广东省深圳罗湖区高一数学2025-2026学年上学期期末试卷（含答案）

2025-2026学年第一学期期末质量检测
高一 数学
注意事项：
1. 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。
2. 答卷前，考生务必将自己的学校、班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码。
3. 作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑。
4. 非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不得使用铅笔和涂改液。
5. 考试结束后，考生上交答题卡。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
2. 已知命题，则的否定为
A. 　　 B.
C. 　　 D.
3. 已知，则
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
4. 设，则下列命题正确的是
A. 若，则　　
B. 若，则
C. 若且，则　　
D. 若，则
5. 下列区间中，方程的解所在的区间为
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
6. 将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴是
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
8. 已知函数的图象经过点，若在区间上具有单调性，则的取值范围是
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是
A. 　 B. 　
C. 　 D.
10. 已知正数，满足，则
A. 的最大值为　　　　
B. 的最小值为
C. 的最小值为　　
D. 的最大值为
11. 已知函数的定义域为，，若，且不恒为，则
A. 　　　　　　　　　
B. 的图象关于直线对称
C. 为奇函数　　　　　　
D.
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12. 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，已知的终边与单位圆在第二象限交于点，则 .
13. 已知是幂函数，且在区间上单调递减，则 .
14. 数学计算中通常会用恒等式来简化运算，已知，，且，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知函数.
（1）若，求；
（2）若，求的值.
16.（15分）
已知函数.
（1）若的解集为，求不等式的解集；
（2）若且在上恒成立，求实数的取值范围.
17.（15分）
函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式与单调递增区间；
（2）求的解集；
（3）关于的方程在区间上有两个解，，且，求.
18.（17分）
已知函数.
（1）计算，的值；
（2）判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断；
（3）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．依据上述结论，证明：的图象成中心对称图形，并求其对称中心．
19．（17分）
对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为上的“局部奇函数”．
（1）判断函数是否为上的“局部奇函数”，请说明理由；
（2）若定义在区间上的函数为“局部奇函数”，求实数的取值范围；
（3）若函数为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．
2026年普通高中高一年级期末调研考试
数学试题参考答案及评分标准
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C C B A B A
8.解： 由条件，因为，则，又在上单调，
于是，则，解得，故选A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 ACD ABD AD
11.解：令，可得，因为不恒为0，所以，选项A正确；由已知函数
满足条件，但不是奇函数，选项C错误；若，令，有
，于是，所以，因此
是周期为4的周期函数，此时，，，因为
，选项B错误，因为，选项D正确，故选AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 13. 14.
14.解：由条件，解得，所以，当且仅当，时取等号，所以的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13分）
已知函数 。
（1） 若 ，求 ；　（2） 若 ，求 的值。
解：（1） 由条件 ；
若 f(α)=13，sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=35。 6分
（2） 当 时，
。........13分
16. （15分）
已知函数 。
（1）若 的解集为 ，求不等式 的解集；
（2）若 且 在 上恒成立，求实数 的取值范围。
解：（1）由题知 且 的两根为 ，。
所以 ，，可得：，，
可化为：，即 ，解得：，
所以不等式 bx2-ax-1≤0 的解集为 x∣≤x≤1。 7分
（2）由 可得，，消去 可得 ，对任意的 恒成立，
（i）当 ，即 时，不等式变为 恒成立，满足题意；
（ii）当 ，即 时，不等式 ，对任意的 恒成立，
当且仅当 ，解得 ；
综上所述，实数b的取值范围[2,6) 15分
17. （15分）
函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式与单增区间；
（2）求的解集.
（3）当时，方程有两个不相等的实数根，且，求的值.
解：（1）由函数 的部分图象可知 ，于是 ，所以 ，所以函数 ，又 ，所以 ，
解得 ，由 可得 ，所以 ．
令 ，解得 ，
故 单调递增区间为 ．4分
（2） ，则 ，结合 图象可得
，解得 ，
故 的解集为 ．9分
（3）由条件，关于对称，所以有，且有，
因此，
因为00，所以sin(x2-x1)=154。 15分
18. （17分）
已知函数.
（1）计算，的值；
（2）判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断；
（3）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.
依据上述结论，证明：的图象成中心对称图形，并求出对称中心.
解：（1），. ………………………………………………………………4分
（2）函数在上单调递减.证明如下：
由条件.任取，且，
因为，所以，，
所以，即，故函数在上单调递减. ………………10分
（3）证明：设，则.
因为函数定义域为，且，
所以为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于点成中心对称图形. ……17分
19. （17分）
对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为上的“局部奇函数”.
（1）判断函数是否为上的“局部奇函数”，请说明理由；
（2）若定义在区间上的函数为“局部奇函数”，求实数的取值范围；
（3）若函数为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.
解：（1）假设存在，满足，即，解得，
因此方程有解，
所以函数f(x)=x2-5x-1为R上的“局部奇函数” 3分
（2）只需研究方程的解.
（i）当时，，
此时， 于是，
当时，有，因此；
（ii）当时，，
此时方程无解，不满足题意；
（iii）当时，，
此时，于是，
当时，有，因此；
综上所述，实数k的取值范围为(-∞,-2] 10分
（3）由题意，方程在上有解，
即在上有解，
即在上有解，记，此时，
于是在区间上有解，记。
（i）当时，在区间上有解，
由，有，解得\（ ；
（ii）当时，方程在区间上有解，
当且仅当，解得\（ ；
综上所述，实数的取值范围为 。17分