1.4 线段的垂直平分线与角平分线 同步练习（含答案）初中数学北师大版（2024）八年级下册

《线段的垂直平分线与角平分线》
一、单选题
1．如图，在 ABC中，已知，垂直平分，，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，是的平分线，若，则的面积是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．10
3．如图，在 ABC中，，，的平分线交于点D，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．点D一定在的垂直平分线上 D．是轴对称图形
4．上海正建设一批精品口袋公园，如图所示， ABC是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
5．如图，在 ABC中，，，平分，平分，且交于点，延长至点，使，连接；延长交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（　　）
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤
二、填空题
6．如图，在 ABC中，，分别是边，的垂直平分线，，则 ADE的周长 ．
7．如图，在 ABC中，，是的角平分线，点E在边上，连接，且．若 ADE面积为4，，则面积 ．
8．如图，在中，，是 ABC的角平分线，分别在边上．，连结． 若，则 ABC的面积是 ．
9．如图，在 ABC的边上取点，使．过点作于点，若平分，，，则 ．
10．如图所示，点在的内部，点分别是点关于直线的对称点，线段交，于点，．若的周长是，则线段的长是 ．
三、解答题
11．如图，在 ABC中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．
(1)若 ADE的周长为，求的长；
(2)若，求的度数．
12．从常见的风筝中可以抽象出一个几何图形．已知是等边三角形，，过点A作，交于点E，交于点F，连接．
(1)求证：垂直平分线段；
(2)若，，求的长．
13．如图，为 ABC的角平分线，于点，于点，连接交于点．
(1)求证：垂直平分；
(2)若，写出与之间的数量关系，并证明．
14．如图，在 ABC中，直线l垂直平分边，分别交于点D，E，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若的周长是19，，求的长；
(3)在线段上有一点P，其恰好也在边的垂直平分线上，求证：点P在边的垂直平分线上．
15.如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、．
(1)求证：；
(2)若，，求 ABC的周长．
16.如图，是平分线上的一点．过点作，，垂足分别为，连接．
(1)求证：是的垂直平分线；
(2)若，，求的周长．
17.已知：如图， ABC中，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
18.已知：如图 ABC中，O是的中点，D是的角平分线上一点，且，过D作于E点，于F点．
(1)连接，求证：所在直线是的垂直平分线；
(2)求证：；
(3)判断之间的数量关系，并说明理由．
19.已知是的角平分线，点是上一点，，分别是，上的动点．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，、、在同一直线上，平分，交于点，作于点．若，，，请直接写出的值_____．
20.小聪同学在学习了《角平分线的性质》后，对教材中呈现的知识进行了拓展探究．
(1)如图1，若点P是平分线上一点，，，则点P到的距离为______．
(2)已知 ，平分，平分．
①如图2，若点E到与的距离之和为4，则点E到的距离为______．
②如图3，过点E作直线交射线于点C，交射线于点D，试探究线段的数量关系，并说明理由．
③如图4，过点E的直线交直线于点C，交射线于点D，若，，则______．（用含m、n的式子表示）
参考答案
一、单选题
1．B
解：∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴．
故选：B．
2．A
解：作，如图所示：
∵是的角平分线，，，
∴，
∴的面积．
故选：A．
3．B
解：∵，，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∴，故A正确；
，
∴，
∴点D一定在的垂直平分线上，故C正确；
∵，
∴是等腰三角形，
∴是轴对称图形，故D正确；
无法证明，故B错误，
故选：B．
4．C
解：∵ ABC是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，
∴应建在三条角平分线的交点．
故选：C．
5．B
解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
假设，则，连接，如图，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，与矛盾，
∴，故②错误；
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，
，
即，故⑤正确；
，，
为的垂直平分线，
，
∴，
，
，
又平分，平分，
，
，
∴，
∴，
∴，
即，故④正确；
综上，①③④⑤正确，
故选：．
二、填空题
6．8
解：∵，分别是边，的垂直平分线，
∴，
∴ ADE的周长为，
∵，
∴ ADE的周长为8．
故答案为：8
7．
解：如图；过点 作交于点
∵，是的平分线
∴
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵ ADE面积为4，，
∴面积为2，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
故答案为：．
8．
解：如图，过作于，
，
，
是 ABC的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积．
故答案为：．
9．
解：平分，，
,，
在和中，
，
，，
，，，
∴BC=CE+BE=CA+AE=CA+DE+DA=3+1+1=5，
故答案为： ．
10．
解：∵、关于对称，、关于对称，
∴和分别是线段和线段的垂直平分线，
∴，，
又∵的周长是，即，
∴．
故答案为：．
三、解答题
11．（1）解：是边的垂直平分线，
，
是边的垂直平分线，
，
，
的周长为，即，
；
（2）解：由题意得，，，
，
，
．
12．（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∴点C在的垂直平分线上，
又∵，
∴点A在的垂直平分线上，
∴垂直平分线段．
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
13．（1）证明：为 ABC的角平分线，，，
，，
在和中，
，
，
，
∴点、都在的垂直平分线上，
垂直平分；
（2），
证明：为 ABC的角平分线，，
，
，
垂直平分,
,
，，
，
，
，
．
14．（1）解：∵，
∴，
∵直线l垂直平分边，
∴，
∴．
（2）解：∵直线l垂直平分边，
∴，
∵的周长为19，
∴，即．
∵，
∴．
（3）证明：如图：连接，
∵直线l垂直平分边，点P在直线l上，
∴，
∵点P在边的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴点P在边的垂直平分线上．
15.（1）证明：连接， ，如图所示：
∵是的平分线，，,
∴，
∴,
∴,,,都是直角三角形，
∵是边的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴,
∴.
（2）解：设，
∵,,
∴，
在和中，
，
∴，
∴,
∴,
∴的周长为：．
16.（1）证明：是平分线上的一点，，，垂足分别为，
，，
点在的垂直平分线上，
在和中，
，
，
，
点在的垂直平分线上．
是的垂直平分线；
（2）解：，，
，
，，
，
，
，
∴ COP的周长是．
17.（1）证明：连接，如图所示：
平分，，，
，
垂直平分，
，
，
；
（2）解：由（1）可知 ，
，
平分，
，
，，
，
又，
，
，
．
18.（1）证明：O是的中点，
，
，
，
，
，
，
所在直线是的垂直平分线；
（2）证明：D是的角平分线上一点，，，
，
∵DB=DC，
，
，
，
；
（3）证明：，理由如下：
，
，
，
，
，
．
19.（1）证明：过点作于于，如图
是的角平分线，，
．
，
．
在和中：
，
；
（2）证明：过点作于于，如图
是的角平分线，，
，
，
．
在和中，
，
，
；
（3）解：如图，过点作于，过点作于，
是的角平分线，，
，
又平分，
，
，
平分，
在和中，
，
同理可证，，
，，
，
，
，
，
，
即，
．
20.（1）解：过点P作，如图所示：
∵点P是平分线上一点，，，
∴，
即点P到的距离为；
故答案为：3．
（2）解：①过点作，分别交于点，过点作交于点，如图所示：
∵，，
∴，
即线段的长度就是点E到与的距离之和，
∵点E到与的距离之和为4，
∴，
∵平分，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得；
故答案为：2．
②，理由如下：
过点作，分别交于点，过点作交于点，如图所示：
∵，，
∴，
即线段的长度就是点E到与的距离之和，
∵平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴
∵平分，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
则
∴
即，
③依题意，当点在直线的点A的右边时，如图所示：
与②同理，过点作，分别交于点，过点作交于点，如图所示：
此时，，，
∴
∴，，
则，，
∴
∴
即
故；
当点在直线的点A的左边时，延长交于点，如图所示：
∵，
∴
∵平分，平分．
∴
∴
即
∴
即，
∵平分．
∴
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
综上：当点在直线的点A的右边时，；当点在直线的点A的左边时，．