人教版九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径 寒假巩固（含答案）

人教版（2024）九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径 寒假巩固
【题型1】与垂径定理有关的计算和证明
【典型例题】如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则AB的长是(　　)
A. B.4 C.2 D.3
【举一反三1】如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是(　　)
A.AE＝BE B. C.OE＝DE D.
【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝6cm，则AE＝（　　）
A.5cm B.6cm C.8cm D.9cm
【举一反三3】如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，且AE＝3 cm，BF＝5 cm，若⊙O的半径为5 cm，则CD的长为　　　cm.
【举一反三4】如图，AB，CD是⊙O的两条弦，MN是AB的垂直平分线.求证：MN垂直平分CD.
【举一反三5】如图，已知直径CD为8，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM＝2，求AB的长．
【题型2】与垂径定理有关的最值问题
【典型例题】如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三1】如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D，E分别是AC，BC上的一点，且DE＝6．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M，N，则MN的最大值为（　　）
A.5.6 B.4.8 C.4 D.1.6
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点（0，10），直线y＝kx+2k﹣4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的最小值是（　　）
A. B. C. D.以上都不对
【举一反三3】如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（　　）
A.7≤MN≤17 B.14≤MN≤34 C.7＜MN＜17 D.6≤MN≤16
【举一反三4】已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝24，CD＝10，⊙O的半径为13，则弦AB与CD的距离为　　　　.
如图，的半径为5，点C是弦上一点，若，设，则x的取值范围是 .
一条排水管的截面如图所示，已知该排水管的半径OA=10，水面宽AB=16，则排水管内水的最大深度CD的长为 .
【举一反三7】如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为 　 　．
【题型3】垂径定理与坐标系相关的问题
【典型例题】如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（　　）
A.（﹣5，﹣6） B.（﹣4，﹣5） C.（﹣6，﹣4） D.（﹣4，﹣6）
【举一反三1】如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点，则弦CD长是整数值有（　　）条
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三2】如图，平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于点A，B，以第一象限内点C为圆心半径为2的圆经过A、B两点，则点C的坐标为 　 　．
【举一反三3】如图，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）以AB为直径的圆M与y轴交于C、D两点，求弦CD的长．
【题型4】垂径定理的应用
【典型例题】数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（　　）
A.50cm B.35cm C.25cm D.20cm
【举一反三1】用工件槽可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图1(单位： cm).将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求.图2是过球心O及A，B，E三点的截面示意图，这种铁球的直径为(　　)
A.20 cm B.15 cm C.40 cm D. cm
【举一反三2】绍兴市是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为　　m.
【举一反三3】如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为8米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为2米．
（1）求主桥拱所在圆的半径；
（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度（保留根号）．
【举一反三4】某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度AB（弧所对的弦）的长为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．
人教版（2024）九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径 寒假巩固（参考答案）
【题型1】与垂径定理有关的计算和证明
【典型例题】如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则AB的长是(　　)
A. B.4 C.2 D.3
【答案】B
【解析】∵OC⊥AB，∠BAC＝30°，
∴∠BOD＝60°，∴∠OBD＝30°，又∵OB＝4，
∴OD＝OB＝2，
∴BD＝＝2，
∵OC⊥AB，OC是半径，
∴AB＝2BD＝4.
【举一反三1】如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是(　　)
A.AE＝BE B. C.OE＝DE D.
【答案】C
【解析】∵CD⊥AB，CD是⊙O的直径，AB是弦，
∴AE＝BE，，，
∴A，B，D正确；
无法说明OE＝DE，故C不一定正确.
【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝6cm，则AE＝（　　）
A.5cm B.6cm C.8cm D.9cm
【答案】D
【解析】解：∵AB⊥CD，AB是直径，CD＝6cm，
∴CE＝ED＝3cm，
在Rt△OEC中，OE＝＝＝4（cm），
∴AE＝OA+OE＝5+4＝9（cm），
故选：D．
【举一反三3】如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，且AE＝3 cm，BF＝5 cm，若⊙O的半径为5 cm，则CD的长为　　　cm.
【答案】6
【解析】过点O作OH⊥EF，连接OC(图略)，根据题意可得OH＝(AE＋BF)＝4(cm)，
在Rt△OCH中，由勾股定理可得CH＝3 cm，
∴CD＝2CH＝6(cm).
【举一反三4】如图，AB，CD是⊙O的两条弦，MN是AB的垂直平分线.求证：MN垂直平分CD.
【答案】证明：如图，设MN与CD交于点E，交AB于点F.
∵MN是AB的垂直平分线，
∴MN过圆心O，且∠MED=90°
∵AB∥CD，
∴∠BFM=∠MED=90°
∴MN⊥CD，
∴MN垂直平分CD．
【举一反三5】如图，已知直径CD为8，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM＝2，求AB的长．
【答案】解：如图，连接OA，
∵⊙O的直径CD＝8，
∴OA＝OC＝4，
∵AB⊥CD，
∴AM＝AB，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：AM＝＝＝2，
∴AB＝2AM＝4，
即AB的长为4．
【题型2】与垂径定理有关的最值问题
【典型例题】如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A
【解析】①当点M与点A或点B重合时，OM最长，等于半径5；
②∵半径为5，弦AB＝8，
∴当∠OMA＝90°时，OA＝5，AM＝4，
∴OM最短为＝3，
∴3≤OM≤5，
因此OM不可能为2.
【举一反三1】如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D，E分别是AC，BC上的一点，且DE＝6．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M，N，则MN的最大值为（　　）
A.5.6 B.4.8 C.4 D.1.6
【答案】B
【解析】解：如图，作CF⊥AB于F，
∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴，
∴，
∵DE＝6，
∴，
根据垂线段最短，当CF经过圆心O时，OF最小，MN有最大值，
∴OF＝CF﹣OC＝1.8，
连接OM，
∴，
根据垂径定理，得MN＝2MF＝4.8，
故选B．
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点（0，10），直线y＝kx+2k﹣4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的最小值是（　　）
A. B. C. D.以上都不对
【答案】C
【解析】对于直线y＝kx+2k﹣4，
当x＝﹣2时，y＝﹣4，
故直线y＝kx+2k﹣4恒经过点（﹣2，﹣4），记为点D．
由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，即当OB⊥OD时，BC最短，
连接OB，OD，如图所示，
∵D（﹣2，﹣4），
∴，
∵⊙O经过点（0，10），
∴OB＝10，
∴BD=，
∵OB⊥OD，
∴BC=2BD=8，
∴弦BC的最小值是 ．
【举一反三3】如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（　　）
A.7≤MN≤17 B.14≤MN≤34 C.7＜MN＜17 D.6≤MN≤16
【答案】A
【解析】连接OM、ON、OA、OP，如图所示：
∵⊙O的直径为26，
∴OA＝OP＝13，
∵点M、N分别是弦AB、PQ的中点，AB＝24，PQ＝10，
∴OM⊥AB，ON⊥PQ，AM＝AB＝12，PN＝PQ＝5，
∴OM＝＝5，ON＝＝12，
当AB∥PQ时，M、O、N三点共线，
当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短＝ON﹣OM＝12﹣5＝7，
当AB、PQ位于O的两侧时，线段MN的长度最长＝ON+OM＝12+5＝17，
∴线段MN的长度的取值范围是7≤MN≤17．
【举一反三4】已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝24，CD＝10，⊙O的半径为13，则弦AB与CD的距离为　　　　.
【答案】17或7
【解析】当AB，CD在圆心O的两侧，作OM⊥AB于点M，延长MO交CD于点N，连接OA，OC，如图1，
则AM＝AB＝12，CN＝CD＝5，
∴OM＝＝5，
ON＝＝12，
∴MN＝OM＋ON＝5＋12＝17，
∴此时弦AB与CD之间的距离为17；
当AB，CD在圆心O的同侧，作OQ⊥CD于点Q，交AB于点P，连接OA，OC，如图2，
则AP＝AB＝12，CQ＝CD＝5，
∴OP＝＝5，
OQ＝＝12，
∴PQ＝OQ－OP＝12－5＝7，
∴此时弦AB与CD之间的距离为7.
综上所述，弦AB与CD之间的距离为17或7.
如图，的半径为5，点C是弦上一点，若，设，则x的取值范围是 .
【答案】
【解析】
当点Ｃ与重合时，；
当垂直于时，可得出C为的中点，
在中，，
根据勾股定理得 ，
则x的范围为．
一条排水管的截面如图所示，已知该排水管的半径OA=10，水面宽AB=16，则排水管内水的最大深度CD的长为 .
【答案】
4
【解析】
根据垂径定理可得OA=10，AC=8，根据直角△AOC的勾股定理可得OC=6，则CD=10－6=4.
【举一反三7】如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为 　 　．
【答案】（﹣14，0）
【解析】解：连接PO，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵点A、点B关于原点O对称，
∴AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，
连接OM，并延长交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝6、MQ＝8，
∴OM＝10，
又∵MP'＝r＝4，
∴OP'＝MO+MP'＝10+4＝14，
∴AB＝2OP'＝2×14＝28；
∴A点坐标为（﹣14，0），
故答案为：（﹣14，0）．
【题型3】垂径定理与坐标系相关的问题
【典型例题】如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（　　）
A.（﹣5，﹣6） B.（﹣4，﹣5） C.（﹣6，﹣4） D.（﹣4，﹣6）
【答案】D
【解析】过A作AB⊥NM于B，连接AM，
∵AB过A，∴MB＝NB，
∵半径为5的⊙A与y轴相交于M（0，﹣3），N（0，﹣9），
∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5，
∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6，
由勾股定理得：AB＝＝4，
∴点A的坐标为（﹣4，﹣6），
【举一反三1】如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点，则弦CD长是整数值有（　　）条
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】解：∵点A的坐标为（0，1），圆的半径为5，
∴点B的坐标为（0，﹣4），
又∵点P的坐标为（0，﹣7），
∴BP＝3，
①当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小，
连接BC，
在Rt△BCP中，CP＝＝4；
故CD＝2CP＝8，
②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD＝直径AE＝10；
所以，8≤CD≤10，
所以符合的弦有4条，整数值是8（一条弦），9（两条弦），10（一条弦），
故选：C．
【举一反三2】如图，平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于点A，B，以第一象限内点C为圆心半径为2的圆经过A、B两点，则点C的坐标为 　 　．
【答案】（2，）
【解析】解：过点C作CD⊥AB于点D，CE⊥y轴于点E，连接CA，如图所示，
∵二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于点A，B，
∴解x2﹣4x+3＝0得，
x1＝1，x2＝3，
∴A、B两点的坐标分别为（1，0），（3，0），
∴AB＝2，OA＝1，
∵CD⊥AB，
∴AD＝AB＝1，
∴OD＝OA+AD＝2，
在Rt△ACD中，
CD＝，
∴点C的纵坐标为，
∵CE⊥y轴，CD⊥AB，
∴∠CEO＝∠CDA＝∠EOD＝90°，
∴四边形EODC是矩形，
∴CE＝OD＝2，
∴点C的横坐标为2，
∴点C的坐标为（2，）
故答案为：（2，）．
【举一反三3】如图，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）以AB为直径的圆M与y轴交于C、D两点，求弦CD的长．
【答案】解：（1）令y＝0，则，
∴4x2﹣4x﹣3＝0，即（2x+1）（2x﹣3）＝0，
解得，，
∴A、B两点的坐标分别为、；
（2）解：∵A、B两点的坐标分别为、，
∴，
圆心M的横坐标为，
∴圆心M的坐标为，
如图，连接CM，
则，，
∴，
∴．
【题型4】垂径定理的应用
【典型例题】数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（　　）
A.50cm B.35cm C.25cm D.20cm
【答案】C
【解析】解：设圆心为O，连接OB，如图所示，
∵CD垂直平分AB，AB＝40cm，
∴BD＝20cm，
∵CD＝10cm，OC＝OB，
∴OD＝OB﹣10，
∵∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（OB﹣10）2+202＝OB2，
解得OB＝25，
即圆形工件的半径为25cm，
故选：C．
【举一反三1】用工件槽可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图1(单位： cm).将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求.图2是过球心O及A，B，E三点的截面示意图，这种铁球的直径为(　　)
A.20 cm B.15 cm C.40 cm D. cm
【答案】A
【解析】连接OA，OE，设OE与AB交于点P，如图，
∵AC＝BD，AC⊥CD，BD⊥CD，
∴四边形ACDB是矩形.
∵CD＝16 cm，PE＝4 cm，
∴PA＝8 cm，BP＝8 cm，
在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2＝PA2＋OP2，即OA2＝82＋(OA－4)2，
解得OA＝10 cm.这种铁球的直径为20 cm.
【举一反三2】绍兴市是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为　　m.
【答案】8
【解析】如图，连接OA，
∵CD＝8 m，OA＝OC＝5 m，
∴OD＝8－5＝3(m)，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
AD＝＝4(m)，
∴AB＝2AD＝8(m).
【举一反三3】如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为8米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为2米．
（1）求主桥拱所在圆的半径；
（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度（保留根号）．
【答案】解：（1）∵点D是的中点，DC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝4，DC经过圆心，设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，连接OA，OC，
设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，
在Rt△ACO中，OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝（R﹣2）2+42，
解得R＝5．
答：主桥拱所在圆的半径长为5米；
（2）设OD与EF相交于点G，连接OF，
∵EF∥AB，OD⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴∠OGF＝90°，
在Rt△OGF中，OG＝5﹣1﹣2＝2，OF＝5，
∴FG＝＝，
∴EF＝2FG＝2，
答：此时水面的宽度为2米．
【举一反三4】某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度AB（弧所对的弦）的长为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．
【答案】解：（1）∵AB垂直平分CD，
∴圆心O在DC的延长线上．
设⊙O的半径为r米，则OC＝（r﹣2）米．
∵OD⊥AB，
∴（米）．
在Rt△OAC中，
由勾股定理得：AC2+OC2＝AO2，
即42+（r﹣2）2＝r2，
解得r＝5．
即该圆弧所在圆的半径为5米；
（2）过F点作FH⊥CD于H点，连接OF．
∵BE＝1米，
∴CE＝4﹣1＝3（米）．
∵∠FHC＝∠HCE＝∠CEF＝90°，
∴四边形EFHC为矩形，
∴FH＝CE＝3，EF＝HC，
在Rt△OFH中，（米）．
∵OC＝3米，
∴HC＝1米．
∴EF＝HC＝1米．
即支撑杆EF的高度为1米．