微专题3 力与曲线运动
考向1 平抛运动
(2022·广东卷)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L．当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t．不计空气阻力．下列关于子弹的说法中正确的是( )
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
考向2 斜面上的平抛运动
(2022·广东卷)如图所示是滑雪道的示意图．可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地．不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力．下列能表示该过程运动员速度大小v、加速度大小a随时间t变化的图像的是( )
A B C D
考向3 圆周运动的描述
(2021·广东卷)由于高度限制，车库出入口采用如图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆OP与横杆PQ链接而成，P、Q为横杆的两个端点．在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平．杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法中正确的是( )
A．P点的线速度大小不变
B．P点的加速度方向不变
C．Q点在竖直方向做匀速运动
D．Q点在水平方向做匀速运动
(2025·广东卷)(多选)将球沿光滑冰坑内壁推出，使可视为质点的小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示．已知圆周运动半径R为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°，小球质量为0.1 kg，取g＝10 m/s2．关于该小球，下列说法中正确的有( )
A．角速度为5 rad/s
B．线速度大小为4 m/s
C．向心加速度大小为10 m/s2
D．所受支持力大小为1 N
考向4 圆周运动动力学问题
(2024·广东卷)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动．卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点．细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销．当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动．若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止．忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内．要使卷轴转动不停止，v的最大值为( )
A．r B．l
C．r D．l
一、 曲线运动的合成与分解
1．物体做曲线运动时，轨迹夹在速度方向与合力方向之间，合力指向运动轨迹的__凹侧__．
2．曲线运动的研究思想是化曲为直，研究方法是运动的__合成与分解__，遵循平行四边形定则．
3．合运动是物体实际所做的对地运动，合运动与分运动具有等时性、等效性，各分运动具有独立性．
4．关联速度结论：把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，则__沿__绳(杆)方向的分速度大小相等．
(2025·番禺中学)火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图所示是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆一起向平台B端靠近，平台高为h，当CN＝2h时，被救人员向B点运动的速率是( )
A．v0 B．v0
C．v0 D．v0
二、平抛运动与斜抛运动
1．平抛运动的基本结论
(1) 飞行时间：t＝．
(2) 水平射程：x＝v0t＝v0．
(3) 落地速度：大小vt＝，方向tan θ＝＝．
(4) 任何一段时间Δt内，速度变化量为Δv＝gΔt，方向恒为__竖直向下__，如图所示．
2．关于斜抛问题：从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动；分析完整的斜上抛运动，可根据__对称性__求解某些问题．常用结论：
(1) 落点与抛出点在同一水平面上时的飞行时间t＝．
(2) 射高Y＝＝．
(3) 落点与抛出点在同一水平面上时的射程X＝v0x·t＝v0cos θ·＝．
(2025·佛山一模)甲、乙两位同学玩投球游戏，如图所示，甲以大小为v1的速度从A点抛出球a，乙以大小为v2的速度从B点抛出球b，A、B两点高度差为h、水平距离为x1；两球在同一竖直平面内运动，且均运动到最高点C时相碰，A、C两点高度差为H、水平距离为x2，忽略空气阻力，球可视为质点，重力加速度大小为g，则( )
A．两球相碰前瞬间速度相同
B．两球抛出时的时间差为
C．两球抛出时的时间差为
D．球b初速度方向与水平方向的夹角满足tan θ＝
三、圆周运动
1．解题关键
(1) 正确进行受力分析，明确向心力的来源，确定圆心以及半径．
(2) 列出正确的动力学方程F＝m＝mrω2＝mωv＝mr．结合v＝ωr、T＝＝等基本公式进行求解．
2．思维流程
(2025·佛山顺德二模)(多选)如图为自行车车轮的气嘴灯原理图，气嘴灯由接触式开关控制．其结构为弹簧一端固定在顶部A，另一端与重物连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，重物拉伸弹簧后使点M、N接触，从而接通电路使气嘴灯发光．触点N与车轮圆心距离为R，车轮静止且B端在车轮最低点时触点M、N距离为0.05R．已知A靠近车轮圆心、B固定在车轮内臂，重物与触点M的总质量为m．弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g．不计接触式开关中的一切摩擦，重物和触点M、N均视为质点，则有( )
A．相同转速下，重物质量大小对能否接通LED灯没影响
B．转速越大，重物质量越大，LED灯越容易发光
C．使得LED灯发光的最小角速度为
D．若气嘴灯在最低点能发光，同一转速下在最高点也一定能发光
四、斜面上的平抛运动
(2025·深圳外国语学校)(多选)北京冬奥会的举办让越来越多的运动爱好者被吸引到冰雪运动中来，其中高台跳雪是北京冬奥会的比赛项目之一．如图甲所示，两名跳雪爱好者a、b(可视为质点)从雪道末端先后以初速度之比va∶vb＝1∶4，沿水平方向向左飞出，示意图如图乙所示．不计空气阻力，则两名跳雪爱好者从飞出至落到雪坡(可视为斜面)上的整个过程中，下列说法中正确的是( )
A．他们飞行时间之比为1∶4
B．他们飞行的水平位移之比为1∶8
C．他们在空中离雪坡面的最大距离之比为1∶16
D．他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同
1．斜面平抛运动模型
模型
方法 分解速度，构建速度三角形，找到斜面倾角θ与速度方向的关系 分解速度，构建速度的矢量三角形 分解位移，构建位移三角形，隐含条件：斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角
2．物体离斜面距离最大时，速度平行斜面，可分解速度，根据tan θ＝，可求飞行时间t＝．
五、绳环杆管模型
(2024·福建厦门模拟)如图所示，甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁(由上、下、侧三个轮子组成)把轨道车套在了轨道上，车中座椅是指底座、靠背以及安全卡扣组成的整体，四个图中轨道的半径都为R．下列说法中正确的是( )
A．图甲中，当轨道车以一定的速度通过轨道最高点时，座椅一定给人向上的力
B．图乙中，轨道车过最低点的最大速度为
C．图丙中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向上的力
D．图丁中，轨道车过最高点的最小速度为
分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
配套热练
题组练
题组一 曲线运动及其分析方法
1．(2025·广州天河区综合测试二)无人机灯光表演给喜庆的节日氛围增添了几许惊艳．在一次无人机表演中，若分别以水平向右、竖直向上为x轴、y轴的正方向，某架参演的无人机在x、y方向的v－t图像分别如图甲、乙所示，则在0～t2时间内，该无人机的运动轨迹为( )
A B C D
2．(2025·深圳红岭中学月考)(多选)一只小船渡河，船头方向始终垂直于河岸，水流速度各处相同且恒定不变．现小船相对于静水以初速度v0分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，运动轨迹如图所示，可以判断( )
A．小船沿三条不同轨迹渡河的时间相同
B．小船沿AC轨迹渡河的时间最小
C．小船沿三条不同轨迹到达河对岸时的速率相同
D．小船沿AD轨迹运动到达河对岸时的速率最小
3．(2025·茂名五校联考)如图所示，人以恒定的速度v拉动绳子，使小船沿水面向河岸靠近，则绳上的P点的瞬时速度方向符合实际的是( )
A B
C D
题组二 平抛与斜抛运动
4．(2025·深圳外国语学校三模)人在距地面高h、离靶面距离L处，将质量为m的飞镖以速度v0水平投出，落在靶心正下方，如图所示．只改变h、L、m、v0四个量中的一个，可使飞镖投中靶心的是( )
A．适当减小v0 B．适当减小h
C．适当减小m D．适当减小L
5．(2025·广州二模)两同学进行篮球传球训练，两次练习篮球在空中运动轨迹如图所示，均从a点运动到b点，且a、b等高，忽略空气阻力，则篮球两次在空中的运动( )
A．抛出初速度相同
B．速度变化率相同
C．最高点速率相同
D．经历的时间相同
6．(2025·湛江期初调研)如图所示，某同学从A点水平抛出一弹性小球(可视为质点)，小球在B点与竖直墙面发生碰撞后反弹，碰撞时间忽略不计，若弹性小球和墙面碰撞后，水平方向速度大小减小为原来的一半，竖直方向速度保持不变，经过一段时间，小球落在水平地面上．已知A点离地高为H、与墙距离为s，B点离地高为H，不计空气阻力，则小球落地时距墙面的距离为( )
A．s B．s
C．s D．2s
题组三 圆周运动
7．(2025·深圳外国语学校一模)如图所示，火车在倾斜的轨道上匀速转弯，弯道的倾角为θ，半径为r，重力加速度为g，则火车转弯时外侧车轮轮缘不对外轨产生挤压的最大速率是(设转弯半径水平)( )
A． B．
C． D．
8．(2025·广州白云区一模)在做甩手动作的物理原理课题研究中，采用手机的加速度传感器测定手的向心加速度．某次一同学先用刻度尺测量手臂长(如图所示)，然后伸直手臂，以肩为轴从水平位置加速自然下摆，当手臂摆到竖直方向时，手握住的手机显示手的向心加速度大小约为6 m/s2，下列说法中正确的是( )
A．可估算手臂摆到竖直位置时手的线速度大小约为2 m/s
B．手臂摆到竖直位置时手机处于失重状态
C．自然下摆过程中手机所受合力始终沿手臂方向
D．由an＝可知，手掌比手肘的向心加速度小
题组四 斜面上的平抛运动
9．(2024·大湾区二模)北京冬季奥运会的顺利举办激发了国民的冰雪运动热情．如图所示，某运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出并且到达斜坡上的A点，忽略空气阻力，关于运动员在空中的运动过程，下列说法中正确的是( )
A．相同时间内速度大小的变化量相等
B．速度方向与斜面的夹角越来越大
C．速度方向与加速度方向的夹角越来越小
D．运动员重力的功率保持不变
10．(2024·广东六校联考改编)(多选)如图所示，足够长的斜面静止在水平地面上．先后两次将带正电的小球从斜面底端A处以相同的速度抛出，不计空气阻力．第一次不加电场，小球恰好沿水平方向撞到斜面上B点．第二次施加范围足够大且竖直向下的匀强电场，则小球( )
A．仍然水平撞击斜面
B．撞击点在B点上方
C．飞行时间比第一次长
D．两次撞击斜面时的速度一样大
题组五 绳环杆管模型
11．(2024·潮州质检)(多选)如图所示，某乘客在公园乘坐摩天轮，设乘客到摩天轮中心的距离为r，摩天轮做匀速圆周运动，重力加速度为g．下列说法中正确的是( )
A．在最高点时乘客线速度必须不小于
B．乘客的加速度不变
C．在最低点时乘客处于超重状态
D．在最低点时乘客对座椅的压力与座椅对乘客的支持力大小相等
12．(2025·佛山石门中学月考)如图所示是游乐场的翻滚过山车装置．过山车沿直径为20 m的圆环轨道做匀速圆周运动，向心加速度大小为4g，取g＝10 m/s2．下列说法中错误的是( )
A．过山车的线速度大小约为20 m/s
B．过山车通过最低点时，乘客处于超重状态
C．过山车通过最高点时，乘客处于失重状态
D．过山车通过最高点时，乘客处于超重状态
增强练
一、单项选择题
1．(2024·广东六校联考)如图所示，滑板爱好者先后两次从坡道A点滑出，均落至B点，第二次的滞空时间比第一次长，则( )
A．两次滑出速度方向相同
B．两次腾空最大高度相同
C．第二次滑出速度一定大
D．第二次在最高点速度小
2．(2025·佛山S6联盟联考)如图所示，质量为1.6 kg、半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B(均可视为质点)的直径略小于细圆管的内径(内径远小于细圆管半径)．它们的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg．某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为零，则B球的速度大小vB为(取g＝10 m/s2)( )
A．2 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
3．(2025·肇庆端州区一模)如图所示，斜面AC与水平方向的夹角为α，在底端A正上方与顶端C等高处的E点以速度v0水平抛出一小球，小球垂直于斜面落到D点，重力加速度为g，则( )
A．小球在空中飞行时间为
B．小球落到斜面上时的速度大小为
C．CD与DA的比值为
D．小球的位移方向垂直于AC
二、多项选择题
4．(2025·汕头三模)飞镖扎气球是一种民间娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，靶面竖直固定，O点为镖靶中心，OP水平、OQ竖直，靶面图如图乙所示．若每次都在空中同一位置M点水平射出飞镖，且M、O、Q三点在同一竖直平面，忽略空气阻力．关于分别射中靶面O、P、Q三点的飞镖，下列说法中错误的是( )
A．射中O点的飞镖射出时的速度最小
B．射中P点的飞镖射出时的速度最小
C．射中Q点的飞镖空中飞行时间最长
D．射中O、P两点的飞镖空中飞行时间相等
5．(2025·河源调研测试二)如图所示，一位同学玩飞镖游戏．镖盘的半径为R，镖盘在竖直面内绕圆心以一定的角速度做匀速转动，镖盘边缘上有一点P，当P点转到最高点时，该同学将飞镖正对着P点水平抛出，结果飞镖刚好击中P点，不计空气阻力，不计飞镖的大小，重力加速度大小为g，下列说法中正确的是( )
A．当P点再次运动到最高点时飞镖刚好击中P点
B．当P点运动到最低点时飞镖刚好击中P点
C．飞镖运动的时间一定是2
D．圆盘转动的角速度大小可能为2
6．(2025·华侨中学月考)3D地图技术能够为“无人驾驶”汽车分析数据，提供操作的指令．如图所示为一段公路拐弯处的地图，则( )
A．若弯道是水平的，汽车拐弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力
B．若弯道是水平的，为防止汽车侧滑，汽车拐弯时收到的指令是让车速小一点
C．若弯道是倾斜的，为了防止汽车侧滑，道路应为内(东北)高外(西南)低
D．若弯道是倾斜的，为了防止汽车侧滑，道路应为外(西南)高内(东北)低
三、非选择题
7．(2025·肇庆鼎湖一模调研)北坡公园有一种叫“空中飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L＝5 m的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r＝2 m的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动，转盘匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，若人与座椅的总质量为50 kg，钢绳与竖直方向的夹角为θ＝37°，不计绳子重力，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2．
(1) 人在转动时的线速度多大？
(2) 此时钢绳的拉力多大？
8．(2024·广雅中学)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示．P是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h，已知重力加速度为g．
(1) 若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间．
(2) 求能被屏探测到的微粒的初速度范围大小．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)微专题3 力与曲线运动
考向1 平抛运动
(2022·广东卷)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L．当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t．不计空气阻力．下列关于子弹的说法中正确的是( B )
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
【解析】由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木运动时间相同，根据h＝gt2可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t＝，故选B．
考向2 斜面上的平抛运动
(2022·广东卷)如图所示是滑雪道的示意图．可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地．不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力．下列能表示该过程运动员速度大小v、加速度大小a随时间t变化的图像的是( C )
A B C D
【解析】设斜坡倾角为θ，运动员在斜坡MN段做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律mg sin θ＝ma1，可得a1＝g sin θ，运动员在水平NP段做匀速直线运动，加速度a2＝0，运动员从P点飞出后做平抛运动，加速度a3＝g，设在P点的速度为v0，则从P点飞出后速度v＝，由分析可知从P点飞出后速度大小与时间的图像不可能为直线，且a1＜a3，故C正确．
考向3 圆周运动的描述
(2021·广东卷)由于高度限制，车库出入口采用如图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆OP与横杆PQ链接而成，P、Q为横杆的两个端点．在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平．杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法中正确的是( A )
A．P点的线速度大小不变
B．P点的加速度方向不变
C．Q点在竖直方向做匀速运动
D．Q点在水平方向做匀速运动
【解析】由题知杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°，则P点绕O点做匀速圆周运动，则P点的线速度大小不变，A正确；由题知杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°，则P点绕O点做匀速圆周运动，P点的加速度方向时刻指向O点，B错误；Q点在竖直方向的运动与P点相同，相对于O点在竖直方向的位置y关于时间t的关系为y＝lOP·sin ，则可看出Q点在竖直方向不是匀速运动，C错误；Q点相对于O点在水平方向的位置x关于时间t的关系为x＝lOP·cos ＋lPQ，则可看出Q点在水平方向也不是匀速运动，D错误．
(2025·广东卷)(多选)将球沿光滑冰坑内壁推出，使可视为质点的小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示．已知圆周运动半径R为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°，小球质量为0.1 kg，取g＝10 m/s2．关于该小球，下列说法中正确的有( AC )
A．角速度为5 rad/s
B．线速度大小为4 m/s
C．向心加速度大小为10 m/s2
D．所受支持力大小为1 N
【解析】对小球受力分析可知F向＝mg tan 45°＝mω2R，解得ω＝5 rad/s，A正确；线速度大小为v＝ωR＝2 m/s，B错误；向心加速度大小为an＝ω2R＝10 m/s2，C正确；所受支持力大小为N＝＝ N，D错误．
考向4 圆周运动动力学问题
(2024·广东卷)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动．卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点．细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销．当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动．若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止．忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内．要使卷轴转动不停止，v的最大值为( A )
A．r B．l
C．r D．l
【解析】由题意可知当插销刚卡紧固定端盖时，弹簧的伸长量为Δx＝，根据胡克定律有F＝kΔx＝，插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销由弹力提供向心力F＝mlω2，对卷轴有v＝rω，联立解得v＝r，故A正确．
一、 曲线运动的合成与分解
1．物体做曲线运动时，轨迹夹在速度方向与合力方向之间，合力指向运动轨迹的__凹侧__．
2．曲线运动的研究思想是化曲为直，研究方法是运动的__合成与分解__，遵循平行四边形定则．
3．合运动是物体实际所做的对地运动，合运动与分运动具有等时性、等效性，各分运动具有独立性．
4．关联速度结论：把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，则__沿__绳(杆)方向的分速度大小相等．
(2025·番禺中学)火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图所示是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆一起向平台B端靠近，平台高为h，当CN＝2h时，被救人员向B点运动的速率是( C )
A．v0 B．v0
C．v0 D．v0
【解析】将N端的速度v0进行分解，设此时v0与水平方向的夹角为θ，如图所示，则人的速度等于v0沿杆的分量，即v人＝v0cos θ，根据几何关系可得cos θ＝＝，解得v人＝v0．故选C．
二、平抛运动与斜抛运动
1．平抛运动的基本结论
(1) 飞行时间：t＝．
(2) 水平射程：x＝v0t＝v0．
(3) 落地速度：大小vt＝，方向tan θ＝＝．
(4) 任何一段时间Δt内，速度变化量为Δv＝gΔt，方向恒为__竖直向下__，如图所示．
2．关于斜抛问题：从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动；分析完整的斜上抛运动，可根据__对称性__求解某些问题．常用结论：
(1) 落点与抛出点在同一水平面上时的飞行时间t＝．
(2) 射高Y＝＝．
(3) 落点与抛出点在同一水平面上时的射程X＝v0x·t＝v0cos θ·＝．
(2025·佛山一模)甲、乙两位同学玩投球游戏，如图所示，甲以大小为v1的速度从A点抛出球a，乙以大小为v2的速度从B点抛出球b，A、B两点高度差为h、水平距离为x1；两球在同一竖直平面内运动，且均运动到最高点C时相碰，A、C两点高度差为H、水平距离为x2，忽略空气阻力，球可视为质点，重力加速度大小为g，则( D )
A．两球相碰前瞬间速度相同
B．两球抛出时的时间差为
C．两球抛出时的时间差为
D．球b初速度方向与水平方向的夹角满足tan θ＝
【解析】将两球的运动的逆过程看作是反向的平抛运动，根据vx＝x，因a球的竖直高度大且水平距离小，可知a球在C点的速度较小，即两球相碰前瞬间速度不相同，A错误；因v1和v2不是两球的水平速度，可知两球抛出时的时间差不等于，B错误；两球抛出时的时间差为Δt＝，C错误；球b位移方向与水平方向的夹角满足tan α＝，则球b初速度方向与水平方向的夹角满足tan θ＝2tan α＝，D正确．
三、圆周运动
1．解题关键
(1) 正确进行受力分析，明确向心力的来源，确定圆心以及半径．
(2) 列出正确的动力学方程F＝m＝mrω2＝mωv＝mr．结合v＝ωr、T＝＝等基本公式进行求解．
2．思维流程
(2025·佛山顺德二模)(多选)如图为自行车车轮的气嘴灯原理图，气嘴灯由接触式开关控制．其结构为弹簧一端固定在顶部A，另一端与重物连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，重物拉伸弹簧后使点M、N接触，从而接通电路使气嘴灯发光．触点N与车轮圆心距离为R，车轮静止且B端在车轮最低点时触点M、N距离为0.05R．已知A靠近车轮圆心、B固定在车轮内臂，重物与触点M的总质量为m．弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g．不计接触式开关中的一切摩擦，重物和触点M、N均视为质点，则有( BC )
A．相同转速下，重物质量大小对能否接通LED灯没影响
B．转速越大，重物质量越大，LED灯越容易发光
C．使得LED灯发光的最小角速度为
D．若气嘴灯在最低点能发光，同一转速下在最高点也一定能发光
【解析】当气嘴灯在最低点时，根据牛顿第二定律可得kx－mg＝mω2R，可知角速度相同时，m越大，弹簧伸长量x越大，灯越容易接通，同理角速度越大，x越大，灯越容易接通，在最高点时，分析结果一样，A错误，B正确；在最低点静止时，有kx0＝mg，当M、N刚接触时有k(x0＋0.05R)－mg＝mω2R，解得ω＝，C正确；在最高点，有kx′＋mg＝mω2R，由此可知，弹簧的伸长量小于最低点时的伸长量，则气嘴灯不一定能发光，D错误．
四、斜面上的平抛运动
(2025·深圳外国语学校)(多选)北京冬奥会的举办让越来越多的运动爱好者被吸引到冰雪运动中来，其中高台跳雪是北京冬奥会的比赛项目之一．如图甲所示，两名跳雪爱好者a、b(可视为质点)从雪道末端先后以初速度之比va∶vb＝1∶4，沿水平方向向左飞出，示意图如图乙所示．不计空气阻力，则两名跳雪爱好者从飞出至落到雪坡(可视为斜面)上的整个过程中，下列说法中正确的是( AC )
A．他们飞行时间之比为1∶4
B．他们飞行的水平位移之比为1∶8
C．他们在空中离雪坡面的最大距离之比为1∶16
D．他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同
【解析】设运动员的初速度为v0时，飞行时间为t，水平方向的位移大小为x、竖直方向的位移大小为y，如图所示．运动员在水平方向上做匀速直线运动，有x＝v0t，在竖直方向上做自由落体运动，有y＝gt2，运动员落在斜面上时，有tan θ＝，联立解得t＝，则知运动员飞行的时间t与v0成正比，则他们飞行时间之比为＝＝，A正确；水平位移x＝v0t＝，运动员飞行的水平位移x与初速度的平方成正比，则他们飞行的水平位移之比为1∶16，B错误；将运动员的运动分解为沿坡面和垂直于坡面的两个方向上，建立直角坐标系，在沿坡面方向做匀加速直线运动，垂直于坡面方向做匀减速直线运动，则运动员在空中离雪道坡面的最大距离为hmax＝∝，所以他们在空中离雪道坡面的最大距离之比为1∶16，C正确；落到雪坡上时，设运动员的速度方向与竖直方向夹角为α，则有tan α＝＝＝＝，则他们落到雪坡上的瞬时速度方向一定相同，D错误．
1．斜面平抛运动模型
模型
方法 分解速度，构建速度三角形，找到斜面倾角θ与速度方向的关系 分解速度，构建速度的矢量三角形 分解位移，构建位移三角形，隐含条件：斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角
2．物体离斜面距离最大时，速度平行斜面，可分解速度，根据tan θ＝，可求飞行时间t＝．
五、绳环杆管模型
(2024·福建厦门模拟)如图所示，甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁(由上、下、侧三个轮子组成)把轨道车套在了轨道上，车中座椅是指底座、靠背以及安全卡扣组成的整体，四个图中轨道的半径都为R．下列说法中正确的是( C )
A．图甲中，当轨道车以一定的速度通过轨道最高点时，座椅一定给人向上的力
B．图乙中，轨道车过最低点的最大速度为
C．图丙中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向上的力
D．图丁中，轨道车过最高点的最小速度为
【解析】由重力提供向心力可得mg＝m，轨道车通过最高点的临界速度为v＝，若通过最高点速度大于临界速度，座椅给人的力向下，若通过最高点速度小于临界速度，座椅给人的力向上，故A错误；图乙中轨道车合力向上，可得F－mg＝m，由于不知轨道车和轨道弹力最大值，所以不能求出速度最大值，故B错误；图丙中人的合力向上提供向心力，所以座椅给人向上的力，故C正确；图丁中，轨道可以提供轨道车向上弹力，属于圆周运动“轻杆”模型，所以最高点速度大于零即可，故D错误．
分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
配套热练
题组练
题组一 曲线运动及其分析方法
1．(2025·广州天河区综合测试二)无人机灯光表演给喜庆的节日氛围增添了几许惊艳．在一次无人机表演中，若分别以水平向右、竖直向上为x轴、y轴的正方向，某架参演的无人机在x、y方向的v－t图像分别如图甲、乙所示，则在0～t2时间内，该无人机的运动轨迹为( A )
A B C D
【解析】由图可知，在0～t1时间内无人机竖直方向做匀速直线运动，水平方向向右做匀减速直线运动，可知在0～t1时间内无人机受到的合外力方向水平向左，根据合外力指向轨迹凹处，可知0～t1时间内无人机运动的轨迹向左弯曲；在t1～t2时间内无人机竖直方向向上做匀减速直线运动，水平方向做匀速直线运动，可知在t1～t2时间内无人机的合外力竖直向下，根据合外力指向轨迹凹处，可知在t1～t2时间内无人机运动的轨迹向下弯曲，故选A．
2．(2025·深圳红岭中学月考)(多选)一只小船渡河，船头方向始终垂直于河岸，水流速度各处相同且恒定不变．现小船相对于静水以初速度v0分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，运动轨迹如图所示，可以判断( BD )
A．小船沿三条不同轨迹渡河的时间相同
B．小船沿AC轨迹渡河的时间最小
C．小船沿三条不同轨迹到达河对岸时的速率相同
D．小船沿AD轨迹运动到达河对岸时的速率最小
【解析】小船沿三条不同轨迹渡河时，垂直河岸方向的位移相同，当垂直河岸方向做匀加速运动时所用时间最短，匀减速运动时所用时间最长，A错误；当小船垂直河岸做匀加速运动时，加速度指向河对岸，因加速度方向指向轨迹的凹向，可知AC为匀加速运动时的轨迹，即小船沿AC轨迹渡河的时间最小，B正确；小船沿三条不同轨迹到达河对岸时垂直河岸方向的速度不同，沿平行河岸方向的速度相同，可知合速度大小不同，即速率不相同，C错误；小船沿AD轨迹运动到达河对岸时，小船垂直河岸做匀减速运动，到达对岸时垂直河岸方向的速度最小，可知合速率最小，D正确．
3．(2025·茂名五校联考)如图所示，人以恒定的速度v拉动绳子，使小船沿水面向河岸靠近，则绳上的P点的瞬时速度方向符合实际的是( B )
A B
C D
【解析】P点沿绳子方向的分速度和小船沿绳子方向的分速度相等，但垂直于绳子方向的分速度小于小船垂直于绳子方向的分速度，即合速度方向斜向上如B项所示，故选B．
题组二 平抛与斜抛运动
4．(2025·深圳外国语学校三模)人在距地面高h、离靶面距离L处，将质量为m的飞镖以速度v0水平投出，落在靶心正下方，如图所示．只改变h、L、m、v0四个量中的一个，可使飞镖投中靶心的是( D )
A．适当减小v0 B．适当减小h
C．适当减小m D．适当减小L
【解析】飞镖飞出后在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动；开始时飞镖落于靶心下方，说明在飞镖水平方向飞行L时，下落高度较大，而水平方向L＝v0t，竖直方向h0＝gt2，联立可得h0＝，为减小h0，可以减小L或增大v0，也可以适当提高h，A、B不符合题意，D符合题意；平抛运动规律和物体的质量无关，C不符合题意．
5．(2025·广州二模)两同学进行篮球传球训练，两次练习篮球在空中运动轨迹如图所示，均从a点运动到b点，且a、b等高，忽略空气阻力，则篮球两次在空中的运动( B )
A．抛出初速度相同
B．速度变化率相同
C．最高点速率相同
D．经历的时间相同
【解析】两次竖直高度不同，根据t＝可知，时间不同，轨迹越高的(设为轨迹1)时间长，根据vy＝gt可知，轨迹1的竖直速度较大，根据x＝v0t可知，轨迹1的水平速度较小，则两次抛出的初速度关系不确定，两次加速度均为g，即速度变化率相等；到达最高点时轨迹1的速度较小，故选B．
6．(2025·湛江期初调研)如图所示，某同学从A点水平抛出一弹性小球(可视为质点)，小球在B点与竖直墙面发生碰撞后反弹，碰撞时间忽略不计，若弹性小球和墙面碰撞后，水平方向速度大小减小为原来的一半，竖直方向速度保持不变，经过一段时间，小球落在水平地面上．已知A点离地高为H、与墙距离为s，B点离地高为H，不计空气阻力，则小球落地时距墙面的距离为( A )
A．s B．s
C．s D．2s
【解析】设小球从抛出到碰墙的时间为t1，从碰墙到落地时间为t2，根据运动的独立性，小球竖直方向上有＝，H＝g(t1＋t2)2，解得t2＝t1，水平方向上，碰墙前有s＝v0t1，碰墙后有s′＝t2＝s，故选A．
题组三 圆周运动
7．(2025·深圳外国语学校一模)如图所示，火车在倾斜的轨道上匀速转弯，弯道的倾角为θ，半径为r，重力加速度为g，则火车转弯时外侧车轮轮缘不对外轨产生挤压的最大速率是(设转弯半径水平)( C )
A． B．
C． D．
【解析】火车在倾斜的轨道上匀速转弯时，若内、外侧车轮轮缘不对内、外轨产生挤压，则由火车的重力与倾斜轨道的支持力的合力提供向心力，如图所示．设此时火车的速率为v，则此速率是火车转弯时外侧车轮轮缘不对外轨产生挤压的最大值，由牛顿第二定律可得mg tan θ＝m，解得vm＝，故选C．
8．(2025·广州白云区一模)在做甩手动作的物理原理课题研究中，采用手机的加速度传感器测定手的向心加速度．某次一同学先用刻度尺测量手臂长(如图所示)，然后伸直手臂，以肩为轴从水平位置加速自然下摆，当手臂摆到竖直方向时，手握住的手机显示手的向心加速度大小约为6 m/s2，下列说法中正确的是( A )
A．可估算手臂摆到竖直位置时手的线速度大小约为2 m/s
B．手臂摆到竖直位置时手机处于失重状态
C．自然下摆过程中手机所受合力始终沿手臂方向
D．由an＝可知，手掌比手肘的向心加速度小
【解析】由图可知，手臂长度l＝65.00 cm＝0.650 0 m，由an＝可得手臂摆到竖直位置时手的线速度大小v＝＝ m/s≈2 m/s，A正确；手臂摆到竖直位置时手机的加速度竖直向上，处于超重状态，B错误；自然下摆过程中手机做变速圆周运动，所受合力不始终沿手臂方向，C错误；手掌与手肘的转动角速度相同，手掌比手肘的转动半径大，由an＝ω2r可知，手掌比手肘的向心加速度大，D错误．
题组四 斜面上的平抛运动
9．(2024·大湾区二模)北京冬季奥运会的顺利举办激发了国民的冰雪运动热情．如图所示，某运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出并且到达斜坡上的A点，忽略空气阻力，关于运动员在空中的运动过程，下列说法中正确的是( C )
A．相同时间内速度大小的变化量相等
B．速度方向与斜面的夹角越来越大
C．速度方向与加速度方向的夹角越来越小
D．运动员重力的功率保持不变
【解析】平抛运动竖直方向做自由落体运动，则相同时间内竖直方向速度大小变化相同，但水平方向速度一直不变，则合速度大小变化不同，故A错误；当运动员运动到离斜面最远的位置时，速度与斜面是平行关系，此时夹角为零，所以运动员速度方向与斜面的夹角先减小，后增大，故B错误；运动过程中，竖直速度越来越大，水平速度不变，则合速度与竖直方向夹角越来越小，即速度方向与加速度方向的夹角越来越小，故C正确；由于竖直速度越来越大，而重力的功率等于竖直速度与重力的乘积，则重力的功率越来越大，故D错误．
10．(2024·广东六校联考改编)(多选)如图所示，足够长的斜面静止在水平地面上．先后两次将带正电的小球从斜面底端A处以相同的速度抛出，不计空气阻力．第一次不加电场，小球恰好沿水平方向撞到斜面上B点．第二次施加范围足够大且竖直向下的匀强电场，则小球( AD )
A．仍然水平撞击斜面
B．撞击点在B点上方
C．飞行时间比第一次长
D．两次撞击斜面时的速度一样大
【解析】第一次不加电场，小球恰好沿水平方向撞到斜面上，采用逆向思维，将其看成平抛运动，则小球撞上斜面时与斜面的夹角为θ，设斜面倾角为α，即平抛运动位移方向与水平方向夹角为α，则平抛运动的末速度方向与水平方向夹角为α＋θ，则有tan α＝＝＝，tan (α＋θ)＝＝，2tan α＝tan (α＋θ)，第二次施加范围足够大且竖直向下的匀强电场，小球竖直方向的加速度变大，初速度不变，小球的逆运动为类平抛运动，上述结论2tan α＝tan (α＋θ)依然成立，所以小球仍然水平撞击斜面，故A正确；不加电场时，设小球运动时间为t，有vy＝v0sin (α＋θ)＝gt，施加电场后，小球的加速度变大，设小球运动时间为t′，则有vy＝v0sin (α＋θ)＝at′，a＞g，所以t′＜t，加电场后，小球的水平分速度不变，小球做平抛运动的水平位移x′＝vxt′变小，而tan α＝，故竖直分位移y′变小，即撞击点在B点下方，故B、C错误；加电场与不加电场小球水平方向速度vx不变，所以两次撞击斜面时的速度一样大，故D正确．
题组五 绳环杆管模型
11．(2024·潮州质检)(多选)如图所示，某乘客在公园乘坐摩天轮，设乘客到摩天轮中心的距离为r，摩天轮做匀速圆周运动，重力加速度为g．下列说法中正确的是( CD )
A．在最高点时乘客线速度必须不小于
B．乘客的加速度不变
C．在最低点时乘客处于超重状态
D．在最低点时乘客对座椅的压力与座椅对乘客的支持力大小相等
【解析】在最高点时，由重力和支持力的合力提供向心力，合力向下，则有＝mg－FN，可以看出当支持力为mg时，v＝0，所以在最高点时乘客线速度可以小于，故A错误；摩天轮做匀速圆周运动时，乘客也做匀速圆周运动，加速度的大小保持不变，但方向是改变的，故B错误；在最低点时，由重力和支持力的合力提供向心力，合力向上，则有＝FN－mg，即乘客受到的支持力大于重力，乘客处于超重状态，故C正确；因为是相互作用力，在最低点时乘客对座椅的压力与座椅对乘客的支持力大小相等，故D正确．
12．(2025·佛山石门中学月考)如图所示是游乐场的翻滚过山车装置．过山车沿直径为20 m的圆环轨道做匀速圆周运动，向心加速度大小为4g，取g＝10 m/s2．下列说法中错误的是( D )
A．过山车的线速度大小约为20 m/s
B．过山车通过最低点时，乘客处于超重状态
C．过山车通过最高点时，乘客处于失重状态
D．过山车通过最高点时，乘客处于超重状态
【解析】过山车做匀速圆周运动，由an＝，得v＝＝＝ m/s＝20 m/s，A正确，不符合题意；在最低点，重力和轨道对车的支持力的合力提供向心力，向心加速度朝上，由牛顿第二定律可知N－mg＝ma，解得N＝5mg，所以过山车通过最低点时，乘客处于超重状态，B正确，不符合题意；在最高点，重力和轨道对车的支接力的合力提供向心力，向心加速度朝下，列车失重，乘客处于失重状态，C正确，不符合题意；D错误，符合题意．
增强练
一、单项选择题
1．(2024·广东六校联考)如图所示，滑板爱好者先后两次从坡道A点滑出，均落至B点，第二次的滞空时间比第一次长，则( D )
A．两次滑出速度方向相同
B．两次腾空最大高度相同
C．第二次滑出速度一定大
D．第二次在最高点速度小
【解析】对滑板爱好者运动分析可知，从坡道A点滑出后，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，根据竖直上抛运动的对称性，即上升时间等于下降时间，由题知第二次的滞空时间比第一次长，所以第二次下降时间大于第一次，由h＝gt2知，第二次腾空最大高度大于第一次，又因为两次水平位移相等，所以两次位移偏转角不同，即两次滑出速度方向不相同，故A、B错误；因为第二次下降时间大于第一次，且两次水平位移相等，由x＝vxt知，第二次滑出后水平分速度小于第一次，即第二次在最高点速度小，又由vy＝gt可知，第二次滑出后竖直分速度大于第一次，所以第二次滑出速度不一定大，故C错误，D正确．
2．(2025·佛山S6联盟联考)如图所示，质量为1.6 kg、半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B(均可视为质点)的直径略小于细圆管的内径(内径远小于细圆管半径)．它们的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg．某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为零，则B球的速度大小vB为(取g＝10 m/s2)( B )
A．2 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
【解析】对A分析，根据牛顿第二定律有FA－mAg＝mA ，可得圆管对小球A的弹力为FA＝28 N，方向向上，则小球A对圆管的弹力为F1＝FA＝28 N，方向向下；对圆管分析，则有F2＝F1＋mg，解得F2＝44 N，则小球B对圆管的弹力为F2＝44 N，方向向上，则圆管对小球B的弹力为FB＝F2＝44 N，方向向下，对小球B分析，有FB＋mBg＝mB，解得小球B的速度为vB＝4 m/s，故选B．
3．(2025·肇庆端州区一模)如图所示，斜面AC与水平方向的夹角为α，在底端A正上方与顶端C等高处的E点以速度v0水平抛出一小球，小球垂直于斜面落到D点，重力加速度为g，则( C )
A．小球在空中飞行时间为
B．小球落到斜面上时的速度大小为
C．CD与DA的比值为
D．小球的位移方向垂直于AC
【解析】小球的运动轨迹图如图所示，把速度分解．小球垂直于斜面落到D点，所以在D点时有tan α＝，解得t＝，A错误；小球垂直于斜面落到D点，所以小球落到斜面上时的速度大小为v＝，B错误；根据几何关系，sDA＝，sCD＝，整理得CD与DA的比值为，C正确；由图可知，位移不垂直于AC，D错误．
二、多项选择题
4．(2025·汕头三模)飞镖扎气球是一种民间娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，靶面竖直固定，O点为镖靶中心，OP水平、OQ竖直，靶面图如图乙所示．若每次都在空中同一位置M点水平射出飞镖，且M、O、Q三点在同一竖直平面，忽略空气阻力．关于分别射中靶面O、P、Q三点的飞镖，下列说法中错误的是( AB )
A．射中O点的飞镖射出时的速度最小
B．射中P点的飞镖射出时的速度最小
C．射中Q点的飞镖空中飞行时间最长
D．射中O、P两点的飞镖空中飞行时间相等
【解析】飞镖做平抛运动，由平抛运动的特点有h＝gt2，x＝vt，联立解得v＝＝x，因为hO＝hP＜hQ，可知射中O、P两点的飞镖空中飞行时间相等，射中Q点的飞镖空中飞行时间最长，即tQ＞tO＝tP，又因为xO＝xQ＜xP，则有vQ＜vO＜vP，可知平抛初速度最小的是射中Q点的，A、B错误，符合题意，C、D正确，不符合题意．
5．(2025·河源调研测试二)如图所示，一位同学玩飞镖游戏．镖盘的半径为R，镖盘在竖直面内绕圆心以一定的角速度做匀速转动，镖盘边缘上有一点P，当P点转到最高点时，该同学将飞镖正对着P点水平抛出，结果飞镖刚好击中P点，不计空气阻力，不计飞镖的大小，重力加速度大小为g，下列说法中正确的是( BC )
A．当P点再次运动到最高点时飞镖刚好击中P点
B．当P点运动到最低点时飞镖刚好击中P点
C．飞镖运动的时间一定是2
D．圆盘转动的角速度大小可能为2
【解析】由于飞镖做平抛运动，因此一定是当P点运动到最低点时飞镖刚好击中P点，A错误，B正确；飞镖运动的时间由平抛运动的高度决定，根据2R＝gt2，解得t＝2，C正确；设圆盘转动的角速度为ω，结合上述有ωt＝(2n＋1)π(n＝0，1，2，3，…)，解得ω＝，若角速度大小为2，解得n＝1.5，由此判断镖盘转动的角速度大小不可能为2，D错误．
6．(2025·华侨中学月考)3D地图技术能够为“无人驾驶”汽车分析数据，提供操作的指令．如图所示为一段公路拐弯处的地图，则( BD )
A．若弯道是水平的，汽车拐弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力
B．若弯道是水平的，为防止汽车侧滑，汽车拐弯时收到的指令是让车速小一点
C．若弯道是倾斜的，为了防止汽车侧滑，道路应为内(东北)高外(西南)低
D．若弯道是倾斜的，为了防止汽车侧滑，道路应为外(西南)高内(东北)低
【解析】如果弯道是水平的，则“无人驾驶”汽车在拐弯时受到重力、支持力、摩擦力，向心力是效果力，由物体所受性质力提供，A错误；如果弯道是水平的，由静摩擦力提供向心力，根据f＝m可知，速度越大，所需要的向心力越大，当需要的向心力大于最大静摩擦力时，汽车做离心运动，所以“无人驾驶”汽车在拐弯时收到的指令是让车速小一点，防止汽车做离心运动而发生侧翻，B正确；如果弯道是倾斜的，重力和支持力的合力可以提供向心力，而向心力指向圆心，所以3D地图上应标出外(西南)高内(东北)低，C错误，D正确．
三、非选择题
7．(2025·肇庆鼎湖一模调研)北坡公园有一种叫“空中飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L＝5 m的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r＝2 m的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动，转盘匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，若人与座椅的总质量为50 kg，钢绳与竖直方向的夹角为θ＝37°，不计绳子重力，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2．
(1) 人在转动时的线速度多大？
(2) 此时钢绳的拉力多大？
答案：(1) m/s (2) 625 N
【解析】(1) 由题可知，座椅到中心轴的距离
R＝r＋L sin θ
代入数据得R＝5 m
对座椅和人分析有F向＝mg tan θ＝
代入数据得v＝ m/s
(2) 对座椅和人分析得，钢绳的拉力T＝
代入数据得T＝625 N
8．(2024·广雅中学)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示．P是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h，已知重力加速度为g．
(1) 若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间．
(2) 求能被屏探测到的微粒的初速度范围大小．
答案：(1) (2) L≤v≤L
【解析】(1) 对打在AB中点的微粒有h＝gt2
解得t＝
(2) 打在B点的微粒v1＝，2h＝
解得v1＝L
同理，打在A点的微粒初速度v2＝L
能被屏探测到的微粒的初速度范围大小为
L≤v≤L
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共74张PPT)
专题一
微专题3 力与曲线运动
力与运动
直面高考真题
考向1 平抛运动
1
B
考向2 斜面上的平抛运动
(2022·广东卷)如图所示是滑雪道的示意图．可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地．不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力．下列能表示该过程运动员速度大小v、加速度大小a随时间t变化的图像的是 ( )
2
C
A
B
C
D
考向3 圆周运动的描述
(2021·广东卷)由于高度限制，车库出入口采用如图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆OP与横杆PQ链接而成，P、Q为横杆的两个端点．在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平．杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法中正确的是 ( )
A．P点的线速度大小不变
B．P点的加速度方向不变
C．Q点在竖直方向做匀速运动
D．Q点在水平方向做匀速运动
3
A
(2025·广东卷)(多选)将球沿光滑冰坑内壁推出，使可视为质点的小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示．已知圆周运动半径R为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°，小球质量为0.1 kg，取g＝10 m/s2．关于该小球，下列说法中正确的有 ( )
A．角速度为5 rad/s B．线速度大小为4 m/s
C．向心加速度大小为10 m/s2 D．所受支持力大小为1 N
4
AC
考向4 圆周运动动力学问题
5
A
强化核心考点
一、 曲线运动的合成与分解
1．物体做曲线运动时，轨迹夹在速度方向与合力方向之间，合力指向运动轨迹的________．
2．曲线运动的研究思想是化曲为直，研究方法是运动的______________，遵循平行四边形定则．
3．合运动是物体实际所做的对地运动，合运动与分运动具有等时性、等效性，各分运动具有独立性．
4．关联速度结论：把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，则______绳(杆)方向的分速度大小相等．
凹侧
合成与分解
沿
1
C
竖直向下
对称性
2
D
2．思维流程
3
BC
突破关键问题
四、斜面上的平抛运动
(2025·深圳外国语学校)(多选)北京冬奥会的举办让越来越多的运动爱好者被吸引到冰雪运动中来，其中高台跳雪是北京冬奥会的比赛项目之一．如图甲所示，两名跳雪爱好者a、b(可视为质点)从雪道末端先后以初速度之比va∶vb＝1∶4，沿水平方向向左飞出，示意图如图乙所示．不计空气阻力，则两名跳雪爱好者从飞出至落到雪坡(可视为斜面)上的整个过程中，下列说法中正确的是( )
A．他们飞行时间之比为1∶4
B．他们飞行的水平位移之比为1∶8
C．他们在空中离雪坡面的最大距离之比为1∶16
D．他们落到雪坡上的瞬时速度方向可能不同
4
AC
1．斜面平抛运动模型
模型
方法 分解速度，构建速度三角形，找到斜面倾角θ与速度方向的关系 分解速度，构建速度的矢量三角形 分解位移，构建位移三角形，隐含条件：斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角
5
C
分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
热练
题组一 曲线运动及其分析方法
1．(2025·广州天河区综合测试二)无人机灯光表演给喜庆的节日氛围增添了几许惊艳．在一次无人机表演中，若分别以水平向右、竖直向上为x轴、y轴的正方向，某架参演的无人机在x、y方向的v－t
图像分别如图甲、乙所示，则在0～t2时
间内，该无人机的运动轨迹为 ( )
A
A
B
C
D
【解析】由图可知，在0～t1时间内无人机竖直方向做匀速直线运动，水平方向向右做匀减速直线运动，可知在0～t1时间内无人机受到的合外力方向水平向左，根据合外力指向轨迹凹处，可知0～t1时间内无人机运动的轨迹向左弯曲；在t1～t2时间内无人机竖直方向向上做匀减速直线运动，水平方向做匀速直线运动，可知在t1～t2时间内无人机的合外力竖直向下，根据合外力指向轨迹凹处，可知在t1～t2时间内无人机运动的轨迹向下弯曲，故选A．
2．(2025·深圳红岭中学月考)(多选)一只小船渡河，船头方向始终垂直于河岸，水流速度各处相同且恒定不变．现小船相对于静水以初速度v0分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，运动轨迹如图所示，可以判断 ( )
A．小船沿三条不同轨迹渡河的时间相同
B．小船沿AC轨迹渡河的时间最小
C．小船沿三条不同轨迹到达河对岸时的速率相同
D．小船沿AD轨迹运动到达河对岸时的速率最小
BD
【解析】小船沿三条不同轨迹渡河时，垂直河岸方向的位移相同，当垂直河岸方向做匀加速运动时所用时间最短，匀减速运动时所用时间最长，A错误；当小船垂直河岸做匀加速运动时，加速度指向河对岸，因加速度方向指向轨迹的凹向，可知AC为匀加速运动时的轨迹，即小船沿AC轨迹渡河的时间最小，B正确；小船沿三条不同轨迹到达河对岸时垂直河岸方向的速度不同，沿平行河岸方向的速度相同，可知合速度大小不同，即速率不相同，C错误；小船沿AD轨迹运动到达河对岸时，小船垂直河岸做匀减速运动，到达对岸时垂直河岸方向的速度最小，可知合速率最小，D正确．
3．(2025·茂名五校联考)如图所示，人以恒定的速度v拉动绳子，使小船沿水面向河岸靠近，则绳上的P点的瞬时速度方向符合实际的是 ( )
B
【解析】P点沿绳子方向的分速度和小船沿绳子方向的分速度相等，但垂直于绳子方向的分速度小于小船垂直于绳子方向的分速度，即合速度方向斜向上如B项所示，故选B．
A
B
C
D
题组二 平抛与斜抛运动
4．(2025·深圳外国语学校三模)人在距地面高h、离靶面距离L处，将质量为m的飞镖以速度v0水平投出，落在靶心正下方，如图所示．只改变h、L、m、v0四个量中的一个，可使飞镖投中靶心的是 ( )
A．适当减小v0
B．适当减小h
C．适当减小m
D．适当减小L
D
5．(2025·广州二模)两同学进行篮球传球训练，两次练习篮球在空中运动轨迹如图所示，均从a点运动到b点，且a、b等高，忽略空气阻力，则篮球两次在空中的运动 ( )
A．抛出初速度相同
B．速度变化率相同
C．最高点速率相同
D．经历的时间相同
B
A
C
A
题组四 斜面上的平抛运动
9．(2024·大湾区二模)北京冬季奥运会的顺利举办激发了国民的冰雪运动热情．如图所示，某运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出并且到达斜坡上的A点，忽略空气阻力，关于运动员在空中的运动过程，下列说法中正确的是( )
A．相同时间内速度大小的变化量相等
B．速度方向与斜面的夹角越来越大
C．速度方向与加速度方向的夹角越来越小
D．运动员重力的功率保持不变
C
【解析】平抛运动竖直方向做自由落体运动，则相同时间内竖直方向速度大小变化相同，但水平方向速度一直不变，则合速度大小变化不同，故A错误；当运动员运动到离斜面最远的位置时，速度与斜面是平行关系，此时夹角为零，所以运动员速度方向与斜面的夹角先减小，后增大，故B错误；运动过程中，竖直速度越来越大，水平速度不变，则合速度与竖直方向夹角越来越小，即速度方向与加速度方向的夹角越来越小，故C正确；由于竖直速度越来越大，而重力的功率等于竖直速度与重力的乘积，则重力的功率越来越大，故D错误．
10．(2024·广东六校联考改编)(多选)如图所示，足够长的斜面静止在水平地面上．先后两次将带正电的小球从斜面底端A处以相同的速度抛出，不计空气阻力．第一次不加电场，小球恰好沿水平方向撞到斜面上B点．第二次施加范围足够大且竖直向下的匀强电场，则小球 ( )
A．仍然水平撞击斜面
B．撞击点在B点上方
C．飞行时间比第一次长
D．两次撞击斜面时的速度一样大
AD
CD
12．(2025·佛山石门中学月考)如图所示是游乐场的翻滚过山车装置．过山车沿直径为20 m的圆环轨道做匀速圆周运动，向心加速度大小为4g，取g＝10 m/s2 .下列说法中错误的是 ( )
A．过山车的线速度大小约为20 m/s
B．过山车通过最低点时，乘客处于超重状态
C．过山车通过最高点时，乘客处于失重状态
D．过山车通过最高点时，乘客处于超重状态
D
一、单项选择题
1．(2024·广东六校联考)如图所示，滑板爱好者先后两次从坡道A点滑出，均落至B点，第二次的滞空时间比第一次长，则 ( )
A．两次滑出速度方向相同
B．两次腾空最大高度相同
C．第二次滑出速度一定大
D．第二次在最高点速度小
D
2．(2025·佛山S6联盟联考)如图所示，质量为1.6 kg、半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B(均可视为质点)的直径略小于细圆管的内径(内径远小于细圆管半径)．它们的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg．某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为零，则B球的速度大小vB为(取g＝10 m/s2) ( )
A．2 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
B
C
二、多项选择题
4．(2025·汕头三模)飞镖扎气球是一种民间娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，靶面竖直固定，O点为镖靶中心，OP水平、OQ竖直，靶面图如图乙所示．若每次都在空中同一位置M点水平射出飞镖，且M、O、Q三点在同一竖直平面，忽略空气阻力．关于分别射中靶面O、P、Q三点的飞镖，下列说法中错误的是 ( )
A．射中O点的飞镖射出时的速度最小
B．射中P点的飞镖射出时的速度最小
C．射中Q点的飞镖空中飞行时间最长
D．射中O、P两点的飞镖空中飞行时间相等
AB
BC
6．(2025·华侨中学月考)3D地图技术能够为“无人驾驶”汽车分析数据，提供操作的指令．如图所示为一段公路拐弯处的地图，则 ( )
A．若弯道是水平的，汽车拐弯时受到重力、支持力、摩擦力
和向心力
B．若弯道是水平的，为防止汽车侧滑，汽车拐弯时收到的指
令是让车速小一点
C．若弯道是倾斜的，为了防止汽车侧滑，道路应为内(东北)高外(西南)低
D．若弯道是倾斜的，为了防止汽车侧滑，道路应为外(西南)高内(东北)低
BD
(2) 此时钢绳的拉力多大？
答案：(2) 625 N
