3.4圆周角和圆心角的关系达标练习（含解析）北师大版数学九年级下册

中小学教育资源及组卷应用平台
3.4圆周角和圆心角的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图形，一定有外接圆的是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形
2．如图，四边形是的内接四边形，连接，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，已知是直径，是弦，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的两条弦，于点D，于点E，连结，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损的圆形瓷盘的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点P、Q，量得，，则该圆形瓷盘的半径是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是正五边形的外接圆，若P为上的一点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，经过原点O，并与两坐标轴相交于A，D两点，已知，点D的坐标为，则圆心C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，B、C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F两点，与线段AC交于D点．若∠BFC=20°，则∠DBC=（　　）
A．30° B．29° C．28° D．20°
9．如图，是的直径，分别与相交于点D，E，连接，现给出两个命题：
①若，则；
②若，记的面积为，四边形的面积为，则，那么( )
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①是假命题，②是假命题 D．①是真命题，②是真命题
10．如图，在中为直径，点为弧的中点，点在弧上，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内⊙C上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为（　　）
A．6 B．5 C．3 D．
12．如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（　　）
A．110° B．112.5° C．115° D．117.5°
二、填空题
13．如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AB是⊙O的直径，则∠A+∠B+∠D度数为 ．
14．如图，是的直径，，是的两条弦，且，则所对的圆周角为 ．
15．如图，在中，是等边三角形，是直径，则 度, 度
16．如图,AB是⊙O的直径,弧BC=弧BD,∠A=25°,则∠BOD的度数为 .
17．在矩形中，，，若点P是矩形上一动点，要使得，则的长为 ．
三、解答题
18．为什么有些电影院的座位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．
19．如图，四边形内接于，求证：是等边三角形．
20．如图①，在中，弦垂直直径于点．已知，．
（1）求直径的长．
（2）小慧说“若将题目条件中的‘直径’改为‘弦’，其余条件均不变（如图②），的直径仍不变”，你觉得小慧的说法正确吗？请说明理由．
21．如图，圆内接四边形的对角线交于点E，平分，．
(1)求证：为圆的直径；
(2)过点C作交的延长线于点F，若，求此圆半径的长．
22．如图，在⊙O的内接△ABC中，AB＝AC，直径AD交BC于点E，连接CD．
(1)求证：△ACE∽△CDE．
(2)若AE＝BC，AD＝10，求AC的长．
23．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB=6，∠CAB=30°
求：（1）求∠ADC的度数；
（2）如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上，连接AD，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，延长DC、BE交于点F．求证：
（1）DB＝DF；
（2）四边形AEFD是平行四边形．
《3.4圆周角和圆心角的关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A B B C C A D C
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】此题主要考查了四边形与三角形有外接圆的性质．注意抓住四边形必须对角互补才有外接圆是解决问题的关键．
根据圆内接四边形对角互补的性质可得∶有外接圆的四边形必须对角互补，即可得出答案．
【详解】解∶根据有四边形外接圆的性质，四边形必须对角互补，
矩形的四个角都是直角，对角互补，一定有外接圆，
故选∶D．
2．A
【分析】本题考查圆周角定理、平行线的性质，熟知圆周角定理是解答的关键．先根据圆周角定理求得，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
3．A
【分析】根据是的直径，可得，再由圆周角定理可得，即可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
4．B
【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC=50°，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，进而可以得到答案．
【详解】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO=90°，∠AEO=90°，
∵∠DOE=130°，
∴∠BAC=360°-90°-90°-130°=50°，
∴∠BOC=2∠BAC=100°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．B
【分析】该题考查了圆周角定理和勾股定理，如图，连接，根据圆周角定理可以判定是直径，所以根据勾股定理求得直径，然后再来求半径即可．
【详解】解：连接，
∵，
为圆形瓷盘的直径，
∴，
半径为 ．
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查正多边形的性质，圆周角定理，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
根据正五边形的性质求出中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是正五边形的外接圆，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
7．C
【分析】根据直角坐标系的两坐标轴的垂直关系，连接AD，可证AD为直径；将已知圆周角∠OBA转化，即∠D=∠OBA=30°，在Rt△OAD中，根据勾股定理计算即可求解．
【详解】如图所示：
连接AD，OC， ∵∠DOA=90°，
所以AD为直径，即点C在AD上，
由圆周角定理，得∠D=∠OBA=30°，则∠CAO=60°，
又因为OC=CA，
所以三角形OAC为等边三角形，
所以OA=OC=，
在Rt△OAD中，OD=2，根据勾股定理得：
AD=， 即圆的半径为．
点C为AD的中点，
所以圆心C的坐标为（，1），
故选C.
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，以及坐标与图形，解决本题的关键是要正确添加辅助线AD的，将已知条件集中到Rt△OAD中解直角三角形．
8．A
【详解】解：∵∠BFC=20°，
∴∠BAC=2∠BFC=40°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-40°）÷2=70°．
又EF是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=40°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．
故选：A．
9．D
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，根据等腰三角形的判定判断①；根据相似三角形的面积比等于相似比的平方判断②．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
∴；
故①正确，为真命题；
连接，
是的直径，
∴，
又，
∴，
∵四边形内接于，
∴，，
∴，
∴，
∵的面积为，四边形的面积为，
∴，
故②正确，为真命题
故选D．
【点睛】本题主要考查了命题与定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质；相似三角形的判定和性质．根据判定定理以及性质是解题的关键．
10．C
【分析】过C作直径CE，连接DE、CD，过C点作CF⊥AD于F，在Rt△CDE中，求得CD的长，在Rt△ACF中，求得CF、AF 的长，再在Rt△CDF中，求得DF的长，从而求得AD的长．
【详解】过C作直径CE，连接DE、CD，
∵CE为直径，= ，
∴∠CDE=90，∠CAD=∠E，
∴，
∴，
∵点C为的中点，
∴OC⊥AB，即∠AOC=90，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴AC=，
过C点作CF⊥AD于F，
在Rt△ACF中，
∴，
∴CF=，
AF=，
在Rt△CDF中，CF，，
∴DF=，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角函数等知识，作出辅助线利用圆周角定理得到是解题的关键．
11．C
【详解】∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴∠BAM+∠OAM=∠BOM+∠OBM=180°﹣120°=60°，
∴∠BAO=60°，
∵点A的坐标为（0，3），
∴AO=3，
∴cos∠BAO=，
∴AB==6，
∴⊙C的半径为3，
故选：C．
12．B
【分析】如图，取 中点，连接，连接，由题意知，且在一条直线上，，，知，根据圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理等可求，，，，，的值，进而求解的值．
【详解】解：如图，取 中点，连接，连接
由题意知，且在一条直线上，，
∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故选B．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角，等边对等角，三角形内角和定理，折叠性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
13．90°
【分析】根据圆周角的定理解答即可.
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴=的度数是180 ，
∴∠A+∠B+∠D=90 .
故答案为90 .
【点睛】本题主要考查了圆周角的定理.
14．90
【分析】连接，根据圆周角定理可知∠ABC＝90°，则有∠A＋∠ACB＝90°，根据平行线的性质可得∠A＝∠ACD，等量代换可得∠ACD＋∠ACB＝90°，继而即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴所对的圆周角为，
故答案为：90．
【点睛】本题考查圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，也涉及到平行线的性质，解题的关键是利用所学知识求得∠ACD＋∠ACB＝90°．
15． 60 90
【详解】解：根据等边三角形的性质可知：，
根据同弧所对的圆周角相等可得：；
根据直径所对的圆周角为直角可得：；
故答案为：60，90．
16．50°
【分析】连接OC，先由圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据等弧所对的圆周角相等即可得出结论．
【详解】连接OC，
∵∠A＝25°，
∴∠BOC=2∠A=50°；
∵= ，
∴∠BOD=∠BOC=50°．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论，熟记并灵活应用这些知识点是解答本题的关键．
17．或4或8．
【分析】取CD中点P1，连接AP1，BP1，由勾股定理可求AP1＝BP1＝4，即可证△AP1B是等边三角形，可得∠AP1B＝60°，过点A，点P1，点B作圆与AD，BC各有一个交点，即这样的P点一共3个．再运用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，取CD中点P1，连接AP1，BP1，如图1，
∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠D＝∠C＝90°
∵点P1是CD中点
∴CP＝DP1＝2
∴AP1＝＝4，
BP1＝＝4
∴AP1＝P1B＝AB
∴△APB是等边三角形
∴∠AP1B＝60°，
过点A，点P1，点B作圆与AD，BC的相交，
∴这样的P点一共有3个
当点P2在AD上时，如图2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
∵
∴
即
在中，
∴
∴；
当点P3在BC上时，如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°
∵∠
∴∠
∴
在中，
∴
综上所述，AP的长为：或4或8．
故答案为：或4或8．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
18．见解析
【分析】根据题意画出示意图，其中BC表示电影幕的宽，G、I分别为圆弧形排列的座位中的任意两个，根据图形可知∠BGC、∠BJC分别为两个座位的视角，由此结合圆周角定理的推论求解即可．
【详解】根据题意画出图形，BC表示电影幕的宽，
由同弧所对圆周角相等可知∠BGC=∠BJC，即同排的观众视角相等．
【点睛】本题是圆周角定理的推论在实际问题中的应用，解题的关键是要理解在同排的观众视角需相同．
19．见解析
【分析】由圆内接四边形的性质得到，再由，得到，根据等边三角形的判定可得到结论．
【详解】证明：∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，弧与弦的关系，等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形的性质，等边三角形的判定是解决问题的关键．
20．（1）；（2）小慧的说法正确，见解析
【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理即可求出AB的长；
（2）根据垂径定理的条件即可作出判断．
【详解】解：（1）连接AD，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵弦CD垂直直径AB于点E，
∴由垂径定理可知：AD=AC=4，
在Rt△ADB中，AB=；
（2）小慧的说法正确；
理由如下：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，如图所示：
∵AF为直径，
∴∠ACF=90°，即∠ACD+∠FCD=90°，
又∵AB⊥CD，
∴∠EBD+∠BDE=90°，
而∠DBE=∠ACD，
∴∠FCD=∠BDE，
∴，
∴，
∴CF=BD=2，
在Rt△ACF中，AF=；，
∴⊙O的直径仍不变．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及垂径定理，熟练掌握基本性质结合图形认真思考，仔细推敲，细心运算是解题关键．
21．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）由圆内接四边形性质得，由及同弧对的圆周角相等得，即平分，再结合已知即可得，问题得证；
（2）由题意得是等边三角形，则得；再由平行得，利用含30度直角三角形的性质可分别求得，从而可求得半径．
【详解】（1）证明：∵四边形是圆内接四边形，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
即平分，
∴；
∵平分，
∴，
∴，
∴，
即是圆的直径；
（2）解：∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴圆的半径为．
【点睛】本题考查了圆内接四边形性质，同弧或等弧对的圆周角相等，直角对的弦为直径，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度直角三角形性质等知识，掌握这些知识是关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由AB＝AC可得∠B＝∠ACB，，再根据同弧所对的圆周角相等，可得∠B＝∠D＝∠ACB，再根据圆周角定理的推论，即可得出结论；
（2）根据垂径定理的推论可得BE＝CE，AD⊥BC，故AE＝BC＝2CE，再结合相似三角形的性质，以及勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，，
∴∠ACB＝∠B＝∠D．
又AD是⊙O的直径，
∴，
∴∠BCD＝∠BAD＝∠DAC．
∴△ACE△CDE．
（2）解：∵，
∴∠BAE＝∠EAC，
又∵AB＝AC，
∴BE＝CE，AD⊥BC，
∴AE＝BC＝2CE，
∵△ACE△CDE，
∴．
∴AE＝4DE．
∵AD＝10，
∴AE＝8，DE＝2，
∴BC＝AE＝8，CE＝4，
∴AC＝．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论、垂径定理的推论、相似三角形的性质与判定，以及勾股定理．
23．（1） ∠ADC=60°；（2）OE =．
【分析】（1）由AB是 O的直径，根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，在Rt△ABC中，理由∠B的余弦可求出∠B=60°，然后根据圆周角定理得到∠ADC=60°；
（2）由于OE⊥AC，根据垂径定理得到AE=CE，则OE为△ABC的中位线，所以OE=BC=．
【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=6，BC=3，
∴∠B=60°，
∴∠ADC=60°；
（2）∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴OE为△ABC的中位线，
∵AB=6，∠CAB=30°，
∴BC=3∴OE=BC=．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和锐角三角函数.
24．（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）先证∠DBE=∠ACB，结合∠BDC=∠BAC，可得，进而即可得到答案；
（2）先证∠F=∠ACB，结合∠AEB=∠ACB，可得AE∥DF，进而即可得到结论．
【详解】解：（1）∵AD∥BE，
∴∠ADB=∠DBE，
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠DBE=∠ACB，
∵∠BDC=∠BAC，
∴，
∵AB＝AC，
∴DB＝DF；
（2）∵DB＝DF， AB＝AC，，
∠F=∠ACB，
∵∠AEB=∠ACB，
∴∠F=∠AEB，
∴AE∥DF，
又∵BE∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定定理，掌握弧，弦，圆周角之间的等量关系是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)