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【北师大版七年级数学（下）单元测试卷】
第四章 三角形
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．2，4，7 C．3，5，8 D．1，7，9
解：对于A：∵，∴能构成三角形，符合题意；
对于B：∵，∴不能构成三角形，不符合题意；
对于C：∵，∴不能构成三角形，不符合题意；
对于D：∵，∴不能构成三角形，不符合题意，
故选A．
2．（本题3分）一个三角形的两边长分别为2，7，则第三边长可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：设第三边长为，
∵ 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
∴ ，
即 .
选项中只有6在范围内，
故选：D．
3．（本题3分）已知，如图，以为边的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：由图可得，以为边的三角形有△ABC，，，，一共有4个．
故选：D．
4．（本题3分）若三角形的三边长分别为3，x，8，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：由三角形三边关系定理得，
即，
即的取值范围是．
故选：A．
5．（本题3分）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
解：，
，，
，
，
．
故选：C．
6．（本题3分）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判断的依据是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
解：由作图方法可得，
∴，
∴，即，故选C．
7．（本题3分）如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
解：由题意得：
当添加时，由条件，，所以不能判定；
当添加时，由条件，，可根据“”判定；
当添加时，则有，即，由条件，，可根据“”判定；
当添加时，由条件，，可根据“”判定；
故选：A．
8．（本题3分）下列条件中，不能判定的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
解：∵ A中，，，三边对应相等，∴ ．
∵B中，，，两角及其夹边对应相等，∴．
∵C中，，，两边及其中一边的对角相等，属于，不能判定全等．
∵ D中，，，两角及其中一角的对边相等，∴．
∴故选：C．
9．（本题3分）如图，已知△ABC的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与△ABC全等的三角形是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
解：由图形知，中，边长为的对角为，邻角为，甲中，边长为的对角为，
∴甲中三角形与不一定全等；
乙中，，则边长为的对角为，邻角为，
∴乙中三角形与全等；
丙中，边长为的对角为，邻角为，
∴丙中三角形与全等；
综上可知：能和全等的是乙、丙．
故选：B．
10．（本题3分）如图，，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：，，，
，
，，，故②正确；
，
即，故①正确；
，，，
，故④正确；
根据题目条件，不能判断出与的大小关系，因此不能判断与是否相等，故③错误．
故选：B．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图，为△ABC内一点，平分，，．若，，则的长为 ．
解：延长交于点，如图．
平分，，
，．
在和中：
，
，．
，
，
．
故答案为：10．
12．（本题3分）三角形的三边长分别为7，11，，则的取值范围是 ．
解：∵三角形的三边长分别为7，11，，
∴，
即．
故答案为：．
13．（本题3分）如图，点在线段上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）．
解：∵，．∴当添加时，根据“”可判断；
当添加时，根据“”可判断；
当添加时，根据“”可判断；
故答案为：或或（答案不唯一）．
14．（本题3分）如图，已知：G是△ABC的重心，，那么 ．
解：∵G是的重心，
∴是的中线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（本题3分）如图，已知点在△ABC的边上，以为边作△ADE．若，，则添加条件 （只需添加一个条件即可），使得．
解：∵，
∴，
即，
又，
当添加，
则，
当添加，
同理可得出，
当添加，
∵（对顶角相等）
∴，
∴，
故答案为：（或或）．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）已知是△ABC的三边长，．
(1)求的取值范围．
(2)若△ABC是等腰三角形，△ABC的周长是多少．
（1）解：∵是△ABC的三边长，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴c必须与a或b相等，
当时，满足，即此时能构成三角形，
∴此时△ABC的周长；
当时，满足，即此时能构成三角形，
∴此时△ABC的周长；
综上所述，△ABC的周长是15或18．
17．（本题7分）如图，已知，，，且点在线段上．
(1)求的长；
(2)求证：．
（1）解：∵，，，
∴，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵点在线段上，
∴，
∴，
即．
18．（本题8分）如图，点A、D、C、F在同一直线上，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
（1）证明：，
，
又，
；
（2）解：由（1）知：，
∴，
，即，
∵，即：，
∴．
19．（本题8分）如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线匀速运动．设经过同时停止．
(1)若，则与相等吗？请说明理由．
(2)当与以C，Q，P为顶点的三角形全等时，求点的运动速度．
（1）解：相等，理由如下：
，
而，
．
在和中，
，
，
；
（2）解：设点的运动速度为，则，
，
∴当时，，
即，
解得；
当时，，
即，
解得．
综上所述，点的运动速度为或．
20．（本题8分）已知的三边长分别为a，b，c．
(1)若a，b满足，求a，b的值；
(2)若c为偶数，求△ABC周长．
（1）解：∵，
∴，
，
∵，
∴，
解得；
（2）解：由（1）知，
∵△ABC的三边长分别为a，b，c，
∴，
即，
∵c为偶数，
∴，
∴△ABC周长．
21．（本题9分）综合与探究．
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图可以得到，基于此，请解答下列问题．
【直接应用】（1）若，，求的值．
【类比应用】（2）若，则_____．
【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．
解：（）∵，，，
∴，
∴；
（），则，
∵，即，
∴，
故答案为：；
（）∵，
∴，，，
∵点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，
∴，，
设，，
∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
答：一块直角三角板的面积为．
22．（本题9分）已知在四边形中，，．
(1)如图1，，，分别是边，上的点，延长至，使，连接，求证：；
(2)已知．
（ⅰ）如图2，，分别是边，上的点，求证：；
（ⅱ）如图3，，分别是边，延长线上的点，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由．
（1）证明：，
，
，，
，
，．
，
，
，
.
又，
；
（2）（ⅰ）证明：如图，延长至，使，连接．
，，
.
，，
，
，，
，
，
，
.
又，，；
（ⅱ）解：（ⅰ）中的结论不成立，，
理由：如图，延长至，使，连接．
，，
，
，，
，
，，
，
，
.
，
，
，
，
．
，
，
．
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第四章 三角形
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．2，4，7 C．3，5，8 D．1，7，9
2．（本题3分）一个三角形的两边长分别为2，7，则第三边长可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（本题3分）已知，如图，以为边的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（本题3分）若三角形的三边长分别为3，x，8，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（本题3分）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判断的依据是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
7．（本题3分）如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）下列条件中，不能判定的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
9．（本题3分）如图，已知△ABC的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与△ABC全等的三角形是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
10．（本题3分）如图，，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图，为△ABC内一点，平分，，．若，，则的长为 ．
12．（本题3分）三角形的三边长分别为7，11，，则的取值范围是 ．
13．（本题3分）如图，点在线段上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）．
14．（本题3分）如图，已知：G是△ABC的重心，，那么 ．
15．（本题3分）如图，已知点在△ABC的边上，以为边作△ADE．若，，则添加条件 （只需添加一个条件即可），使得．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）已知是△ABC的三边长，．
(1)求的取值范围．
(2)若△ABC是等腰三角形，△ABC的周长是多少．
17．（本题7分）如图，已知，，，且点在线段上．
(1)求的长；
(2)求证：．
18．（本题8分）如图，点A、D、C、F在同一直线上，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
19．（本题8分）如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线匀速运动．设经过同时停止．
(1)若，则与相等吗？请说明理由．
(2)当与以C，Q，P为顶点的三角形全等时，求点的运动速度．
20．（本题8分）已知的三边长分别为a，b，c．
(1)若a，b满足，求a，b的值；
(2)若c为偶数，求△ABC周长．
21．（本题9分）（综合实践）综合与探究．
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图可以得到，基于此，请解答下列问题．
【直接应用】（1）若，，求的值．
【类比应用】（2）若，则_____．
【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．
22．（本题9分）已知在四边形中，，．
(1)如图1，，，分别是边，上的点，延长至，使，连接，求证：；
(2)已知．
（ⅰ）如图2，，分别是边，上的点，求证：；
（ⅱ）如图3，，分别是边，延长线上的点，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由．
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