河南省郑州市河南省实验中学高二数学2025-2026学年上学期期末试卷（含答案）

河南省实验中学2025——2026学年上期期末试卷
高二 数学
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ）.
A. B.
C. D.
2. 设等比数列，，是方程的两根，则的值是（ ）
A. 或
B. 或
C.
D.
3. 若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知四面体中，，，，，空间一点满足，若，，，四点共面，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 在数列中，，，，则中的最大项是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心，若的最大值为，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 直线与相交于点，点在圆上，则（ ）.
A. 有最大值
B. 有最大值
C. 有最小值
D. 有最小值
8. 双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径作圆，交的左支于点，连接，过作，交的右支于点（，在轴同侧），直线与的右支有两个不同的交点，若是等腰三角形，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 以下四个命题表述正确的是（ ）
\. 过点(3，2)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为
B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C. 圆与圆恰有三条公切线，则
D. 已知的三边所在的方程分别是，，，则的平分线所在的直线方程为
10. 已知数列前n项和为，，则下列结论成立的有（ ）
A. 数列为等差数列
B. 数列的前100项和为10000
C. 若，则
D. 若，则n的最小值为8
11. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A、B两点（A位于第一象限），过A、B作直线的垂线，垂足分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为4
B. 若直线l交x轴于点M，，则
C. 抛物线C在点B处的切线与交于点N，则
D. 记△FAA ， B ， 的面积分别为，，，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设等比数列的前n项和为，若，则______ 。
13. 已知正方体的棱长为2，点P在线段上(不含端点)。若是锐角，则线段长度的取值范围为_____
14. 已知双曲线的左右焦点分别为，，过作渐近线的垂线交双曲线的左支与点，已知，则双曲线的离心率为.
四、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动.
（1）求线段的中点的轨迹的方程；
（2）设圆与曲线的交点为，，求线段的长.
16.（15分）已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于，两点.当时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，证明：与的面积之比为定值.
17.（15分）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，，分别是线段，的中点，且平面平面.
（1）求证：平面；
（2）若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.
18.（17分）是等比数列，公比大于0，其前项和为（），是等差数列．已知，，，．
（1）求和的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求的值
（3）设其中，求（）．
19.（17分）已知为坐标原点，椭圆：（）左、右焦点分别为，，长半轴长为，过的直线与椭圆交于，两点，的周长为．
（1）求的方程；
（2）若直线与交于，两点，且，求的取值范围；
（3）已知点是椭圆上的动点，是否存在定圆：（），使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一个交点），总满足？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由．
河南省实验中学2025——2026学年上期期末试卷（答案）
一. 选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A B B D A D
二. 多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BCD AB ACD
三. 填空题（共3小题）
12.31
13.
14.
四. 解答题（共5小题）
15. 解：（1）设点的坐标为，点的坐标为，
由于点B的坐标为(2,1)，且点P是线段AB的中点，所以x=x0+22，y=y0+12， 2分
则①，
因为点A在圆C1上运动，所以(x0-4)2+(y0-3)2=4②， 4分
把①代入②，得，整理得，
所以点P的轨迹C2的方程为(x-3)2+(y-2)2=1。 6分
（2）将圆：与圆：的方程相减得：，..9分
圆的圆心为，半径为，
则(3,2)到直线2x+2y-9=0的距离d=|6+4-9|22+22=24， 11分
则|MN|=21-18=142。 13分
16. （1）解：根据题意直线的斜率不为，
可设直线：，联立，得，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以Δ=4p2(t2+1)>0，y1+y2=2pt，y1y2=-p2， 3分
即，
当时，，即，即，
则抛物线E的方程为y2=4x。 7分
（2）证明：设，，
直线的方程：，直线的方程：，
由{x=my+3y2=4x，得y2-4my-12=0， 10分
所以，同理，，
所以y1y2y3y4=(y1y3)(y2y4)=144，y1y2=-p2=-4，则y3y4=-36， 13分
即即 . 15分
17.（1）证明：连接，
是边长为的等边三角形，是线段的中点，，
∵平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，BD 平面ABC，∴BD⊥平面AA1C1C， 2分
又平面，，
四边形为平行四边形，，四边形为菱形，故，
∵D，E分别是线段AC，CC1的中点，∴DE∥AC1，∴DE⊥A1C， 4分
∵BD∩DE=D，BD，DE 平面BDE，∴A1C⊥平面BDE； 6分
（2）解：连接，，，
为等边三角形，是线段的中点，故，
平面平面，交线为，平面，平面，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，，......8分
设，，
设，则，
故，，，故，
，，
由（1）知，A1C⊥平面BDE，故平面BDE的一个法向量为A1C→=(0,-3,-3)， 10分
设平面的法向量为，
则，
解得x1=0，令y1=1，则z1=-33λ，则n→=(0,1,-33λ)， 12分
设平面与平面夹角的大小为，
则cosθ=|cos A1C→，n→ |=|A1C→·n→||A1C→|·|n→|=|(0,-3,-3)·(0,1,-33λ)|9+3·1+13λ2=|-3+λ|2λ2+3=3-λ2λ2+3， 13分
令，，，
则，
，，，故，
故平面FBD与平面BDE夹角的余弦值取值范围为(12,32)． 15分
18．解：（1）设等比数列的公比为，，
由a1=1，a3=a2+2，可得q2=q+2，解得q=2（-1舍去），则an=2n-1； 2分
设等差数列的公差为，由，，
可得2b1+6d=8，即b1+3d=4，3b1+13d=16，解得b1=d=1，故bn=1+n-1=n； 4分
（2），
所以Tn=12-13+13-15+15-19+117- +12n-1+1-12n+1=12-12n+1； 7分
（3）由，其中，可得，，
∑i=12ndi=∑i=12ni-∑k=1n2k+∑k=1n2k+∑i=1n(i+1)·2i， 10分
∑i=12ni=2n(1+2n)2=2n-1+22n-1，∑i=1n2i=2(1-2n)1-2=2n+1-2， 12分
设，，
两式相减可得，化为，
所以∑i=1n(i+1)·2i=n·2n+1， 15分
则∑i=12ndi=22n-1+(4n-3)·2n-1+2． 17分
19．解：（1）因为椭圆 ： 的长半轴长为 ，即 ，
分别为左、右焦点，且 的周长为 ，
所以 ，解得 ，所以 的方程为 ． 3 分
（2）（1）若直线 斜率不存在，则设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ； 4 分
（2）若直线 斜率存在，设 方程为 ，联立 ，消去 并整理可得 ，
故
所以
，化简得 ，
所以 ，7分
当 时，此时 ；
当 时，此时 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，综上 的取值范围为 ．9 分
（3）由（2）知 ，故原点 到直线 的距离为 ，
即直线 佰与 相切．故猜想存在这样的圆 ，半径为 ．10 分
当直线 与 相切时，圆心 到直线的距高 ，
可得 ． 12分
设 ，
联立方程 ，可得 ，
所以 ．14分
所以 ，即 ．
由楠圆的对称性，延长 交杪圆于另一点 ，则 ，且 ，
根据对称性可得 ，且直戎 与 也相切，即 即为 ，符合题意；
当 斜京不存在时，此时两条切线分别为 ，量照满足夌意。
故存在这样的圆 ，半经为 ．17 分