第一章 三角形的证明--三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型专题练习（含答案）初中数北师大版（2024）八年级下册

《三角形的证明》--三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型
一、单选题
1．如图，在 ABC中，，的平分线，相交于点F，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在 ABC中，，是的平分线，是 ABC的外角的平分线，是 ABC的外角的平分线，以下结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 ABC中，点在延长线上，，分别平分，，，垂足为．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．在 ABC中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（ ）个．
①；②；③；④．
A． B． C． D．
5．如图，在 ABC中，、分别是高线和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．如图，等腰中，，三角形的内外角的角平分线交于点，的度数为 ．
7．如图，在 ABC中，是边上的高线，是边上的中线，是线段的垂直平分线．已知，则 ．

8．如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是 ．
9．如图，在 ABC中，，的平分线与的外角（）的平分线交于点；的平分线与的外角的平分线交于点，…，以此类推，则 （用含的式子表示）
10．如图，在 ABC中，，的平分线交于点O，．
（1）的度数为 ．
（2）若CD平分外角，交BO的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点，则的度数为 ．
三、解答题
11．如图，在 ABC中，．
(1)求的度数；
(2)若平分，是的高线，求的度数．
12．在 ABC中，已知．
(1)如图（1），角平分线和相交于点M，求的度数．
(2)如图（2），外角平分线和相交于点N，求的度数．
13．如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，．
(1)如图，若，求的度数；
(2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式；
(3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由．
14.在 ABC中，是边上的高．
(1)如图1，若是边上的中线，，求的长．
(2)如图2，若是 ABC的角平分线，时，求的度数．
15.已知：在 ABC中，，平分交于点．

(1)如图①，于点，若，求的度数；
(2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）；
(3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；
(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．
16.如图①，在 ABC中，与的平分线相交于点．
(1)如果，求的度数；
(2)如图②，作 ABC外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）．
(3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）．
17.（1）如图1，在 ABC中，，是的角平分线，是边上的高线，、相交于点，若，求的度数．
（2）如图2，在 ABC中，，是边上的高，若 ABC的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点．若，求的度数（用表示）；
（3）如图3，在 ABC中，∠ACB=∠BAC=a,，的平分线与交于点，与 ABC的外角的平分线交于点．过点作，交与点，请自行补全图形，并证明．
18.（1）在 ABC中，，图1，是两内角平分线的夹角；图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数．
如图1，______；如图2，______；如图3，______；
（2）如图4所示，在 ABC中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，，求的度数．
参考答案
一、单选题
1．C
解：在 ABC中，，
∴，
，的平分线，相交于点F，
，，
∴，
∴．
故选：C．
2．D
解：∵，
∴，
∵是 ABC的外角的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，，
∵是 ABC的外角的平分线，，
∴，
由于题干并未给出，所以无法得到，也就无法得到；
故选D．
3．B
解：，分别平分，，
，．
∴∠ACD=∠ABC+∠A，
．
．
，
．
故选：B．
4．D
解：由条件可知，
，，
，，
故③正确，符合题意；
由条件可知，，
，，
，
，
故④正确，符合题意；
，，，
，
平分，平分，
，，
，
，
故②正确，符合题意；
，
，
，
，
故①正确，符合题意；
综上正确的有：①②③④．
故选：D．
5．D
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．故①符合题意；
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．故②符合题意；
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
由①知：，
∴．故③符合题意；
∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴，
∴．故④符合题意；
综上可知，正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
二、填空题
6．
解：∵，
∴，
三角形的内角的角平分线为，
，
平分外角，
，
在中，由三角形的外角性质，得，
，
，
；
故答案为：．
7．
解：如图，连接，

∵，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
8．
解：如图，作的平分线与的延长线交于点，与交于点M，与交于点Q，
平分，平分，平分，
，，，
，
．
，，
，，
，
，
，
，
，
即．
故答案为：．
9．
解：，，
，
，
而，
，
∴，
以此类推得，；，
，
故答案为：．
10． 80° 10°
（1）解：∵BO平分，CO平分，
∴，.
∵，，
∴，
∴，
∴.
（2）解：由（1）知.
∵点E是 ABC的两外角平分线的交点，
∴，，
∴
.
∵BO平分，CD平分外角，
∴，.
∵，，
∴
，
∴.
三、解答题
11．（1）在 ABC中，，
．
∵∠ACB=3∠A，
．
．
（2）平分，
．
是的高线，
．
．
12．（1）解：，
，
∵平分 平分，
，
，
，
，
，
当时，；
（2）解：，
∵平分 平分，
，
，
∵，
，
∵，
，
即．
当时，．
13．（1）解：四边形的内角和为，
，
和是四边形的外角，
，，
，
；
（2）解：．
理由：如图1，连接BD，

由（1）有，，
、分别平分四边形的外角和，
， ，
，
在中，，
在中，，，
，
，
，
．
故答案为；
（3）解：．
理由：如图，过点作，

则，
，
由（1）知，
，
，
又、分别平分和，
，
，
又，
，
，
又，
．
14.（1）解：∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵是 ABC的角平分线，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴．
15.（1）解：∵在 ABC中，，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∴，
当时，；
（2）由（1）可知，，∴当时，∴；
（3）∵，而，∴，
∵，，∴，∴；
（4）的度数大小不发生改变．理由如下：
∵，，∴，∴．
16.（1）解：．
，
∵点P是和的平分线的交点，
；
（2）∵外角，的角平分线交于点Q，
，
，
，
，
，
∵，
；
（3）延长至F，

∵CQ为 ABC的外角的角平分线，
是 ABC的外角的平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
又，
，即；
，
，
．
如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①，则，；
②，则，，；
③，则，解得；
④，则，解得．
综上所述，的度数是或或．
17.解：（1）是边上的高线，
，
是的角平分线，，
，
又，
；
（2）解为的角平分线，
，
是边上的高，
，
；
（3）如图：作出的平分线，与交于D点．作出 ABC的外角的平分线，两条平分线交于点E，过点E作，交于点F，
证明：在 ABC中，∠ACB=∠BAC=a，
，
又∵BD平分，
，
．
又平分，
，
，
，
，
，
．
18.解：（1）如图1：
∵平分，平分，
∴，，
∴
；
如图2：
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴；
如图3，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴
∴，
∴．
故答案为：，，．
（2）解：∵的三等分线、和的平分线相交于点和点，
∴，，，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．