高三数学2025-2026学年上学期期末试卷（含解析）

高三数学
考生注意：
本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知i为虚数单位，若，则
A.
B.
C.
D.
已知抛物线C：的焦点为F，点P(s，t)在C上，且|PF|，O为原点，则|OP| =
A.4
B.6
C.
D.
印刷电路板（PCB）是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显著竞争优势。某机构调研得到2021—2025年度中国PCB市场规模（单位：千亿元）依次为3.88，3.84，4.16，4.46，4.71，则这5个数据的40%分位数是
A.4.00
B.4.02
C.3.84
D.3.88
若向量，，记，，则
A.
B.
C.
D.
已知正数x，y满足，则的最小值为
A.7
B.9
C.6
D.8
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若，，，则
A.16
B.20
C.
D.
7. 已知正四面体 各条棱的中点都在球 的表面上，则球 的表面积与该正四面体的表面积之比为
A. B.
C. D.
8. 若函数 存在极大值点 和极小值点 ，，其中 ， 都是实数，则
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知集合 ，若集合 满足 ，则 可以是
A. B.
C. D.
10. 若 ，则
A.
B. （，，，，，）
C. 从 ，，， 这8个数中任取2个，这两个数的积为正数的取法有12种
D. 从 ，，，， 这8个数中任取3个，这三个数的和等于 ，，，， 中某数的取法有28种
11. 已知定义域与值域均为 的函数 满足 ，，且 ，则
A.
B.
C. ， 是奇函数
D. ， 满足
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知 ，，用 ， 表示 。
13. 已知双曲线 （，），记 ， 经过点 ，（），且 （ 为原点），则 的离心率为 。
14. 若函数 有零点，则实数 的取值范围是。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知数列的前项和。
（1）证明：是等比数列；
（2）若，分别是等差数列的第1项与第3项，求的公差。
16.（本小题满分15分）
已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆相交于，两点，是坐标原点，的面积是，求实数的值。
17.（本小题满分15分）
如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，，是正三角形，，三棱锥的体积是四棱锥体积的。
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值。
18.（本小题满分17分）
春节期间，某商家开展购物抽奖活动，部分活动规则如下：在一个不透明的抽奖箱中放入 张大小形状完全相同的卡片，其中有 张卡片上标有“恭喜中奖”，其余都标有“谢谢参与”。
（1） 若 ，，每位顾客可以一次性抽取2张卡片，每张“恭喜中奖”卡片可以兑换精美礼品1份。现顾客甲参加抽奖活动。
（ⅰ）在顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片的前提下，顾客甲抽中“谢谢参与”卡片的概率；
（ⅱ）设顾客甲获得的精美礼品的份数为 ，求 的分布列与方差；
（2） 商家根据购物次序给每位顾客编号，编号的个位数字是8的顾客的抽取规则如下：顾客每次抽取1张卡片，抽到“谢谢参与”卡片就放回奖箱，继续抽取，抽中“恭喜中奖”卡片就停止抽取，赠送精美礼品1份，如果抽取 次仍然没有抽到“恭喜中奖”卡片，那么停止抽取，顾客不能获得精美礼品。若顾客乙编号的个位数字是8，记顾客乙抽取的次数是 ，求 的数学期望。
19.（本小题满分17分）
已知函数 。
（1） 求曲线 在 处的切线方程；
（2） 设 ，证明：对任意 ，都有 ；
（3） 若数列 满足 ，证明：。
高三数学参考答案、提示及评分细则
1.A由，得。故选A。
2.D由抛物线的定义，得，解得，所以，所以。故选D。
3.B因为，故这5个数据的40%分位数是将数据从小到大排列后第2个数据（3.88）与第3个数据（4.16）的平均数为4.02。故选B。
4.C由题意，得，所以，所以。故选C。
5.B由，得，所以，当且仅当，即时等号成立。故选B。
6.C由，得，，所以，即，又，所以，易知此时三角形有解。故选C。
7.D设正四面体的棱长为，则表面积为；该正四面体的各条棱的中点构成棱长为的正八面体，其各顶点都在半径为的球的表面上，则球的表面积为，所以。故选D。
8.B由题意知有两个实数根，，显然，所以，令，则，时，；时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，，又，所以方程有两个解，时，，由，分别是的极大值点与极小值点且知的单调递增区间为，，单调递减区间为，所以。当时，，当，时，有，符合题意，由得，又，所以，B正确；当，时，有，不合题意。取，，则，存在极大值点和极小值点，但，A错误；取，，则，，，CD错误。故选B。
9.BC对于A，，则，不满足题意；对于B，，则，满足题意；对于C，，则，满足题意；对于D，当时，，，不满足题意。故选BC。
10.BCD通项，所以（，，，），得，所以，故A错误；由，得，，由二项式系数的性质知最大，故B正确；由，得，，，为负数，，，，为正数，所以从，，，，中任取2个，这两个数之积为正数的取法有种，故C正确；由题意知，，，，，，，，所以，所以从，，，，中任取3个，其和仍在该组数据中的取法有种，又，，，，所以共有种，故D正确。故选BCD。
11.ACD因为，取，得，即，故A正确；取，得，即，所以，故B错误；当时，，所以当时，是奇函数，故C正确；取，，得。设，则的取值范围是，且，所以。当时，，所以，故
D正确，故选ACD.
12. 由 ，，得 ，，所以 ，所以
13. 由题意，知 过 的右焦点 ，且 ，易求得 ，由 ，得 是等腰直角三角形， 为斜边，所以 ，所以 ，即 ， ，所以 的离心率 .
14. ①当 时， ，若 ，则 ；若 ，则 ，故当 时， 没有零点；②当 时，若 ，则 ， ，若 有零点，则 ，解得 ，或 ；若 ，则 ，或 ，若 ，则 ；若 ，则 ，所以 ，若 有零点，则 .又 ，解得 .综上， 的取值范围是 .
15.（1）证明：因为 ，所以 ， 1分
两式相减，得 ， 3分
所以 ， 4分
又 ，得 ，解得 ， 6分
所以 ，故 是首项为 ，公比为 的等比数列. 7分
（2）解：由（1）得 ， 8分
， 9分
法一： ， 11分
所以数列 的公差 . 13分
法二： 的公差 . 13分
16. 解：（1）因为椭圆 的短轴长为2，
所以有 ， 2分
又因为点 在椭圆 上，所以有 ，
解得 ， 4分
可得该椭圆的标准方程为 . 5分
（2）将直线方程与椭圆方程联立：
化简得： ， 7分
因为直线 与椭圆 相交于 ， 两点，
所以有 ，
设 ，，则有 ，， 9分
. 11分
点到直线的距离，所以， 13分
由可得，
即，满足，，
所以实数的值是或。 15分
17.（1）证明：在正方形中，，设与平面所成的角为，
因为，所以与平面所成的角也是，
所以到平面的距离为，到平面的距离为。 1分
连接，因为，，
由题意知，显然，所以， 3分
又，，所以，所以， 4分
因为，所以，
又，，，平面，所以平面， 6分
因为平面，所以平面平面。 7分
（2）解：由（1）知平面，平面，
所以平面平面。 8分
分别取，的中点，，连接，。
因为是正三角形，是边的中点，所以。
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，则，，两两垂直。以为原点，直线，，分
别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，，，，
所以，，。 10分
设平面的一个法向量，则
即
令，解得，，所以， 12分
设直线与平面所成的角为，则。
所以直线与平面所成角的正弦值为。 15分
18. 解：（1）（Ⅰ）记顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片为事件，顾客甲抽中“谢谢参与”卡片为事件，
则，，
所以，
即在顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片的前提下，顾客甲抽中“谢谢参与”卡片的概率为。 4分
（Ⅱ）由题意知的可能取值为，，，
则，，。
的分布列为
6分
所以， 7分
。 9分
（2）由题意知的可能取值为，，，，，则，，，
， 11分
所以， 12分
设 ，
则 ，
两式相减，得
，
所以 ， 15分
所以
， 17分
（1）解：因为 ， 1分
所以 ，，
所以曲线 在 处的切线方程为 ， 3分
（2）证明：因为 ，所以 时，， 递减；
时，， 递增； 4分
因为 ，所以 ，或 ，
若 ，因为 在 上递增得 ； 5分
若 ，因为 在 上递减，所以 ，
要证 ，
只要证 ， 7分
设 ，，
则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 。
故 ， 9分
（3）证明：由（2）知， 在 上单调递增，，，
因为对任意 ，，
所以存在唯一 ，使得 ，由 得 ，， 10分
首先证明：，①
设 ，
则 递增，因为 ，所以
当 时，， 递增；
当 时，， 递减， 11分
所以 ，当且仅当 时取“”。
所以 ，即 ， 13分
其次证明：，，②
设 ，，
则 ，所以 在 上单调递增，所以 ，
令 ，得 ， 15分
由①②得，
。
综上，原不等式得证， 17分