1.2.1 等边三角形的性质与判定 同步练习（含答案）初中数学北师大版（2024）八年级下册

1.2.1《等边三角形的性质与判定》
一、单选题
1．如图，在等边 ABC中，点是边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线，等边 ABC的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 ABC中，，点为边的中点，于，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 ABC中，，，，P是AC上的动点．连接，以为边作等边三角形，连接，则线段长的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．如图，为线段上一动点．（不与重合），在同侧分别作等边 ABC和等边与交于点与交于点与交于点，连接，则有以下五个结论：；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
6．如图，是等边三角形，D为的中点，于E，若，则的边长为 ．
7．已知、、 为 ABC的三边长，、 满足，且a为方程的解，则 ABC的形状为 三角形．
8．如图， ABC是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，，则的长为 ．
9．如图，在 ABC中，，点D是边上一点，过点D分别作，交于点E，交于点F，若，则 ．
10．如图，在中，，，，，分别为边，上的任意一点，且．连接．若是直角三角形，则 ．
三、解答题
11．如图，在等边 ABC中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
12．如图，在 ABC中，，，点是 ABC外一点，且，过点作分别交，于点，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若，，求的长．
13．如图， 在 ABC中，，，交于点G，，，点E，F分别在边，上， 连接，，．
(1)求的长；
(2)若，求证：．
14．如图，在等边 ABC中，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边方向匀速运动，点停止运动时，点也停止运动．分别连接，，设运动时间为秒．
(1)当平分时，求的值．
(2)当时，求的值．
(3)当为直角三角形时，直接写出的值．
15．如图， ABC是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作，使，，连接，，．
(1)当 BDE是等腰三角形时，求出的度数；
(2)求证：；
(3)当 CDF是等腰三角形时，求出的度数．
16．已知， ABC是一个等边三角形，点E为射线上一动点（点E不与点B，C重合），连接，过点A作线段，使得，且点F在直线的上方．
(1)当点E在边上运动时，
①如图1，过点F作交直线于点D，设的度数为，则的度数为 °（用含的式子表示），请直接写出线段和的数量关系： ；
②如图2，若点E为边上的中点，连接交边于点G，求证：；
(2)当点E在射线上运动时，直线与直线交于点G，如果，请求出的值．
参考答案
一、单选题
1．A
解：在等边 ABC中，点是边的中点，
∴，平分，
∴；
故选：A．
2．B
解：∵ ABC是等边三角形，
∴，
∵，
，
故选：B．
3．C
解：∵，
∴ ABC是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点为边的中点，
∴，
故．
故选：C．
4．A
解：如图，取中点E，连接．
∵，，，
∴，，
∵ BPQ是等边三角形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴当时，的值最小，
在中，，，
∴，
∴线段长的最小值是2．
故选：A
5．B
解： ABC和是等边三角形，
，
，即，
在和中，
，
，故正确；
，
，
又，
，即，
又，
，
，
又，可知为等边三角形，
，
，故正确；
，
，
∴，故③错误；
，，
，即，
，，
，则，故错误；
，
，
，
，故正确．
故选：B．
二、填空题
6．4
解：∵ ABC是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，则，
∵为的中点，
∴．
故答案为：4．
7．等边
解：∵，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，，
∵a，b，c为 ABC的三边长，
∴，即
∵a是方程的解
∴，
∴，
∴ ABC是等边三角形．
故答案为：等边．
8．7
解：∵ ABC是等边三角形，
∴、，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：7．
9．6
解：，
．
，
．
是含角直角三角形．
．
．
，
．
是等边三角形．
．
故答案为：6．
10．或
解：当时，
∵，，
∴，
∴
∴，
又∵
∴，
∴，
当时，
如图
∵，，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：或．
三、解答题
11．（1）解：△是等边三角形，
，
，
，
，
△是直角三角形，
在中，，
（2）解：，，
△是等边三角形，
，
在中，，
．
12．（1）解：是等边三角形，理由如下：
，，
是等边三角形．
．
，
，．
．
是等边三角形．
（2）如图，连接，交于点，
，，
是线段的垂直平分线．
．
又，
．
，
．
．
．
．
由（1）知是等边三角形，
．
．
13．（1）解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
在 BDE和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
即．
14．（1）解：如图①，是等边三角形，
，
平分，
，
由题意得，，
，
解得，
即的值为；
（2）解：如图②，是等边三角形，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
解得，
即的值为2；
（3）解：由题意得，在中，，
∴直角只能是或，分两种情况：
当时：，
∴，
∵，，
∴，
解得，
当时：，
∴，
∵，，
∴，
解得，
综上所述，x的值为或3．
15．（1）解：由题意可知，，
为等边三角形，
又是等边三角形，
．
是边上的高，
，
．
是等腰三角形，
．
．
．
（2）证明：，，
是等边三角形，
是等边三角形，
，，，，
．
在和 CBF中，
；
（3）解：的大小为或或；
理由如下：
当 CDF是等腰三角形时，
分三种情况讨论：
时，
，
，
，
时，
则，
，
时，
则．
．
综上，的大小为或或．
16．（1）解：如图1所示：
是等边三角形，
，．
．
，且点F在直线的上方，的度数为，，
．
．
线段和的数量关系是：，理由如下：
，
．
在中，，的度数为，
．
．
在和中，
．
．
故答案为：；；
证明：过点F作交的延长线于点M，连接，如图2所示：
是等边三角形，点E为边上的中点时，，，
即．
由可知：．
．
在和中，
．
．
，
．
在和中，
，
．
．
即；
（2）解：，
∴设，，
，
∵点E在射线上运动，
∴有以下两种情况：
当点E在线段上时，过点F作交的延长线于点M，如图3①所示：
设，则，
同（1）证明：，，
，．
，
．
解得：，
．
．
②当点E在的延长线时，过点F作交于点H，如图3②所示：
．
．
，
．
，，
．
在中，，
．
在和中，
．
，．
．
在和中，
．
．
．
．
综上所述：的值为或5．