人教版（2024）八年级上册 综合与实践 最短路径问题 寒假巩固（含答案）

人教版（2024）八年级上册 综合与实践 最短路径问题 寒假巩固
【题型1】牧民饮马问题
【典型例题】如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，军官从军营C出发先到河边(河流用AB表示)饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗？下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为AC＝p（m），BD＝q（m），且CD＝（p+q）m，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C 　 　m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）
【举一反三3】从A到B地有①，②，③三条路可以走，每条路长分别为l，m，n，则第 条路最短，另两条路的长短关系是 ．
【举一反三4】在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．
如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
请你参考小华的做法解决下列问题．如图（3），在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
【举一反三5】如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．)
【题型2】距离和最小、面积最小等问题
【典型例题】如图，已知∠MON＝60°，P为∠MON内一点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为(　　)
A.40° B.60° C.100° D.120°
【举一反三1】如图所示，在△ABC中，∠ABC＝68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是（　　）
A.118° B.125° C.136° D.124°
【举一反三2】如图，在学习了轴对称后，小华在课外研究三角板时发现“两块完全相同的含有角的三角板可以拼成一个等边三角形”，请你帮他解决以下问题：在直角中，，点E，P分别在斜边和直角边上，则的最小值是 ．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是　 　；
（2）探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；
（3）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由．
【举一反三4】如图，已知平面直角坐标系．
(1)作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标．
(2)求的面积．
(3)在轴上画出点，使最小．（保留作图痕迹）
人教版（2024）八年级上册 综合与实践 最短路径问题 寒假巩固（参考答案）
【题型1】牧民饮马问题
【典型例题】如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：如图，
画出点关于的对称点，则，
连接，交直线于点，
，
此时，最小．
【举一反三1】如图，军官从军营C出发先到河边(河流用AB表示)饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗？下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由选项D中图可知，
作D点关于直线AB的对称点D'，连接CD'交AB于点N，
由对称性可知，DN＝D'N，
∴CN＋DN＝CN＋D'N≥CD'，
当C，N，D'三点共线时，CN＋DN的距离最短.
【举一反三2】为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为AC＝p（m），BD＝q（m），且CD＝（p+q）m，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C 　 　m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）
【答案】p．
【解析】解：作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交直线b于点P，
∴BP＝B'P，
∴AP+BP＝AP+B'P≥AB'，此时P点到A与B的距离和最小，
过B'作B'M∥CD，延长AC与B'M交于点M，
∴B'M＝CD，
∵AC＝p（m）、BD＝q（m），CD＝（p+q）m，
∴AM＝（p+q）m，
∴∠CAP＝45°，
∴AC＝CP，
∴P点与C点的距离是p（m），
【举一反三3】从A到B地有①，②，③三条路可以走，每条路长分别为l，m，n，则第 条路最短，另两条路的长短关系是 ．
【答案】② 相等
【解析】解：根据平移的性质可得①，③两条路线的总长度相等；
②路线的长度最短，因为．
【举一反三4】在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．
如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
请你参考小华的做法解决下列问题．如图（3），在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】解：如图所示：作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，
与BC交于点P，P点即为所求.
【举一反三5】如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．)
【答案】解：如图，平移点A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于点N，作桥MN，此时路径AM＋MN＋BN最短．
理由：根据题意任作一线段M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.
由平移性质可知，AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1，AM＋MN＋BN转化为AA1＋A1B，而AM1＋M1N1＋BN1转化为AA1＋A1N1＋BN1.
在△A1N1B中，因为A1N1＋BN1>A1B.
因此AM1＋M1N1＋BN1>AM＋MN＋BN.
【题型2】距离和最小、面积最小等问题
【典型例题】如图，已知∠MON＝60°，P为∠MON内一点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为(　　)
A.40° B.60° C.100° D.120°
【答案】B
【解析】解：如图，分别作出点P关于OM，ON的对称点P1，P2，连接P1P2分别交OM，ON于A，B两点，此时△PAB的周长最小，
由题意可知∠P1PP2＝180°－∠MON＝180°－60°＝120°，
∴∠P1PA＋∠P2PB＝∠P1＋∠P2＝180°－∠P1PP2＝60°，
∴∠APB＝120°－60°＝60°.
【举一反三1】如图所示，在△ABC中，∠ABC＝68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是（　　）
A.118° B.125° C.136° D.124°
【答案】D
【解析】解：在BC上截取BE＝BQ，连接PE，如图所示：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝34°，
∵BP＝BP，
∴△PBQ≌△PBE（SAS），
∴PE＝PQ，
∴AP+PQ＝AP+PE，
∴当A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE最小，即AP+PQ最小，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点P，如图所示：
∵∠AEB＝90°，∠ABE＝68°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝22°，
∴∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝124°．
故选：D．
【举一反三2】如图，在学习了轴对称后，小华在课外研究三角板时发现“两块完全相同的含有角的三角板可以拼成一个等边三角形”，请你帮他解决以下问题：在直角中，，点E，P分别在斜边和直角边上，则的最小值是 ．
【答案】6
【解析】解：如图，作点B关于的对称点，过作交于点P，连接，
由题意可得两块完全相同的含有的三角板可以拼成一个等边三角形，
∴，
，当点，P，E共线，且时取等号，
的最小值为，
，，
，
∴的最小值为6．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是　 　；
（2）探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；
（3）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是 50°，故答案为：50°；
（2）猜想的结论为：∠NMA=2∠B﹣90°．
理由：∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∴∠A=180°﹣2∠B，
又∵MN垂直平分AB，
∴∠NMA=90°﹣∠A=90°﹣（180°﹣2∠B）=2∠B﹣90°．
（3）如图：
①∵MN垂直平分AB．
∴MB=MA，
又∵△MBC的周长是14cm，
∴AC+BC=14cm，∴BC=6cm．
②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm．
【举一反三4】如图，已知平面直角坐标系．
(1)作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标．
(2)求的面积．
(3)在轴上画出点，使最小．（保留作图痕迹）
【答案】解：（1）即为所作：
则；
（2）的面积：；
（3）作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点．