初中数学人教版九年级上册 24.2.2 直线和圆的位置关系 寒假巩固（含答案）

人教版（2024）九年级上册 24.2.2 直线和圆的位置关系 寒假巩固
【题型1】用切线性质求角度或证角相等
【典型例题】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC经过圆心O，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线于点E，AD∥BC．若∠B＝60°，则∠E的大小等于（　　）
A.30° B.35° C.40° D.50°
【举一反三1】如图，AB切圆O于点B，连接OA交圆O于点C，BD∥OA交圆O于点D，连接CD，若∠A＝34°，则∠OCD的大小为（　　）
A.68° B.56° C.34° D.28°
【举一反三2】如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，点O在AB边上，⊙O与BC边相切于点D，与AB边交于点E，则∠BED的度数是（　　）
A.10° B.15° C.20° D.25°
【举一反三3】以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P．若点P的读数为135°，则∠CBD的度数是　 　．
【举一反三4】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且CF是⊙O的切线．求证：∠DCF＝∠CAD；
【题型2】用切线性质求边长或证边相等
【典型例题】如图，三角板、量角器和直尺如图摆放，三角板的斜边BC与半圆O相切于点C，点B、D、E分别与直尺的刻度1、9、19重合，则三角板直角边AC的长为（　　）
A. B. C.5 D.6
【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，下列结论错误的是（　　）
A.AB＝CD B.AB＝2BC C.AD＝DC D.BD＝BC
【举一反三2】如图，点B是直径CD的延长线上一点，BA是⊙O的切线，过切点A作弦AE⊥CB于F，连接OE．若AE＝8，∠ABC＝30°，则OF的长为（　　）
A.4 B. C.8 D.
【举一反三3】如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB、AC于D、E，则图中⊙A的半径长是 　 　．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，⊙O的切线DE交AC于点E．
（1）求证：E是AC中点；
（2）若AB＝10，BC＝6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．
【题型3】切线的判定
【典型例题】如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（　　）
A.∠A＝50°，∠C＝40° B.∠B﹣∠C＝∠A C.AB2+BC2＝AC2 D.⊙A与AC的交点是AC中点
【举一反三1】下列说法正确的是(　　)
A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线
【举一反三2】下列说法中，不正确的是（　　）
A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线
B.经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线
D.垂直于半径的直线是圆的切线
【举一反三3】如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为 　 　．
如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D在AB的延长线上.
(1)若∠DCB＝∠A．CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明；如果不相切，请说明理由；
(2)若CD与⊙O相切，那么∠DCB与∠A相等吗？
【题型4】切线性质和判定与勾股定理综合
【典型例题】如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与⊙O相切，切点为E，边A'B与⊙O相交于点F．若BF＝8，则CD长为（　　）
A.9 B.10 C.8 D.12
如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M，N两点，若点M的坐标是(﹣4，﹣2)，则点N的坐标为(　　)
A.(﹣1，﹣2) B.(1，﹣2) C.(﹣1.5，2) D.(1.5，﹣2)
如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，大圆，小圆的半径分别为5和3，则AB＝　　 ．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．
【题型5】与切线长定理有关的线段的计算
如图，PA，PB分别切⊙O于点A和点B，C是上任一点，过C的切线分别交PA，PB于D，E．若⊙O的半径为6，PO＝10，则△PDE的周长是(　　)
A.16 B.14 C.12 D.10
【举一反三1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝4，AC＝3，则BD的长是（　　）
A.2.5 B.2 C.1.5 D.1
【举一反三2】如图，为知道一个光盘的面积，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB=6cm,则这张光盘（包含圆孔）的面积为（　　）
A.6cm2 B.6πcm2 C.108cm2 D.108πcm2
【举一反三3】如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 　　．
【举一反三4】如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝　 　．
【举一反三5】已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求：
（1）△PCD的周长；
（2）若∠P＝50°，求∠COD的度数．
【题型6】与切线长定理有关的角的计算
如图，PA，PB为圆O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是(　　)
A.PA＝PB B.∠BPD＝∠APD C.AB⊥PD D.AB平分PD
【举一反三1】如图PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，∠APB＝54°，则∠COD＝（　　）
A.36° B.63° C.126° D.46°
【举一反三2】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝　 °．
已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．
(1)若∠P＝40°，求∠COD；
(2)若PA＝10 cm，求△PCD的周长．
【题型7】三角形内切圆和内心
【典型例题】如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.6
【举一反三1】如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知∠ABC＝90°，CM＝2，AM＝3，则⊙O的半径为（　　）
A. B. C.1 D.2
【举一反三2】如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，若AE＝1，CD＝2，BF＝3，且△ABC的面积为6，则内切圆的半径r为　　　　.
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB＝58°，△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，连接DE，BO的延长线交DE于点F，则∠BFD＝　 　．
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，3），△ABC的内心在x轴上，求直线AC的函数解析式．
【举一反三5】如图，△ABC中，A、B，C三点的坐标分别为A（0，8），B（﹣6，0），C（15，0）．若△ABC内心为D，求点D的坐标．
【题型8】多边形的内切圆
【典型例题】如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（　　）
A.8 B.9 C.10 D.11
【举一反三1】以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（　　）
A.12 B.13 C.14 D.15
【举一反三2】如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是　 　°．
【举一反三3】如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝10，则⊙O的面积为 　 　．
【举一反三4】如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点为E，F，G，H，已知AD∥BC，AB＝CD，DO＝6cm，CO＝8cm，求四边形ABCD的周长．
【举一反三5】如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长．
【题型9】三角形的内心与外心的综合
【典型例题】如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，I是△ABC的内心，连接OI，若OI＝，∠BOI＝45°，则BC的长是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】点O是△ABC的外心，也是△BCD的内心．若∠A＝70°，则∠BDC的度数是（　　）
A.80° B.90° C.100° D.110°
【举一反三2】如图，在⊙O中，，BC＝8，AC＝4，I是△ABC的内心，则线段OI的值为（　　）
A.1 B. C. D.
【举一反三3】已知△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心．若∠BIC＝∠BOC，则∠BAC的度数是 　 　．
【举一反三4】如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝37°，则∠OBC的度数为 　 　．
【举一反三5】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．
（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；
（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+AC＝AD．
【举一反三6】如图，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D．BD与ID相等吗？为什么？
【题型10】直线和圆的位置关系
【典型例题】已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O的半径为3cm，线段OA＝4cm，OB＝3cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切
【举一反三1】如图，∠AOB＝30°，C为OB上一点，且OC＝3，CD⊥OA于点D，以点C为圆心，半径为1的圆与OA的位置关系是（　　）
A.相交 B.相切 C.相离 D.以上三种情况均有可能
【举一反三2】以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，则r＝　 　．
【举一反三3】如图所示，已知∠AOB＝30°，P是OA上的一点，OP＝12 cm，以r为半径作⊙P.
(1)当r＝6 cm时，⊙P与OB有什么位置关系？当r＝7 cm时呢？
(2)当3 cm人教版（2024）九年级上册 24.2.2 直线和圆的位置关系 寒假巩固（参考答案）
【题型1】用切线性质求角度或证角相等
【典型例题】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC经过圆心O，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线于点E，AD∥BC．若∠B＝60°，则∠E的大小等于（　　）
A.30° B.35° C.40° D.50°
【答案】A
【解析】连接OA，OD，如图，
∵∠B＝60°，OA＝OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠AOB＝∠BAO＝60°，
又∵AD∥BC，
∴∠BAD＝120°，
∴∠DAO＝120°﹣60°＝60°，
又∵OA＝OD，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴∠DOC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
又∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠E＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
故选：A．
【举一反三1】如图，AB切圆O于点B，连接OA交圆O于点C，BD∥OA交圆O于点D，连接CD，若∠A＝34°，则∠OCD的大小为（　　）
A.68° B.56° C.34° D.28°
【答案】D
【解析】解：如图，连接OB、OD，则OB＝OD＝OC，
∵AB切圆O于点B，
∴AB⊥OB，
∴∠OBA＝∠OBE＝90°，
∵BD∥OA，
∴∠DBE＝∠A＝34°，
∴∠ODB＝∠OBD＝∠OBE﹣∠OBD＝90°﹣34°＝56°，
∴∠COB＝∠OBD＝56°，∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠OBD＝180°﹣56°﹣56°＝68°，
∴∠COD＝∠COB+∠DOB＝56°+68°＝124°，
∴∠OCD＝∠ODC＝（180°﹣∠COD）＝×（180°﹣124°）＝28°，
故选：D．
【举一反三2】如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，点O在AB边上，⊙O与BC边相切于点D，与AB边交于点E，则∠BED的度数是（　　）
A.10° B.15° C.20° D.25°
【答案】B
【解析】解：连接OD，如图所示，
∵⊙O与BC边相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠BOD＝∠A＝30°，
又OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵∠BOD＝∠ODE+∠OED，
∴∠ODE＝∠OED＝15°．
∴∠BED＝15°，
故选：B．
【举一反三3】以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P．若点P的读数为135°，则∠CBD的度数是　 　．
【答案】45°
【解析】解：如图，∵点P的读数为135°，
∴∠POB＝180°﹣135°＝45°．
∵AB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴OP∥BC，
∴∠CBD＝∠POB＝45°，
故答案为：45°．
【举一反三4】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且CF是⊙O的切线．求证：∠DCF＝∠CAD；
【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠OCD+∠OCA＝90°，
∵FC是⊙O的切线，
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
∴∠OCA+∠DCF，
∵OC＝OA，
∴∠CAD＝∠OCA，
∴∠DCF＝∠CAD；
【题型2】用切线性质求边长或证边相等
【典型例题】如图，三角板、量角器和直尺如图摆放，三角板的斜边BC与半圆O相切于点C，点B、D、E分别与直尺的刻度1、9、19重合，则三角板直角边AC的长为（　　）
A. B. C.5 D.6
【答案】D
【解析】解：如图，连接OC，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴BC⊥OC，
∴∠OCB＝90°，
∵DE是⊙O的直径，且DE＝19﹣9＝10，
∴OC＝OD＝DE＝5，
∵BD＝9﹣1＝8，
∴OB＝BD+OD＝8+5＝13，
∴BC＝＝＝12，
∵∠A＝90°，∠ABC＝30°，
∴AC＝BC＝6，
故选：D．
【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，下列结论错误的是（　　）
A.AB＝CD B.AB＝2BC C.AD＝DC D.BD＝BC
【答案】A
【解析】如图，连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝30°，
∴AB＝2BD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC＝90°，
又∵∠A＝30°，
∴∠ABD＝60°，
又∵OD＝OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠DOB＝∠ABD＝60°，AB＝2OB＝2OD＝2BD．
∴∠C＝30°，
∴∠BDC＝∠OBD﹣∠C＝30°，∠C＝∠A，
∴∠BDC＝∠C，AD＝CD，故C不符合题意；
∴BD＝BC，故D不符合题意；
∴AB＝2BC，故B不符合题意；
∴OC＝AB，
∵OC≠CD，
∴AB≠CD，故A符合题意；
故选A．
【举一反三2】如图，点B是直径CD的延长线上一点，BA是⊙O的切线，过切点A作弦AE⊥CB于F，连接OE．若AE＝8，∠ABC＝30°，则OF的长为（　　）
A.4 B. C.8 D.
【答案】B
【解析】解：连接OA，如图，
∵BA是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵AE⊥CB，
∴AF＝EF＝AE＝×8＝4，且∠OAF=30°
∴OA=2OF
在Rt△AOF中，由勾肌定理，得∴OF＝．
故选：B．
【举一反三3】如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB、AC于D、E，则图中⊙A的半径长是 　 　．
【答案】
【解析】解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，
设切点为F，连接AF，则AF⊥BC，
等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，
∴CF＝BF＝1．
在Rt△ACF中，AF＝＝，
∴⊙A的半径长是．
故答案为：．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，⊙O的切线DE交AC于点E．
（1）求证：E是AC中点；
（2）若AB＝10，BC＝6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．
【答案】（1）证明：连接CD，
∵∠ACB＝90°，BC为⊙O直径，
∴ED为⊙O切线，且∠ADC＝90°；
∵ED切⊙O于点D，
∴EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC；
∵∠A+∠ECD＝∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝ED，
∴AE＝CE，
即E为AC的中点；
∴BE＝CE；
（2）解：连接OD，
∵∠ACB＝90°，
∴AC为⊙O的切线，
∵DE是⊙O的切线，
∴EO平分∠CED，
∴OE⊥CD，F为CD的中点，
∵点E、O分别为AC、BC的中点，
∴OE＝AB＝＝5，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理得：AC＝8，
∵在Rt△ADC中，E为AC的中点，
∴DE＝AC＝＝4，
在Rt△EDO中，OD＝BC＝＝3，DE＝4，由勾股定理得：OE＝5，
由三角形的面积公式得：S△EDO＝，
即4×3＝5×DF，
解得：DF＝2.4，
在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF＝＝＝1.8．
【题型3】切线的判定
【典型例题】如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（　　）
A.∠A＝50°，∠C＝40° B.∠B﹣∠C＝∠A C.AB2+BC2＝AC2 D.⊙A与AC的交点是AC中点
【答案】D
【解析】A．∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；
B．∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；
C．∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D．∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【举一反三1】下列说法正确的是(　　)
A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线
【答案】B
【举一反三2】下列说法中，不正确的是（　　）
A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线
B.经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线
D.垂直于半径的直线是圆的切线
【答案】D
【解析】A．与圆只有一个交点的直线是圆的切线这是切线的定义同时也是切线的一种判定方法，故本选项说法是正确的；
B．经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线是切线的判定定理，故本选项说法是正确的；
C．与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线即d＝r，故本选项说法是正确的；
D．垂直于半径的直线是圆的切线也有可能是圆的割线，故本选项说法是不正确的；
故选：D．
【举一反三3】如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为 　 　．
【答案】∠ABC＝90°
【解析】当△ABC为直角三角形时，即∠ABC＝90°时，BC与圆相切，
∵AB是⊙O的直径，∠ABC＝90°，
∴BC是⊙O的切线，（经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线）．
如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D在AB的延长线上.
(1)若∠DCB＝∠A．CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明；如果不相切，请说明理由；
(2)若CD与⊙O相切，那么∠DCB与∠A相等吗？
【答案】
解　(1)CD与⊙O相切.证明如下：
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠OBC＝90°，
∵∠DCB＝∠A，∠OCB＝∠OBC，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，
即∠OCD＝90°，
∵OC是半径，
∴CD与⊙O相切．
(2)∠DCB与∠A相等.理由如下：
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠OBC＝90°，
∵CD与⊙O相切，
∴OC是半径，
即∠OCD＝90°，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，
∵∠OCB＝∠OBC，
∴∠DCB＝∠A.
【题型4】切线性质和判定与勾股定理综合
【典型例题】如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与⊙O相切，切点为E，边A'B与⊙O相交于点F．若BF＝8，则CD长为（　　）
A.9 B.10 C.8 D.12
【答案】B
【解析】解：连接OE，延长EO交BF于点M，
∵C'D'与⊙O相切，
∴∠OEC′＝90°，
又矩形A'BC'D'中，A'B∥C'D'，
∴∠EMB＝90°，
∴BM＝FM，
∵矩形ABCD绕点B旋转所得矩形为A′BC′D′，
∴∠C′＝∠C＝90°，AB＝CD，BC＝BC'＝8，
∴四边形EMBC'为矩形，
∴ME＝8，
设OB＝OE＝x，则OM＝8﹣x，
∵OM2+BM2＝OB2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴AB＝CD＝10．
故选：B．
如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M，N两点，若点M的坐标是(﹣4，﹣2)，则点N的坐标为(　　)
A.(﹣1，﹣2) B.(1，﹣2) C.(﹣1.5，2) D.(1.5，﹣2)
【答案】A
【解析】
过点A作AB⊥MN，连接AN，设MN与y轴交于点F，
设⊙A的半径为r，∵⊙A与y轴相切于原点O，∴AO=r,
则AN＝r，AB＝2，BN＝MF﹣BF＝4﹣r，
则在Rt△ABN中，根据勾股定理，可得r＝2.5，
∴BN＝4﹣2.5＝1.5，
∴N到y轴的距离为2.5﹣1.5＝1，
又点N在第三象限，
∴N的坐标为(﹣1，﹣2)．
如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，大圆，小圆的半径分别为5和3，则AB＝　　 ．
【答案】
8
【解析】
连接OP，OA，如图，
∵大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，
∴OP⊥AB，
∴AP＝BP，
在Rt△AOP中，∵OP＝3，OA＝5，
∴AP4，
∴AB＝2AP＝8．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠OBD，
∵OD＝OB，
∴∠1＝∠OBD，
∴∠1＝∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，且BC＝6，
∴CD＝BD＝BC＝3，
在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：AD＝＝4，
又S△ACD＝AC ED＝AD CD，
即×5×ED＝×4×3，
∴ED＝．
【题型5】与切线长定理有关的线段的计算
如图，PA，PB分别切⊙O于点A和点B，C是上任一点，过C的切线分别交PA，PB于D，E．若⊙O的半径为6，PO＝10，则△PDE的周长是(　　)
A.16 B.14 C.12 D.10
【答案】A
【解析】
连接OA，
∵PA切⊙O于A，
∴∠OAP＝90°，
∴在Rt△OAP中，OP＝10，OA＝6，由勾股定理得PA＝8，
∵PA，PB分别切⊙O于点A和点B，DE切⊙O于C，
∴PB＝PA＝8，DA＝DC，EB＝EC，
∴△PDE的周长是
PD+DE+PE
＝PD+DC+CE+PE
＝PD+DA+EB+PE
＝PA+PB
＝8+8
＝16.
【举一反三1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝4，AC＝3，则BD的长是（　　）
A.2.5 B.2 C.1.5 D.1
【答案】D
【解析】解：∵AP、AC是⊙O的切线，
∴AP＝AC＝3，
∵AB＝4，
∴PB＝AB﹣AP＝4﹣3＝1，
∵BP、BD是⊙O的切线，
∴BD＝BP＝1，
故选：D．
【举一反三2】如图，为知道一个光盘的面积，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB=6cm,则这张光盘（包含圆孔）的面积为（　　）
A.6cm2 B.6πcm2 C.108cm2 D.108πcm2
【答案】D
【解析】 解：
圆的圆心为O点，过O点作OC垂直于三角尺的斜边于C点，连接OB，如图，
∵AC和AB为⊙O的切线，
∴OA平分∠BAC，OB⊥AB，
∴∠OAB=∠OAC=∠BAC=×（180°-60°）=60°，
在Rt△OAB中，∵OA=2AB=12cm,
∴OB==6（cm），
∴这张光盘（包含圆孔）的面积=π×（6）2=108π（cm2）．
故选：D．
【举一反三3】如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 　　．
【答案】14
【解析】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE＝EF，BC＝CF，
∵EF+FC+CD+ED＝12，
∴AE+ED+CD+BC＝12，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，
∴AE+EF+FC+BC+AB＝14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
故答案为：14．
【举一反三4】如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝　 　．
【答案】2
【解析】∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，
∴CD＝CE，
∵∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∴AD＝CE，
∵AD＝2，
∴CE＝2．
【举一反三5】已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求：
（1）△PCD的周长；
（2）若∠P＝50°，求∠COD的度数．
【答案】解：（1）∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA＝PB＝6，ED＝BD，CE＝AC；
∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA＝12；
（2）连接OE，如图所示：
由切线的性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，
∴∠OAC＝∠OEC＝∠OED＝∠OBD＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝130°，
由切线长定理得：∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB＝×130°＝65°．
【题型6】与切线长定理有关的角的计算
如图，PA，PB为圆O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是(　　)
A.PA＝PB B.∠BPD＝∠APD C.AB⊥PD D.AB平分PD
【答案】D
【解析】
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PD，且AC＝BC，
但AB不一定平分PD，所以D不一定成立．
【举一反三1】如图PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，∠APB＝54°，则∠COD＝（　　）
A.36° B.63° C.126° D.46°
【答案】B
【解析】如图，连接OA，OB，OE，
∵PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，
∴∠AOC＝∠EOC，
同理∠BOD＝∠DOE，
∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝∠AOB，
∵∠APB＝54°，
∴∠AOB＝126°，
∴∠COD＝63°．
故选：B．
【举一反三2】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝　 °．
【答案】76
【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，PA⊥OA，
∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，
∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°．
已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．
(1)若∠P＝40°，求∠COD；
(2)若PA＝10 cm，求△PCD的周长．
【答案】
解　(1)连接OA，OE，OB．
∵PA，PB，分别切⊙O于A，B．
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣∠P﹣∠PAO﹣∠PBO＝360°﹣40°﹣90°﹣90°＝140°．
∵CA，CE是圆的切线，
∴∠ACO＝∠ECO，∠OAC＝∠OEC＝90°，
∴∠AOC＝∠EOC∠AOE，
同理，∠EOD∠BOE，
∴∠COD＝∠EOC+∠EOD∠AOE∠BOE∠AOB＝70°．
(2)∵PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，
∴CE＝CA，DE＝DB，PA＝PB．
∴△PCD的周长是PC+PD+CD＝PC+CE+PD+DE＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝2PA＝2×10＝20(cm)．
【题型7】三角形内切圆和内心
【典型例题】如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】A
【解析】∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，
∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，
∵BC＝BE+CE＝6，
∴BD+CF＝6，
∵AD＝AF，∠A＝60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD＝AF＝DF，
∵AB+AC+BC＝16，BC＝6，
∴AB+AC＝10，
∵BD+CF＝6，
∴AD+AF＝4，
∵AD＝AF＝DF，
∴DF＝AF＝AD＝×4＝2，
故选：A．
【举一反三1】如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知∠ABC＝90°，CM＝2，AM＝3，则⊙O的半径为（　　）
A. B. C.1 D.2
【答案】C
【解析】连接OM、ON、OQ，
根据切线长定理可得，AN＝AM＝3、CQ＝CM＝2，∠ONB＝∠OQB＝90°，
又∵ON＝OQ＝r，∠ABC＝90°，
∴四边形ONBQ为正方形，即QB＝BN＝r，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∵CM＝2，AM＝3，
∴AB＝3+r，BC＝2+r，AC＝2+3＝5
∴（3+r）2+（2+r）2＝52，
解得r1＝1，r2＝﹣6（舍去），
∴⊙O的半径为1．
【举一反三2】如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，若AE＝1，CD＝2，BF＝3，且△ABC的面积为6，则内切圆的半径r为　　　　.
【答案】1
【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OF⊥AB，OE⊥AC，OD⊥BC，AF＝AE＝1，
EC＝CD＝2，DB＝BF＝3，
∴△ABC的周长为2×(1＋2＋3)＝12.
连接OA，OB，OC(图略)，则△ABC的面积等于△AOC，△AOB，△COB的面积之和，则＝6，
∴(AB＋AC＋BC)＝6，∴×12×r＝6，解得r＝1，
∴△ABC的内切圆的半径r为1.
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB＝58°，△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，连接DE，BO的延长线交DE于点F，则∠BFD＝　 　．
【答案】29°
【解析】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，
∴AD＝AE，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠A），
∴∠BFD＝∠ADE﹣∠ABF＝（180°﹣∠A）﹣∠ABC＝（180°﹣∠A﹣∠ABC），
∵180°﹣∠A﹣∠ABC＝∠ACB＝58°，
∴∠BFD＝×58°＝29°，
故答案为：29°．
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，3），△ABC的内心在x轴上，求直线AC的函数解析式．
【答案】解：设AC交y轴于点D，
∵点A（3，0），点B（0，3），
∴OA＝OB＝3，
∵△ABC的内心在x轴上，
∴射线AO平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠OAB，
∵OA＝OA，∠AOD＝∠AOB＝90°，
∴△AOD≌△AOB（ASA），
∴OD＝OB＝3，
∴D（0，﹣3），
设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴直线AC的函数解析式为y＝x﹣3．
【举一反三5】如图，△ABC中，A、B，C三点的坐标分别为A（0，8），B（﹣6，0），C（15，0）．若△ABC内心为D，求点D的坐标．
【答案】解：如图，设⊙D与△ABC的三边AB，BC，AC分别相切于N，M，P，
连接DA、DB、DC、DM、DN、DP；
∵⊙D为△ABC的内切圆，
∴AN＝AP（设为λ），BM＝BN（设为μ），CM＝CP（设为γ）；
DM⊥BC，DN⊥AB，DP⊥AC；
∵A、B、C三点的坐标分别为A（0，8），B（﹣6，0），C（15，0），
∴由勾股定理得：AB＝10，AC＝17，BC＝21；
∴，
解得γ＝14，即CM＝14，
∴OM＝OC﹣CM＝15﹣14＝1；设⊙O的半径为φ；
∵△ABC的面积＝△ADB、△ADC、△BDC的面积之和，
∴由面积公式得：BC AO＝（AB+AC+BC） φ，
解得：φ＝，即DM＝；
综上所述点D的坐标为（1，）．
【题型8】多边形的内切圆
【典型例题】如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（　　）
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】D
【解析】∵⊙O内切于四边形ABCD，
∴AD+BC＝AB+CD，
∵AB＝10，BC＝7，CD＝8，
∴AD+7＝10+8，
解得AD＝11．
【举一反三1】以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（　　）
A.12 B.13 C.14 D.15
【答案】C
【解析】设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE＝EF，BC＝CF，
∵EF+FC+CD+ED＝12，
∴AE+ED+CD+BC＝12，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，
∵AE+EF+FC+BC+AB＝14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
【举一反三2】如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是　 　°．
【答案】70
【解析】如图所示：连接圆心与各切点，
在Rt△DEO和Rt△DFO中
∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），
∴∠1＝∠2，
同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，
∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，
∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝110°，
∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×110°，
∴∠2+∠3＝∠DOC＝70°．
【举一反三3】如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝10，则⊙O的面积为 　 　．
【答案】25π
【解析】解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，
连接OE，OF，
则四边形OECF是正方形，
∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EOM＝∠FON，
∴△OEM≌△OFN（ASA），
∴EM＝NF，
∴CM+CN＝CE+CF＝10，
∴OE＝5，
∴⊙O的面积为25π，
故答案为：25π．
【举一反三4】如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点为E，F，G，H，已知AD∥BC，AB＝CD，DO＝6cm，CO＝8cm，求四边形ABCD的周长．
【答案】解：如图，
∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点为E，F，G，H，
∴AF＝AG，BH＝BG，CH＝CE，DE＝DF，
∴BH+CH+AF+DF＝BG+CE+AG+DE，
即BC+AD＝AB+CD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ODE＝∠ADC，∠OCD＝∠DCB，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠DOC＝90°，
在Rt△DOC中，CD＝＝＝10，
∵AB＝CD＝10，
∴AB+CD＝BC+AD＝20，
∴四边形ABCD的周长为40．
【举一反三5】如图，圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切圆O于P点，交AB、BC于点E，F，求△BEF的周长．
【答案】解：设⊙O切AB于M，切BC于N，连接OM、ON，
则∠OMB＝∠ONB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∵ON＝OM，
∴四边形MBNO是正方形，
∵圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，
∴BM＝BN＝OM＝ON＝AB＝×6＝3，
由切线长定理得：EM＝EP，PF＝FN，
∴△BEF的周长为BF+EF+BE＝BF+PF+PE+BE
＝BF+FN+EM+BE＝BN+BM＝3+3＝6．
【题型9】三角形的内心与外心的综合
【典型例题】如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，I是△ABC的内心，连接OI，若OI＝，∠BOI＝45°，则BC的长是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：过I作IH⊥AB于H，IE⊥BC于E，IF⊥AC于F，
∵∠C＝90°，
∴四边形IECF是矩形，
∵I是△ABC的内心，
∴IE＝IF，
∴四边形IECF是正方形，
∵∠IOB＝45°，
∴△IOH是等腰直角三角形，
∴IH＝OH＝OI＝1，
∴CE＝IE＝IH＝1，
∵IE＝IH，BI＝BI，
∴Rt△BHI≌Rt△BEI（HL），
∴BE＝BH，
∴BC＝OB，
∴BC＝AB，
∴∠A＝30°，
∴∠IBE＝，
∴BE＝＝，
∴BC＝1+，
故选：D．
【举一反三1】点O是△ABC的外心，也是△BCD的内心．若∠A＝70°，则∠BDC的度数是（　　）
A.80° B.90° C.100° D.110°
【答案】C
【解析】解：如图，连接OB、OC，
∵点O是△ABC的外心，∠A＝70°，
∴∠BOC＝140°，
根据三角形内角和定理得，
∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝40°，
∵点O是△BCD的内心，
∴∠DBC＝2∠OBC，∠DCB＝2∠OCB，
∴∠DBC+∠DCB＝80°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝100°．
故选：C．
【举一反三2】如图，在⊙O中，，BC＝8，AC＝4，I是△ABC的内心，则线段OI的值为（　　）
A.1 B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接AO，延长AO交BC于H，连接OB．
∵，∴AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝4，
∴AH＝＝＝8，
设OA＝OB＝x，
在Rt△BOH中，
∵OB2＝OH2+BH2，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
∴x＝5，
∴OH＝AH﹣AO＝8﹣5＝3，
∵S△ABC＝ BC AH＝ （AB+AC+BC） IH，
∴IH＝＝2﹣1，
∴OI＝OH﹣IH＝4﹣（2﹣1）＝5﹣2，
故选：D．
【举一反三3】已知△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心．若∠BIC＝∠BOC，则∠BAC的度数是 　 　．
【答案】60°或108°
【解析】解：①当∠BAC是锐角时，如图所示：
∵I为△ABC的内心，
∴∠ABI＝∠CBI＝∠ABC，∠BCI＝∠ACB，
∴∠CBI+∠BCI＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，
∴∠BIC＝180°﹣（∠CBI+∠BCI）＝180°﹣（90°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，
∵∠BOC＝2∠BAC，
∴2∠BAC＝90°+∠BAC，
解得：∠BAC＝60°．
②当∠BAC是钝角时，如图，
∵∠BIC＝90°+∠BAC，
∵∠BOC＝2∠BA′C，
∴2∠BA′C＝90°+∠BAC，
∵∠BAC+∠BA′C＝180°，
∴2（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，
解得：∠BAC＝108°．
故答案为：60°或108°．
【举一反三4】如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝37°，则∠OBC的度数为 　 　．
【答案】16°
【解析】解：如图，连接OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI＝35°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝2×37°＝74°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×74°＝148°，
∵OB＝OC，
∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣148°）＝16°，
故答案为：16°．
【举一反三5】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．
（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；
（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+AC＝AD．
【答案】（1）证明：如图，连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠2＝∠6，
∴∠1＝∠6，
∵∠5＝∠1+∠3，
∠DBE＝∠6+∠4＝∠1+∠3，
∴∠5＝∠DBE，
∴DB＝DE；
（2）证明：延长AC至F，使CF＝AB，连接DF，
∵E为△ABC的内心，∠BAC＝60°，
∴∠DBC＝∠DCB＝∠DAC＝30°，DB＝DC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCF＝180°，
∴∠ABD＝∠DCF，
在△ABD和△FCD中，
，
∴△ABD≌△FCD（SAS），
∴∠F＝∠BAD＝30°，
在△ADF中，∠F＝∠DAF＝30°，
过点D作DG⊥AF于G，则GF＝DG，AD＝2GD，
∴AF＝AD，
∵AF＝AC+CF＝AC+AB，
∴AB+AC＝AD．
【举一反三6】如图，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D．BD与ID相等吗？为什么？
【答案】解：BD＝ID．
理由：连接IB，
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBD，
∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，
∴∠BID＝∠IBD，
∴BD＝ID．
【题型10】直线和圆的位置关系
【典型例题】已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O的半径为3cm，线段OA＝4cm，OB＝3cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切
【答案】D
【解析】解：∵⊙O的半径为3cm，OA＝4cm，OB＝3cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
【举一反三1】如图，∠AOB＝30°，C为OB上一点，且OC＝3，CD⊥OA于点D，以点C为圆心，半径为1的圆与OA的位置关系是（　　）
A.相交 B.相切 C.相离 D.以上三种情况均有可能
【答案】C
【解析】解：∵CD⊥OA于点D，
∴∠ODC＝90°，
∵∠AOB＝30°，OC＝3，
∴CD＝OC＝，
∵⊙C的半径为1，且＞1，
∴⊙C的圆心到直线OA的距离大于⊙C的半径，
∴⊙C与OA相离，
故选：C．
【举一反三2】以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，则r＝　 　．
【答案】2或
【解析】解：∵以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，
∴⊙P与x轴相切（如图1）或⊙P过原点（如图2），
当⊙P与x轴相切时，r＝2；
当⊙P过原点时，r＝OP＝＝．
∴r＝2或．
故答案为：2或．
【举一反三3】如图所示，已知∠AOB＝30°，P是OA上的一点，OP＝12 cm，以r为半径作⊙P.
(1)当r＝6 cm时，⊙P与OB有什么位置关系？当r＝7 cm时呢？
(2)当3 cm【答案】解　(1)如图所示，过点P作PC⊥OB于点C，
∵∠AOB＝30°，
∴圆心P到OB的距离
PC＝OP＝×12＝6(cm).
当r＝6 cm时，PC＝r，则⊙P与OB相切；
当r＝7 cm时，PC(2)当3 cmr，此时⊙P与OB相离，没有公共点.