人教版数学九年级上册 24.1.4 圆周角 寒假巩固（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级上册 24.1.4 圆周角 寒假巩固（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 639.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-02 00:00:00 | ||
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文档简介
人教版（2024）九年级上册 24.1.4 圆周角 寒假巩固
【题型1】圆周角定理
【典型例题】如图，量角器外缘上有A，B，C三点，则∠ACB的度数为（ ）
A.50° B.30° C.25° D.15°
【举一反三1】在探究圆周角的度数与它所对弧上圆心角的度数之间的数量关系时，我们分类讨论了如图所示的三种情况，经画图操作并添加辅助线将图2、图3转化为图1，从而证明了，其中体现的数学思想是（ ）
A.数形结合思想 B.转化思想 C.公理化思想 D.类比思想
【举一反三2】如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ °．
【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠BOD＝2∠A．
（1）写出图中一对你认为全等的三角形 ；
（2）求证：AB⊥CD；
（3）若⊙O的半径为4，AE：EB＝3：1，求CD的长．
【举一反三4】如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（Ⅰ）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（Ⅱ）若AB＝4，，求BC的长．
【题型2】同弧（等弧）所对的圆周角相等
如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠AOD的度数是( )
A.70° B.60° C.55° D.50°
【举一反三1】如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠CDB＝28°，则∠AOC的度数为（ ）
A.28° B.56° C.58° D.62°
【举一反三2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，则∠CAO的度数为 ．
【举一反三3】如图，在⊙O中，AB＝DC，∠AOB＝50°，则∠COD＝ .
【举一反三4】如图，AD为⊙O的直径，∠BAD＝∠CAD，连接BC．点E在⊙O上，AB＝BE，求证：
（1）CB平分∠ACE；
（2）AB∥CE．
【题型3】直径所对的圆周角是直角及逆定理
【典型例题】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝4.5，则AB的长度为（ ）
A.6 B.3 C.9 D.12
【举一反三1】如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一点，∠AOC＝20°，D为劣弧上任意一点，则∠D的度数为（ ）
A.80° B.90° C.100° D.110°
【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD，E为上一点，连接AC、BE、DE，若∠C＝62°，则∠BED的度数为（ ）
A.62° B.38° C.28° D.31°
【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝ ．
如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上两点，连接BC，CD，BD，若BC＝4，∠BDC＝30°，则AB＝ ．
【举一反三5】如图，AB是⊙O直径，弦CD与AB相交于点E，∠ADC＝26°．求∠CAB的度数．
【题型4】圆内接四边形
如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，∠BOD＝100°，则∠DCE等于( )
A.50° B.130° C.25° D.40°
【举一反三1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为124°，则∠DCE的度数为（ ）
A.64° B.61° C.62° D.60°
【举一反三2】如图，四边形ABCD内接于半圆O（点A，B，C，D在半圆O上），AB为⊙O的直径，且∠ADC＝110°，则∠BAC的度数为 度．
【举一反三3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B=110°，求∠ADE的度数.
【题型5】圆周角定理、圆心角定理及垂径定理等的综合
如图，点A，B，C，D在⊙O上，且∠AOB+∠COD＝120°，AB＝2，CD＝4，则⊙O的半径为( )
A.3 B.3 C. D.2
【举一反三1】如图，AE是⊙O直径，半径OD与弦AB垂直于点C，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则CE的长为（ ）
A.8 B.2 C.3 D.2
【举一反三2】如图，点A，B，C在半径为R的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，已知OE＝2，则R＝ ．
【举一反三3】如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC 为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长.
人教版（2024）九年级上册 24.1.4 圆周角 寒假巩固（参考答案）
【题型1】圆周角定理
【典型例题】如图，量角器外缘上有A，B，C三点，则∠ACB的度数为（ ）
A.50° B.30° C.25° D.15°
【答案】B
【解析】解：设量角器的圆心是O，连接OA、OB，
则∠AOB＝160°﹣100°＝60°，
由圆周角定理，得∠ACB＝60°÷2＝30°．
故选：B．
【举一反三1】在探究圆周角的度数与它所对弧上圆心角的度数之间的数量关系时，我们分类讨论了如图所示的三种情况，经画图操作并添加辅助线将图2、图3转化为图1，从而证明了，其中体现的数学思想是（ ）
A.数形结合思想 B.转化思想 C.公理化思想 D.类比思想
【答案】B
【解析】解：经画图操作并添加辅助线将图2、图3转化为图1，从而证明了∠BAC＝∠BOC，其中体现的数学思想是转化思想，
故选：B．
【举一反三2】如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ °．
【答案】90
【解析】∵AB是圆的直径，
∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°，
∵∠1、∠2、∠3、∠4所对的弧的和为半圆，
∴，
故答案为：90．
【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠BOD＝2∠A．
（1）写出图中一对你认为全等的三角形 ；
（2）求证：AB⊥CD；
（3）若⊙O的半径为4，AE：EB＝3：1，求CD的长．
【答案】解：（1）△OCE≌△ODE，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠COE＝2∠A，
∵∠BOD＝2∠A，
∵∠BOD＝2∠A，
∴∠COE＝∠BOD，
∵OE＝OE，
∴△OCE≌△ODE．
故答案为：△OCE≌△ODE．
（2）证明：∵△OCE≌△ODE，
∴∠CEO＝∠DEO＝90°，
∴AB⊥CD．
（3）∵AE：EB＝3：1，OA＝OB，
∴OB：EB＝2：1，
∵OB＝OC＝4，
∴OE＝EB＝2，
∵AB⊥CD，
∴CE＝＝2，
∴CD＝4．
【举一反三4】如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（Ⅰ）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（Ⅱ）若AB＝4，，求BC的长．
【答案】（Ⅰ）证明：∵，，∠ACB＝2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠BOC；
（Ⅱ）解：过点O作半径OD⊥AB于点E，连接DB，
∴AE＝BE，
∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝∠AOB，
∴∠DOB＝∠BOC．
∴BD＝BC．
设BC＝x，
∵AB＝4，
∴BE＝2，DB＝x，
在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，
∴DE＝，
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OA＝OB＝，
OB2＝（OB﹣1）2+22，即：（）2＝（﹣）2+22，
解得x＝，
即BC的长为．
【题型2】同弧（等弧）所对的圆周角相等
如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠AOD的度数是( )
A.70° B.60° C.55° D.50°
【答案】A
【解析】
∵∠COB＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠COB＝140°，
∵，
∴∠AOD∠AOC＝70°．
【举一反三1】如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠CDB＝28°，则∠AOC的度数为（ ）
A.28° B.56° C.58° D.62°
【答案】B
【解析】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴＝，
∵∠CDB＝28°，
∴∠AOC＝2∠CDB＝56°，
故选：B．
【举一反三2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，则∠CAO的度数为 ．
【答案】15°
【解析】解：∵BC∥AD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵=
∴∠CAD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠CAD，
∵AC⊥BD，
∴∠AKD＝90°，
∴∠ADB＝∠CAD＝45°，
∵∠AOD＝120°，OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠CAO＝45°﹣30°＝15°．
故答案为：15°．
【举一反三3】如图，在⊙O中，AB＝DC，∠AOB＝50°，则∠COD＝ .
【答案】50°
【解析】∵AB＝CD，∠AOB＝50°，∴∠COD＝∠AOB＝50°.
【举一反三4】如图，AD为⊙O的直径，∠BAD＝∠CAD，连接BC．点E在⊙O上，AB＝BE，求证：
（1）CB平分∠ACE；
（2）AB∥CE．
【答案】证明：（1）∵AB＝BE，∴，
∴∠ACB＝∠BCE，
∴CB平分∠ACE；
（2）连接OC、OB，
∵OA、OB、OC是⊙O半径，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴∠ABO＝∠ACO，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBA+∠OBC＝∠OCA+∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵AB＝BE，
∴AC＝BE，
∴，
∴∠ABC＝∠ECB，
∴AB∥CE．
【题型3】直径所对的圆周角是直角及逆定理
【典型例题】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝4.5，则AB的长度为（ ）
A.6 B.3 C.9 D.12
【答案】C
【解析】如图，连接AC．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝4.5，∴AB＝2BC＝9，
故选：C．
【举一反三1】如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一点，∠AOC＝20°，D为劣弧上任意一点，则∠D的度数为（ ）
A.80° B.90° C.100° D.110°
【答案】C
【解析】解：连接AD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝∠AOC＝×20°＝10°，
∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝100°．
故选：C．
【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD，E为上一点，连接AC、BE、DE，若∠C＝62°，则∠BED的度数为（ ）
A.62° B.38° C.28° D.31°
【答案】C
【解析】解：连接CD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠C＝62°，
∴∠C＝∠ABD＝62°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝28°，
∴∠BAD＝∠BED＝28°，
故选：C．
【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝ ．
【答案】28°
【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝62°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝28°，
∴∠BCD＝∠A＝28°．
故答案为28°．
如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上两点，连接BC，CD，BD，若BC＝4，∠BDC＝30°，则AB＝ ．
【答案】
8
【解析】
连接AC，如图.
∵∠BDC＝30°，
∴∠BAC＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝4，
∴AB＝8.
【举一反三5】如图，AB是⊙O直径，弦CD与AB相交于点E，∠ADC＝26°．求∠CAB的度数．
【答案】解：连接BC，
∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠D＝26°，∴∠CAB＝90°﹣26°＝64°．
【题型4】圆内接四边形
如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，∠BOD＝100°，则∠DCE等于( )
A.50° B.130° C.25° D.40°
【答案】A
【解析】
∵∠BOD＝100°，
∴∠A∠BOD＝50°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCE＝∠A＝50°．
【举一反三1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为124°，则∠DCE的度数为（ ）
A.64° B.61° C.62° D.60°
【答案】C
【解析】解：∵∠BOD的度数为124°，
∴∠A＝BOD＝62°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝118°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝62°，
故选：C．
【举一反三2】如图，四边形ABCD内接于半圆O（点A，B，C，D在半圆O上），AB为⊙O的直径，且∠ADC＝110°，则∠BAC的度数为 度．
【答案】20
【解析】解：∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC＝110°，
∴∠ABC＝180°﹣110°＝70°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20．
【举一反三3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B=110°，求∠ADE的度数.
【答案】解：在⊙O中，四边形ABCD内接于⊙O
∴∠B+∠ADC=180°
∵∠B=110°，
∴∠ADC=70°，
∵∠ADC+∠ADE=180°，
∴∠ADE=110°．
【题型5】圆周角定理、圆心角定理及垂径定理等的综合
如图，点A，B，C，D在⊙O上，且∠AOB+∠COD＝120°，AB＝2，CD＝4，则⊙O的半径为( )
A.3 B.3 C. D.2
【答案】C
【解析】
作∠DOE使∠DOE＝∠AOB，过点E作EH⊥CD交CD延长线于点H，连接CE，过点O作OM⊥CE于点M，如图.
∵∠AOB+∠COD＝120°，
∴∠COE＝120°，
∵OC＝OE，OM⊥CE，
∴∠COM=60°，∠OCM=30°，
∴CE=2CMOC，
∵∠DCE∠DOE，∠CED∠COD，
∴∠DCE+∠CED(∠DOE+∠COD)∠COE＝60°，
∴∠EDH＝∠DCE+∠CED＝60°，
∵∠DOE＝∠AOB，
∴，
∴AB＝DE＝2，
∴DHDE＝1，
∴EH，
∴CH＝CD+DH＝4+1＝5，
∵CE2＝CH2+EH2，
∴52，
∴OC．
∴⊙O的半径是．
【举一反三1】如图，AE是⊙O直径，半径OD与弦AB垂直于点C，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则CE的长为（ ）
A.8 B.2 C.3 D.2
【答案】B
【解析】解：∵OD⊥AB，AB＝8，
∴AC＝AB＝×8＝4，
设⊙O的半径OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，
r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
连接BE，如图，
∵OD＝5，CD＝2，
∴OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE＝＝＝2．
故选：B．
【举一反三2】如图，点A，B，C在半径为R的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，已知OE＝2，则R＝ ．
【答案】4
【解析】解：连接OB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OA＝OB，OD⊥AB，
∴∠BOE＝∠AOB＝60°，
∴∠OBE=30°
在Rt△OEB中，OE＝2，
∴OB＝2OE＝4，
∴R＝4，
故答案为：4．
【举一反三3】如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC 为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长.
【答案】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
∴BC===8（cm），
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，
∴AD=BD，
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
∴AD=BD=AB=×10=5（cm）．
【题型1】圆周角定理
【典型例题】如图，量角器外缘上有A，B，C三点，则∠ACB的度数为（ ）
A.50° B.30° C.25° D.15°
【举一反三1】在探究圆周角的度数与它所对弧上圆心角的度数之间的数量关系时，我们分类讨论了如图所示的三种情况，经画图操作并添加辅助线将图2、图3转化为图1，从而证明了，其中体现的数学思想是（ ）
A.数形结合思想 B.转化思想 C.公理化思想 D.类比思想
【举一反三2】如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ °．
【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠BOD＝2∠A．
（1）写出图中一对你认为全等的三角形 ；
（2）求证：AB⊥CD；
（3）若⊙O的半径为4，AE：EB＝3：1，求CD的长．
【举一反三4】如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（Ⅰ）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（Ⅱ）若AB＝4，，求BC的长．
【题型2】同弧（等弧）所对的圆周角相等
如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠AOD的度数是( )
A.70° B.60° C.55° D.50°
【举一反三1】如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠CDB＝28°，则∠AOC的度数为（ ）
A.28° B.56° C.58° D.62°
【举一反三2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，则∠CAO的度数为 ．
【举一反三3】如图，在⊙O中，AB＝DC，∠AOB＝50°，则∠COD＝ .
【举一反三4】如图，AD为⊙O的直径，∠BAD＝∠CAD，连接BC．点E在⊙O上，AB＝BE，求证：
（1）CB平分∠ACE；
（2）AB∥CE．
【题型3】直径所对的圆周角是直角及逆定理
【典型例题】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝4.5，则AB的长度为（ ）
A.6 B.3 C.9 D.12
【举一反三1】如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一点，∠AOC＝20°，D为劣弧上任意一点，则∠D的度数为（ ）
A.80° B.90° C.100° D.110°
【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD，E为上一点，连接AC、BE、DE，若∠C＝62°，则∠BED的度数为（ ）
A.62° B.38° C.28° D.31°
【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝ ．
如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上两点，连接BC，CD，BD，若BC＝4，∠BDC＝30°，则AB＝ ．
【举一反三5】如图，AB是⊙O直径，弦CD与AB相交于点E，∠ADC＝26°．求∠CAB的度数．
【题型4】圆内接四边形
如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，∠BOD＝100°，则∠DCE等于( )
A.50° B.130° C.25° D.40°
【举一反三1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为124°，则∠DCE的度数为（ ）
A.64° B.61° C.62° D.60°
【举一反三2】如图，四边形ABCD内接于半圆O（点A，B，C，D在半圆O上），AB为⊙O的直径，且∠ADC＝110°，则∠BAC的度数为 度．
【举一反三3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B=110°，求∠ADE的度数.
【题型5】圆周角定理、圆心角定理及垂径定理等的综合
如图，点A，B，C，D在⊙O上，且∠AOB+∠COD＝120°，AB＝2，CD＝4，则⊙O的半径为( )
A.3 B.3 C. D.2
【举一反三1】如图，AE是⊙O直径，半径OD与弦AB垂直于点C，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则CE的长为（ ）
A.8 B.2 C.3 D.2
【举一反三2】如图，点A，B，C在半径为R的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，已知OE＝2，则R＝ ．
【举一反三3】如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC 为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长.
人教版（2024）九年级上册 24.1.4 圆周角 寒假巩固（参考答案）
【题型1】圆周角定理
【典型例题】如图，量角器外缘上有A，B，C三点，则∠ACB的度数为（ ）
A.50° B.30° C.25° D.15°
【答案】B
【解析】解：设量角器的圆心是O，连接OA、OB，
则∠AOB＝160°﹣100°＝60°，
由圆周角定理，得∠ACB＝60°÷2＝30°．
故选：B．
【举一反三1】在探究圆周角的度数与它所对弧上圆心角的度数之间的数量关系时，我们分类讨论了如图所示的三种情况，经画图操作并添加辅助线将图2、图3转化为图1，从而证明了，其中体现的数学思想是（ ）
A.数形结合思想 B.转化思想 C.公理化思想 D.类比思想
【答案】B
【解析】解：经画图操作并添加辅助线将图2、图3转化为图1，从而证明了∠BAC＝∠BOC，其中体现的数学思想是转化思想，
故选：B．
【举一反三2】如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ °．
【答案】90
【解析】∵AB是圆的直径，
∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°，
∵∠1、∠2、∠3、∠4所对的弧的和为半圆，
∴，
故答案为：90．
【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠BOD＝2∠A．
（1）写出图中一对你认为全等的三角形 ；
（2）求证：AB⊥CD；
（3）若⊙O的半径为4，AE：EB＝3：1，求CD的长．
【答案】解：（1）△OCE≌△ODE，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠COE＝2∠A，
∵∠BOD＝2∠A，
∵∠BOD＝2∠A，
∴∠COE＝∠BOD，
∵OE＝OE，
∴△OCE≌△ODE．
故答案为：△OCE≌△ODE．
（2）证明：∵△OCE≌△ODE，
∴∠CEO＝∠DEO＝90°，
∴AB⊥CD．
（3）∵AE：EB＝3：1，OA＝OB，
∴OB：EB＝2：1，
∵OB＝OC＝4，
∴OE＝EB＝2，
∵AB⊥CD，
∴CE＝＝2，
∴CD＝4．
【举一反三4】如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（Ⅰ）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（Ⅱ）若AB＝4，，求BC的长．
【答案】（Ⅰ）证明：∵，，∠ACB＝2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠BOC；
（Ⅱ）解：过点O作半径OD⊥AB于点E，连接DB，
∴AE＝BE，
∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝∠AOB，
∴∠DOB＝∠BOC．
∴BD＝BC．
设BC＝x，
∵AB＝4，
∴BE＝2，DB＝x，
在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，
∴DE＝，
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OA＝OB＝，
OB2＝（OB﹣1）2+22，即：（）2＝（﹣）2+22，
解得x＝，
即BC的长为．
【题型2】同弧（等弧）所对的圆周角相等
如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠AOD的度数是( )
A.70° B.60° C.55° D.50°
【答案】A
【解析】
∵∠COB＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠COB＝140°，
∵，
∴∠AOD∠AOC＝70°．
【举一反三1】如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠CDB＝28°，则∠AOC的度数为（ ）
A.28° B.56° C.58° D.62°
【答案】B
【解析】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴＝，
∵∠CDB＝28°，
∴∠AOC＝2∠CDB＝56°，
故选：B．
【举一反三2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，则∠CAO的度数为 ．
【答案】15°
【解析】解：∵BC∥AD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵=
∴∠CAD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠CAD，
∵AC⊥BD，
∴∠AKD＝90°，
∴∠ADB＝∠CAD＝45°，
∵∠AOD＝120°，OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠CAO＝45°﹣30°＝15°．
故答案为：15°．
【举一反三3】如图，在⊙O中，AB＝DC，∠AOB＝50°，则∠COD＝ .
【答案】50°
【解析】∵AB＝CD，∠AOB＝50°，∴∠COD＝∠AOB＝50°.
【举一反三4】如图，AD为⊙O的直径，∠BAD＝∠CAD，连接BC．点E在⊙O上，AB＝BE，求证：
（1）CB平分∠ACE；
（2）AB∥CE．
【答案】证明：（1）∵AB＝BE，∴，
∴∠ACB＝∠BCE，
∴CB平分∠ACE；
（2）连接OC、OB，
∵OA、OB、OC是⊙O半径，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴∠ABO＝∠ACO，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBA+∠OBC＝∠OCA+∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵AB＝BE，
∴AC＝BE，
∴，
∴∠ABC＝∠ECB，
∴AB∥CE．
【题型3】直径所对的圆周角是直角及逆定理
【典型例题】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝4.5，则AB的长度为（ ）
A.6 B.3 C.9 D.12
【答案】C
【解析】如图，连接AC．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝4.5，∴AB＝2BC＝9，
故选：C．
【举一反三1】如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一点，∠AOC＝20°，D为劣弧上任意一点，则∠D的度数为（ ）
A.80° B.90° C.100° D.110°
【答案】C
【解析】解：连接AD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝∠AOC＝×20°＝10°，
∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝100°．
故选：C．
【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD，E为上一点，连接AC、BE、DE，若∠C＝62°，则∠BED的度数为（ ）
A.62° B.38° C.28° D.31°
【答案】C
【解析】解：连接CD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠C＝62°，
∴∠C＝∠ABD＝62°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝28°，
∴∠BAD＝∠BED＝28°，
故选：C．
【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝ ．
【答案】28°
【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝62°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝28°，
∴∠BCD＝∠A＝28°．
故答案为28°．
如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上两点，连接BC，CD，BD，若BC＝4，∠BDC＝30°，则AB＝ ．
【答案】
8
【解析】
连接AC，如图.
∵∠BDC＝30°，
∴∠BAC＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝4，
∴AB＝8.
【举一反三5】如图，AB是⊙O直径，弦CD与AB相交于点E，∠ADC＝26°．求∠CAB的度数．
【答案】解：连接BC，
∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠D＝26°，∴∠CAB＝90°﹣26°＝64°．
【题型4】圆内接四边形
如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，∠BOD＝100°，则∠DCE等于( )
A.50° B.130° C.25° D.40°
【答案】A
【解析】
∵∠BOD＝100°，
∴∠A∠BOD＝50°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCE＝∠A＝50°．
【举一反三1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为124°，则∠DCE的度数为（ ）
A.64° B.61° C.62° D.60°
【答案】C
【解析】解：∵∠BOD的度数为124°，
∴∠A＝BOD＝62°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝118°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝62°，
故选：C．
【举一反三2】如图，四边形ABCD内接于半圆O（点A，B，C，D在半圆O上），AB为⊙O的直径，且∠ADC＝110°，则∠BAC的度数为 度．
【答案】20
【解析】解：∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC＝110°，
∴∠ABC＝180°﹣110°＝70°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20．
【举一反三3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B=110°，求∠ADE的度数.
【答案】解：在⊙O中，四边形ABCD内接于⊙O
∴∠B+∠ADC=180°
∵∠B=110°，
∴∠ADC=70°，
∵∠ADC+∠ADE=180°，
∴∠ADE=110°．
【题型5】圆周角定理、圆心角定理及垂径定理等的综合
如图，点A，B，C，D在⊙O上，且∠AOB+∠COD＝120°，AB＝2，CD＝4，则⊙O的半径为( )
A.3 B.3 C. D.2
【答案】C
【解析】
作∠DOE使∠DOE＝∠AOB，过点E作EH⊥CD交CD延长线于点H，连接CE，过点O作OM⊥CE于点M，如图.
∵∠AOB+∠COD＝120°，
∴∠COE＝120°，
∵OC＝OE，OM⊥CE，
∴∠COM=60°，∠OCM=30°，
∴CE=2CMOC，
∵∠DCE∠DOE，∠CED∠COD，
∴∠DCE+∠CED(∠DOE+∠COD)∠COE＝60°，
∴∠EDH＝∠DCE+∠CED＝60°，
∵∠DOE＝∠AOB，
∴，
∴AB＝DE＝2，
∴DHDE＝1，
∴EH，
∴CH＝CD+DH＝4+1＝5，
∵CE2＝CH2+EH2，
∴52，
∴OC．
∴⊙O的半径是．
【举一反三1】如图，AE是⊙O直径，半径OD与弦AB垂直于点C，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则CE的长为（ ）
A.8 B.2 C.3 D.2
【答案】B
【解析】解：∵OD⊥AB，AB＝8，
∴AC＝AB＝×8＝4，
设⊙O的半径OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，
r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
连接BE，如图，
∵OD＝5，CD＝2，
∴OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE＝＝＝2．
故选：B．
【举一反三2】如图，点A，B，C在半径为R的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，已知OE＝2，则R＝ ．
【答案】4
【解析】解：连接OB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OA＝OB，OD⊥AB，
∴∠BOE＝∠AOB＝60°，
∴∠OBE=30°
在Rt△OEB中，OE＝2，
∴OB＝2OE＝4，
∴R＝4，
故答案为：4．
【举一反三3】如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC 为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长.
【答案】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
∴BC===8（cm），
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，
∴AD=BD，
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
∴AD=BD=AB=×10=5（cm）．
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