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【北师大版七年级数学（下）单元测试卷】
第三章 变量之间的关系
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放渝超足球联赛
B．抛掷一枚质地均匀的硬币，有国徽的一面向上
C．随意翻开数学书的某页，这一页的页码为偶数
D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
解：A、打开电视机，正在播放渝超足球联赛，是随机事件，不符合题意；
B、抛掷一枚质地均匀的硬币，有国徽的一面向上，是随机事件，不符合题意；
C、随意翻开数学书的某页，这一页的页码为偶数，是随机事件，不符合题意；
D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件，符合题意；
故选：D．
2．（本题3分）下列各成语所描述的事件，是随机事件的是（ ）
A．不期而遇 B．水中捞月 C．竹篮打水 D．瓮中捉鳖
解：A、不期而遇，事先未约定而相遇，事件发生具有不确定性，是随机事件；
B、水中捞月，不可能实现的事件，是不可能事件；
C、竹篮打水，不可能成功的事件，是不可能事件；
D、瓮中捉鳖，肯定能成功的事件，是必然事件；
故选：A．
3．（本题3分）有下列事件：①投掷一枚质地均匀的骰子，点数为1的一面朝上；②明天太阳从东方升起；③五边形的内角和是；④购买一张彩票中奖．其中，随机事件的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解∵①投掷骰子点数为1朝上可能发生也可能不发生，∴是随机事件；
∵②太阳从东方升起一定发生，∴是必然事件；
∵③五边形内角和为，∴是不可能事件；
∵④购买彩票中奖可能发生也可能不发生，∴是随机事件.
∴随机事件有①和④，共2个．
故选：C．
4．（本题3分）为了估计某种新型催化剂在化学反应中的有效催化概率，兴趣小组通过实验，记录了如下催化情况：
实验总次数 80 150 300 500 800 1200
有效催化频数 74 131 271 453 727 1093
有效催化频率 0.925 0.873 0.903 0.906 0.909 0.911
由此可估计该新型催化剂的有效催化概率约为（ ）
A．0.87 B．0.90 C．0.91 D．0.93
解：∵ 实验总次数为1200时，有效催化频率为0.911，且随实验次数增加，频率逐渐稳定在0.91附近，
∴ 估计该新型催化剂的有效催化概率约为0.91．
故选：C．
5．（本题3分）不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（ ）
A．袋中红球有90个 B．第101次摸到红球的可能性较大
C．第101次会摸到红球 D．红球的数量占袋中总球数的
解：∵ 摸球100次，摸到红球90次，且每次摸球后放回搅匀，每次摸球独立，
∴ 摸到红球的频率为，估计概率为，
∴ 第101次摸到红球的概率约为，故摸到红球的可能性较大，
选项A错误，因为总球数未知；
选项B正确；
选项C错误，因为概率不为1；
选项D错误，因为频率不一定精确等于比例，
故选B．
6．（本题3分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.8附近，则x的值为（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
解：∵摸出黑球的频率稳定在0.8附近，
∴摸出黑球的概率为0.8，
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
故选：B．
7．（本题3分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球共30个，这些球除颜色外都相同，其中黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过100次重复试验，共有61次摸出黑球，则n的值最可能是（ ）
A．5 B．10 C．16 D．18
解：∵摸出黑球的频率为，
∴摸出黑球的概率约为，
∴．
故选：D．
8．（本题3分）某质地均匀的骰子的个面上分别刻有到的点数，掷该骰子一次，观察向上一面的点数，则下列事件中，发生概率最小的是（ ）．
A．向上一面的点数是偶数 B．向上一面的点数大于
C．向上一面的点数是质数 D．向上一面的点数是
解：选项A中，向上一面的点数是偶数的情况有种，即，所以概率为；
选项B中，向上一面的点数大于有种，即，所以概率为；
选项C中，向上一面的点数是质数有种，即，所以概率为；
选项D中，向上一面的点数是有种，所以概率为．
∵，
∴发生概率最小的是向上一面的点数是．
故选：D．
9．（本题3分）下列说法，正确的是（ ）
A．“用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是随机事件
B．概率很大的事件一定会发生
C．掷两枚均匀的硬币一次，共有四种等可能的结果
D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖次就有次中奖
解：A、圆是轴对称图形，故“用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是必然事件，不是随机事件，故选项说法错误，不符合题意；
B、概率很大的事件不一定发生，故选项说法错误，不符合题意；
C、掷两枚均匀的硬币一次，每枚硬币有正反两种可能，且相互独立，故共有种等可能结果：正正、正反、反正、反反，故选项说法正确，符合题意；
D、中奖概率为表示每次抽奖中奖的可能性是，但抽奖次不一定恰好中奖次，可能中奖次或多次，故选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
10．（本题3分）一个不透明的口袋里装有20个不同颜色的小球（除颜色外其余均相同），其中有5个蓝球，个红球，还有个黄球．每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次实验红球出现的频率如图，则的值最可能是（ ）
A．12 B．3 C．10 D．5
解：由图形知，红球出现的频率逐渐稳定于数值，
所以估计袋中红球的个数为：（个），
故选：A．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有 个．
解：设黑球有个，则总球数为个．根据题意得：
，
解方程：．
经检验，是方程的解，
故答案为：11．
12．（本题3分）从写有数字2、3、5的三张卡片中随机抽取一张，不放回后再抽取一张，两次抽取的数字之和为奇数的概率是 ．
解：从数字2、3、5的三张卡片中不放回地抽取两次，所有可能的结果为：，共6种等可能性结果．其中两次数字之和为奇数的结果有：，共4种．
因此概率为．
故答案为
13．（本题3分）如图所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成了12个相同的扇形，其中 个扇形涂上红色， 个扇形涂上蓝色，可以使得转动的转盘自由停止时，指针指向红、蓝两色扇形的概率分别为，．
解：设个扇形涂上红色，个扇形涂上蓝色．
由P（指向红色扇形），P（指向蓝色扇形），
得，，
解得，．
故答案为：4；3．
14．（本题3分）在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有 个．
解：设红球有个，则总球数为个．
摸到白球的概率为，
即．
，
，
，．
故口袋中红球可能有12个．
故答案为：12．
15．（本题3分）某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵数b 87 279 535 887 6337 13581
成活的频率（保留小数点后三位） 0.870 0.930 0.892 0.887 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为 （精确到0.1）．
解：由表格数据，移植棵数为时，成活频率为；
移植棵数为时，成活频率为；
移植棵数为时，成活频率为；
移植棵数为时，成活频率为；
移植棵数为时，成活频率为；
移植棵数为时，成活频率为．
随着移植棵数增加，成活频率逐渐稳定在附近，
因此估计银杏树苗移植成活的概率为，
精确到为．
故答案为．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，某商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物元以上获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数
落在“洗发水”的次数
落在“洗发水”的频率
(1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）；
(2)转动该转盘次，获得洗发水的概率约是__________（结果保留小数点后一位）
（1）解：，，，
∴表格补充完整如下：
转动转盘的次数
落在“洗发水”的次数
落在“洗发水”的频率
（2）解：由表中数据可知，随着实验次数的增大，指针落在“洗发水”的频率稳定在左右，
∴转动该转盘一次，获得洗发水的概率约是，故答案为：．
17．（本题7分）某商场节假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品即可参与转盘抽奖．如图，转盘被分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“A”所在区域内，中一等奖；指针落在字母“B”所在区域内，中二等奖；指针落在字母“C”所在区域内，中三等奖；若指针落在字母“D”所在区域内，则未中奖（若指针指向分界线上时，需要重新转动，直到指针指向扇形区域内）．若某顾客转动一次转盘，请回答下列问题：
(1)求顾客未获奖的概率；
(2)求顾客获得二等奖或三等奖的概率．
（1）解：由图可知，字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为，
所以顾客未获奖的概率为．
（2）解：由图可知，字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为，
所以顾客获得二等奖或三等奖的概率为．
18．（本题8分）掷一个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
(1)向上一面的点数为奇数；
(2)向上一面的点数大于且小于．
（1）解：掷一次骰子，共有种等可能的情况，
其中点数为奇数的情况有种，即点数为，
；
（2）解：掷一次骰子，共有种等可能的情况，
其中点数大于且小于的情况有种，即点数为，
．
19．（本题8分）端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）
(1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________；
(2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C）
（1）解：由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种，
∴付款时不打折的概率是；
故答案为；
（2）解：由题意得：转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，所以所画图形如图所示：
20．（本题8分）如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜．
(1)转出偶数的概率是________；转出奇数的概率是________；
(2)你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？
解（1）∵共有1，2，3，4，5五个数字，其中2个偶数，3个奇数，
∴转出偶数的概率是；转出奇数的概率是；
（2）这样的游戏规则对甲、乙两人不公平，理由如下：
∵，
∴乙获胜的概率大．
21．（本题9分）黔西南州某中学为丰富学生课余生活，举办了“校园文化艺术节”，其中书法比赛设置一、二、三等奖若干名．已知获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3．
(1)求未获奖的概率；
(2)若该校有200名学生参加书法比赛，求获得一等奖的学生人数；
(3)某班从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取2人参加此次书法比赛，求刚好选中甲和丙两位同学的概率．
（1）解：∵获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3，
∴未获奖的概率为；
（2）解：∵获得一等奖的概率为0.1，
∴（人），
故获得一等奖的学生人数为人；
（3）解：由题意可得：从四位同学中随机选取人，所有等可能的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），共种，其中刚好选中甲和丙两位同学的情况有1种，
故刚好选中甲和丙两位同学的概率为．
22．（本题9分）为了解某中学九年级学生中考体育成绩情况，现从中抽取部分学生的体育成绩进行分段（A：50~45分、B：44~35分、C：34~25分、D：24~0分）统计，统计结果如图1、图2所示．
根据上面提供的信息，回答下列问题：
(1)本次抽查了______名学生的体育成绩；
(2)图2中D分数段所占的百分比为______，B分数段所对应的圆心角为______度；
(3)已知中考体育成绩为A等级的8名学生中有3名男生和5名女生，若从这8名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是______；
(4)已知该校九年级共有1000名学生，请估计该校九年级学生体育成绩达到35分以上（含35分）的人数．
（1）解：由图象可得，
抽查人数为：（人），
故答案为：；
（2）解：D分数段所占的百分比为，
B分数段所对应扇形的圆心角度数为：，
故答案为：12；144；
（3）解：总人数为8人，
随机抽取1名学生座谈，共有8种等可能结果，
恰好抽到男生的可能有3种，
则恰好抽到男生的概率为：，
故答案为：；
（4）解：由题意可得，
体育成绩达到分以上（含分）的有：（人），
估计该校九年级学生体育成绩达到35分以上（含35分）的人数约为人．
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【北师大版七年级数学（下）单元测试卷】
第三章 变量之间的关系
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（生活应用）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放渝超足球联赛
B．抛掷一枚质地均匀的硬币，有国徽的一面向上
C．随意翻开数学书的某页，这一页的页码为偶数
D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
2．（本题3分）（跨学科）下列各成语所描述的事件，是随机事件的是（ ）
A．不期而遇 B．水中捞月 C．竹篮打水 D．瓮中捉鳖
3．（本题3分）有下列事件：①投掷一枚质地均匀的骰子，点数为1的一面朝上；②明天太阳从东方升起；③五边形的内角和是；④购买一张彩票中奖．其中，随机事件的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（本题3分）（生活应用）为了估计某种新型催化剂在化学反应中的有效催化概率，兴趣小组通过实验，记录了如下催化情况：
实验总次数 80 150 300 500 800 1200
有效催化频数 74 131 271 453 727 1093
有效催化频率 0.925 0.873 0.903 0.906 0.909 0.911
由此可估计该新型催化剂的有效催化概率约为（ ）
A．0.87 B．0.90 C．0.91 D．0.93
5．（本题3分）不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（ ）
A．袋中红球有90个 B．第101次摸到红球的可能性较大
C．第101次会摸到红球 D．红球的数量占袋中总球数的
6．（本题3分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.8附近，则x的值为（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
7．（本题3分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球共30个，这些球除颜色外都相同，其中黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过100次重复试验，共有61次摸出黑球，则n的值最可能是（ ）
A．5 B．10 C．16 D．18
8．（本题3分）某质地均匀的骰子的个面上分别刻有到的点数，掷该骰子一次，观察向上一面的点数，则下列事件中，发生概率最小的是（ ）．
A．向上一面的点数是偶数 B．向上一面的点数大于
C．向上一面的点数是质数 D．向上一面的点数是
9．（本题3分）下列说法，正确的是（ ）
A．“用圆规任意画一个圆，它是轴对称图形”是随机事件
B．概率很大的事件一定会发生
C．掷两枚均匀的硬币一次，共有四种等可能的结果
D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖次就有次中奖
10．（本题3分）一个不透明的口袋里装有20个不同颜色的小球（除颜色外其余均相同），其中有5个蓝球，个红球，还有个黄球．每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次实验红球出现的频率如图，则的值最可能是（ ）
A．12 B．3 C．10 D．5
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有 个．
12．（本题3分）从写有数字2、3、5的三张卡片中随机抽取一张，不放回后再抽取一张，两次抽取的数字之和为奇数的概率是 ．
13．（本题3分）如图所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成了12个相同的扇形，其中 个扇形涂上红色， 个扇形涂上蓝色，可以使得转动的转盘自由停止时，指针指向红、蓝两色扇形的概率分别为，．
14．（本题3分）在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有 个．
15．（本题3分）（生活应用）某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵数b 87 279 535 887 6337 13581
成活的频率（保留小数点后三位） 0.870 0.930 0.892 0.887 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为 （精确到0.1）．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）（生活应用）如图，某商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物元以上获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数
落在“洗发水”的次数
落在“洗发水”的频率
(1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）；
(2)转动该转盘次，获得洗发水的概率约是__________（结果保留小数点后一位）
17．（本题7分）某商场节假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品即可参与转盘抽奖．如图，转盘被分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“A”所在区域内，中一等奖；指针落在字母“B”所在区域内，中二等奖；指针落在字母“C”所在区域内，中三等奖；若指针落在字母“D”所在区域内，则未中奖（若指针指向分界线上时，需要重新转动，直到指针指向扇形区域内）．若某顾客转动一次转盘，请回答下列问题：
(1)求顾客未获奖的概率；
(2)求顾客获得二等奖或三等奖的概率．
18．（本题8分）掷一个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
(1)向上一面的点数为奇数；
(2)向上一面的点数大于且小于．
19．（本题8分）（传统文化）端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）
(1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________；
(2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C）
20．（本题8分）如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜．
(1)转出偶数的概率是________；转出奇数的概率是________；
(2)你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？
21．（本题9分）（生活应用）黔西南州某中学为丰富学生课余生活，举办了“校园文化艺术节”，其中书法比赛设置一、二、三等奖若干名．已知获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3．
(1)求未获奖的概率；
(2)若该校有200名学生参加书法比赛，求获得一等奖的学生人数；
(3)某班从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取2人参加此次书法比赛，求刚好选中甲和丙两位同学的概率．
22．（本题9分）为了解某中学九年级学生中考体育成绩情况，现从中抽取部分学生的体育成绩进行分段（A：50~45分、B：44~35分、C：34~25分、D：24~0分）统计，统计结果如图1、图2所示．
根据上面提供的信息，回答下列问题：
(1)本次抽查了______名学生的体育成绩；
(2)图2中D分数段所占的百分比为______，B分数段所对应的圆心角为______度；
(3)已知中考体育成绩为A等级的8名学生中有3名男生和5名女生，若从这8名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是______；
(4)已知该校九年级共有1000名学生，请估计该校九年级学生体育成绩达到35分以上（含35分）的人数．
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