3.3垂径定理达标练习（含解析）北师大版数学九年级下册

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3.3垂径定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列语句，错误的是（ ）
A．直径是弦 B．过圆心的弦是直径
C．平分弧的直径垂直于弧所对的弦 D．相等的圆心角所对的弧相等
2．如图以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．则MD的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长.”则
A．寸 B．寸 C．寸 D．寸
4．如图，是的弦，半径为，，则弦的长为（　　）
A． B． C． D．
5．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸，锯长AB为1尺（10寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为（ ）
A．22寸 B．24寸 C．26寸 D．28寸
6．如图，是的直径，是的弦，于点，则下列结论不一定正确的是要（　　）
A． B． C． D．
7．在Rt△ ABC中，∠ C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6， 若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是上的一点，与交于点，已知弦，，，则半径的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm
A．5 B．4 C． D．
10．在已知点M（3，﹣4），在x轴上有一点与M的距离为5，则该点的坐标为（　　）
A．（6，0） B．（0，1） C．（0，﹣8） D．（6，0）或（0，0）
11．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长．”则为(　　)
A．10寸 B．3寸 C．20寸 D．26寸
12．如图，四边形内接于，，．劣弧沿弦翻折，刚好经过圆心．当对角线最大时，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图所示，是圆的半径，弦于点，已知，，则弦 ．
14．将一张半径为4的圆形纸片（如图①）连续对折两次后展开得折痕、，且，垂足为M（如图②），之后将纸片如图③翻折，使点B与点M重合，折痕与相交于点N，连接、（如图④），则的面积是 ．

15．如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是 度．
16．如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为 ．
17．如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整数点有 个．
三、解答题
18．如图①，O为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD＝24cm，AB＝25cm．若弧AMD的长为底面周长的，如图②所示．
（1）求⊙O的半径；
（2）求这个圆柱形木块的表面积．（结果可保留π和根号）
19．如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，垂足为．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求圆O的半径长．
20．如图,点P的坐标为(4,0),⊙P的半径为5,且⊙P与x轴交于点A、B,与y 轴交于点C、D,试求出点A、B、C、D的坐标.
21．已知：如图，是的直径，是的弦，且，垂足为，连接，，，求的长．
22．如图,在上,经过圆心的线段于点，与交于点.
(1)如图1,当半径为,若,求弦的长;
(2)如图2,当半径为 ,,若,求弦的长.
23．如图，与相交于点．求的长．

24．如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB
《3.3垂径定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C C C C A A D D
题号 11 12
答案 D A
1．D
【分析】考查了圆周角定理、垂径定理以及弦弧的概念等知识．根据弦的定义、垂径定理的推论、圆周角定理，即可求得答案．
【详解】A. 直径是弦，故该选项正确，不符合题意；
B. 过圆心的弦是直径，故该选项正确，不符合题意；
C. 平分弧的直径垂直于弧所对的弦，故该选项正确，不符合题意；
D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，根据垂径定理得到AM=BM=8，再根据勾股定理得到82+（16-r）2=r2，解方程求出r=10，然后计算CD-CM即可．
【详解】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，
∵AB⊥CD，
∴AM=BM=AB=8，
在Rt△AOM中，82+（16-r）2=r2，解得r=10，
∴MD=CD-CM=20-16=4．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
3．C
【分析】连接AO，根据垂径定理及勾股定理即可求出半径，即可求出CD的长.
【详解】如图，连接AO，设AO=OD=r，
故OE=r-1，
∵AB=10，∴AE=5，
由AO2=AE2+OE2，即r2=52+( r-1)2，
解得r=13，故CD=2r=26
故选C
【点睛】此题主要考查垂径定理，解题的关键是根据勾股定理进行求解.
4．C
【分析】过点O作的垂线，得到直角三角形，在直角三角形中根据三角函数进行计算，然后再由垂径定理得到的长．
【详解】解：如图：过点O作于C，
则，．
在中，，
∴．
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理及解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容和解直角三角形的方法和步骤．
5．C
【分析】设圆材的圆心为O，延长CD，交于点E，连接OA，由题意知CE过点O，且，，设圆形木材半径为r，可知，，根据列方程求解可得．
【详解】解：设圆材的圆心为O，延长CD，交于点E，连接OA，如图所示：
由题意知：CE过点O，且，
则．
设圆形木材半径为r，
则，．
∵，
∴，
解得 ，
即的半径为13寸，
∴的直径为26寸．
故选：C．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．由于，根据垂径定理有，，因为、都为圆的半径，可得，不能得出．
【详解】解：∵，
∴，，所以A选项、B选项正确，不符合题意；
只有当垂直平分时，，所以C选项符合题意；
∵、都为圆的半径，
∴，所以D选项正确，不符合题意．
故选：C．
7．A
【分析】由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．
【详解】解：如图，过O作OG⊥AB于G，连接OC、OM，
∵DE＝6，∠ACB＝90°，OD＝OE，
∴OC＝DE＝3，
∵OM＝3，
∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，
∴只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，
过C作CF⊥AB于F，
∴G和F重合时，MN有最大值，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
∵AC BC＝AB CF，
∴CF＝，
∴OG＝CF OC＝，
∴MG＝＝，
∴MN＝2MG＝
故选:A
【点睛】本题考查了勾股定理，垂线段最短，垂径定理等知识，正确作出辅助线，得出C、O、G三点在一条直线上OG最小是解题的关键．
8．A
【分析】本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，勾股定理等知识，作于，连接，可得，，设，则，，，即可根据求出，再利用勾股定理得，从而解决问题．
【详解】解：作于，连接，则，
∵，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得，
∴，
∴
故选：A．
9．D
【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点，
C点是AB的中点，即AC=BC==6；
并且OC⊥AB，在中，
由勾股定理得，
所以；AO=8cm，
所以，
所以OC=
故选：
【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容.
10．D
【详解】到点M的距离为定值的点在以M为圆心，以5为半径的圆上，圆与x轴的交点即为所求点．
解：该点与M点的距离是5，则这点就是以M点为圆心，以5为半径的圆与x轴的交点，如图：过M作x轴的垂线，垂足是N，则ON=3，MN=4．根据勾股定理就可以求得OM=5，则O就是圆与x轴的一个交点，则O坐标是（0，0）；设另一个交点是A，MN⊥OA，则本题满足垂径定理，AN=ON=3．
∴点A的坐标是（6，0）．故选D．
11．D
【分析】连接，利用垂径定理求出的长，设圆的半径为，用含的代数式表示出的长，然后利用勾股定理建立关于的方程，解方程求出的值，然后求出圆的半径．
【详解】解：连接，
∵为的直径，，
∴，
设圆的半径为，则
∴
∴
解之：．
∴圆的直径为．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用：利用垂径定理和勾股定理列方程，使用代数方法解决几何问题．
12．A
【分析】首先作好辅助线，利用翻折性质得出△OBF为等边三角形，进而得出OB，再利用过直径的三角形是直角三角形得出OE=EB=，进而即可得解.
【详解】当BD过圆心时最大，连接OA，作OE⊥AB，还原劣弧，设与点O对应的点为F，连接FB、FC、OF，OF交BC于G，如图所示：
由翻折的性质，得
OB=BF，∠OBC=∠FBC
∵翻折后刚好经过圆心
∴OB=OF
∴△OBF为等边三角形，即∠OBC=30°
∵OF⊥BC
∴
∵
∴BG=CG=1.5
∴
∵，OE⊥AB，OA=OB
∴∠ABD=∠ADB=45°
∴OE=EB=
∴
故选：A.
【点睛】此题主要考查折叠的性质以及圆性质的综合应用，解题关键是作辅助线，利用特殊角三角函数进行求解.
13．8
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理．
利用垂径定理得出，利用勾股定理得出长度，即可得到答案．
【详解】解：
如图所示，根据垂径定理可得：
在中，由勾股定理得：
故答案为：8．
14．
【分析】本题主要考查了折叠性质，垂径定理，勾股定理，先根据折叠得出，，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，根据三角形的面积求出结果即可．
【详解】解：如图，连接，由折叠的性质知：
，，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理，得：
，
∴，
∴．

故答案为：．
15．48
【分析】根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案：
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OC．
∵∠A=42°，
∴∠ACO=∠A=42°．
∵D为AC的中点，
∴OD⊥AC．
∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．
故答案为：48．
16．/
【分析】延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，则是等边三角形，再确定点C在以E为圆心，为半径的圆上，则的最小值为，再求解即可．
【详解】解：如图，延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点C在以E为圆心，为半径的圆上，
在中，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三角形的勾股定理，根据定角定弦确定点C的轨迹是解题的关键．
17． 3 12
【分析】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．
【详解】解：过C作直径UL∥x轴，
连接CA，则AC=×10=5，
∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB=8，
∴AO=BO=4，∠AOC=90°，
由勾股定理得：CO= =3，
∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，
即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），
同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，
Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），
即共12个点，
故答案为：3；12．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键．
18．（1）⊙O的半径为8cm；（2）木块的表面积为（384＋400）πcm2．
【分析】（1）根据弧AMD的长为底面周长的，可将扇形的圆心角求出，再根据弦AD的长可将⊙O的半径求出；
（2）圆柱形木块的表面积S=2S圆＋S侧，将上下两个圆的面积和侧面的面积求出，相加即可．
【详解】（1）如图，连接OA，OD，过O作OE⊥AD，垂足为E，
因为弧AMD的长为底面周长的，所以扇形AMD的圆心角为360°×＝240°．
∠AOD＝360°﹣240°＝120°．
因为OE⊥AD，所以∠AOE＝×120°＝60°，AE＝AD．
因为AD＝24cm，所以AE＝12cm．在Rt△AOE中，sin∠AOE＝，
所以AO＝，即⊙O的半径为8cm．
（2）设圆柱的表面积为S，则S＝2S圆＋S侧，2 S圆＝2π×（8）2＝384π（cm2），
S侧＝2π×8×25＝400π（cm2），
所以S＝（384＋400）πcm2
答：木块的表面积为（384＋400）πcm2．
【点睛】考查圆柱的计算，解直角三角形，熟练掌握垂径定理以及锐角三角函数是解题的关键.
19．(1)的度数是；
(2)圆的半径长为．
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
（1）根据垂径定理可得，从而可得，即可解答；
（2）根据垂径定理可得，然后设圆的半径长为，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】（1）解：是圆的一条弦，，
，
，
的度数是；
（2）解：是圆的一条弦，，
，
设圆的半径长为，
在中，，
，
，
∴圆的半径长为．
20．A(-1,10)，B(9,0)，C(0,3)，D(0,-3)
【分析】先根据点P的坐标为（3，0），⊙P的半径为5结合勾股定理可得点C、点D的坐标，再根据⊙P的半径为5可得AO、PB的长，即可求得点A、点B的坐标.
【详解】解：∵点P的坐标为（3，0），⊙P的半径为5
∴OP=3，CO=DO=4
∴点C的坐标为（4，0），点D的坐标为（-4，0）
∵⊙P的半径为5
∴AO=2，PB=5
∴点A的坐标为（-2，0），OB=8
∴点B的坐标为（8，0）.
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理以及点的坐标，本题知识点多，综合性强，在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需熟练掌握．
21．2
【分析】由于，而是直径，根据垂径定理易求，再根据勾股定理可求，进而可求．
【详解】解：为直径，，
，
在中，，
，
故．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是先求出．
22．(1)8 (2)
【分析】(1)连接，根据垂径定理求出的长，因为，进而在中根据勾股定理求出长，所以求出的长即可;
(2) 连接,过点D作于点M，根据勾股定理和垂径定理求出，可以证明,进而求出的长，根据所做的辅助线，可得为等腰直角三角形，所以可以求出的长，然后根据，进而求出的长；
【详解】解：(1) 连接，根据垂径定理求出的长，
即：,
,
设，则，
由勾股定理得：
,
即：，
解得：,
;
(2)连接,过点D作于点M，如图所示：
，
在中根据勾股定理可得：
,
,
，
而,
,
又 在和中，
,
,
,
,
,
,
,
为等腰直角三角形，
,
把代入到中，
解得：.
【点睛】本题考查圆的知识点，要善于利用勾股定理和垂径定理去解题，善于构造辅助线去根据面积相等去解题，最后代入求值.
23．．
【分析】过点作于点，由勾股定理求出的长，根据等面积法即可求出的长，再根据勾股定理可求出的长，最后通过垂径定理即可求解．
【详解】解：过点作于点，

∵，
∴，
∵，
∴．
在中，由勾股定理得：，
∵为圆心，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，等面积法求三角形的高，解题的关键是熟练掌握以上知识的灵活运用．
24．.
【分析】因为圆柱形油槽装入油后形成弓形，可以考虑用垂径定理解答．
【详解】解：连接OA，故OC⊥AB于点D，由垂径定理知，点D为AB的中点，AB=2AD，∵OA=25cm，∴OD=OC﹣CD=25﹣15=10（cm），由勾股定理知，AD===（cm），故油面宽度AB=cm．
【点睛】考查了垂径定理和勾股定理在实际生活中的应用．解题关键：在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．
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