3.6直线和圆的位置关系达标练习（含解析）北师大版数学九年级下册

中小学教育资源及组卷应用平台
3.6直线和圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为，则的半径可能为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
2．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°.连结AC，则∠A的度数是( )
A．15° B．30° C．35° D．45°
3．如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的切线，切点为，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，PA、PB分别与相切于A、B，，C为上一点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，点在线段上（不与、重合），若为的内心，则不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在Rt中，OA＝OB＝4，⊙O的半径为2， 点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．2
9．已知等边三角形的边长为，以点A为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．外离
10．如图，是的外接圆，且为的直径，点E为的内心，的延长线交于点F，连接．若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
11．已知和直线相交，圆心到直线的距离为10cm，则⊙O的半径可能为（　　）．
A．10cm B．6cm C．12cm D．以上都不对
12．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（　　）
A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
13．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C．若∠BCD＝50°，则∠ABC的大小为 °．
14．如图，于点O，，的半径是2，将绕点O按顺时针方向旋转，当与相切时，旋转的角度为 ．
15．已知，是射线上的一点，且．若以为圆心，为半径的圆与射线有两个不同的交点，则的取值范围是 ．

16．如图，CA⊥AB，DB⊥AB，已知AC=2，AB=6，点P射线BD上一动点，以CP为直径作⊙O，点P运动时，若⊙O与线段AB有公共点，则BP最大值为 ．
17．如图所示，两个同心圆的半径之比为，是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切，若，则 ．
三、解答题
18．圆的直径是，如果圆心与直线的距离分别是：
（1）；（2）；（3）．
那么直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？
19．如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长，相交于点，的平分线交于点．
(1)求证：．
(2)求证：．
20．在中，，O是上的一点，，⊙的半径为r，当r与m满足怎样的关系时，
（1）与⊙相交？
（2）与⊙相切？
（3）与⊙相离？
21．如图，是的直径，是的弦，于点，交于，与过点的直线交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
22．如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
23．如图，在中，，是的内切圆，连接交于点D，延长交于点E，则E为与的切点．
当时，；
当时，；
当时，；
……
(1)根据题中规律可得，当时，__________；
(2)猜想：当（是大于的自然数）时，请用含的代数式表示，并给出证明过程．
24．如图，的半径为，是的两条弦， ，．以点为圆心作一个圆与相切，则这个圆的半径是多少？它与具有怎样的位置关系？为什么？
《3.6直线和圆的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D A B B A A A B
题号 11 12
答案 C A
1．A
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判断直线和圆的位置关系的方法：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l与相交，则；直线l与相切，则；直线l与相离，则，根据上述方法即可求解．
【详解】直线l与相离，
，
又圆心O到直线l的距离为，
，
故选：A．
2．C
【分析】首先连接OC，由BD、CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°，利用四边形内角和定理，即可求得∠BOC的度数，再利用圆周角定理，即可求得答案．
【详解】
连接OC，
∵BD、CD分别是过⊙O上点B，C的切线，
∴OC⊥CD，OB⊥BD，
∴∠OCD=∠OBD=90，
∵∠BDC=110，
∴∠BOC=360 ∠OCD ∠BDC ∠OBD=70，
∴∠A=∠BOC=35.
故选C.
【点睛】本题考查切线的性质.
3．D
【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案．
【详解】解：A、∵，
∴，
当时，则，即，
∴切于点C，该选项正确，不符合题意；
B、∵，
∴，则，
∵，
∴，
当时，则，即，
∴切于点C，该选项正确，不符合题意；
C、当时，，
∵，
∴，
∴，即，
∴切于点C，该选项正确，不符合题意；
D、当时，由得到，
∴是等腰三角形，无法确定，
∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键．
4．A
【分析】首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC的度数，进而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．
【详解】如图，连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COE=∠A+∠OCA=60°，
∴∠E=180°-90°-60°=30°，
∴sinE=sin30°=.
故选A.
5．B
【分析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质，根据切线垂直于经过切点的半径，可得：，根据直角三角形的两个锐角互余可得：，又因为，可以求出的度数．
【详解】解：是的切线，
，
，
，
．
故选：B．
6．B
【分析】由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角定理可求∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
【详解】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°，
∴∠ADB=65°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-65°=115°．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA、OB，求出∠AOB．
7．A
【分析】根据三角形的内心定义和三角形内角和定理得∠AOC=160 -∠OAC=160 ﹣∠DAC，由∠DAC的变化范围得到∠AOC的变化范围即可解答．
【详解】∵中，，
∴∠BAC=180 ﹣∠B﹣∠C=100 ，
∵为的内心，
∴∠OAC=∠DAC，∠ACO=∠ACB=20 ，
∴∠AOC=180 ﹣∠OAC﹣∠ACO=160 ﹣∠DAC，
∵点在线段上（不与、重合），
∴0 ﹤∠DAC﹤100 ，即0 ﹤∠DAC﹤50 ，
∴110 ﹤∠AOC﹤160 ，
故∠AOC不可能是100 ，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的内心定义，解答的关键是理解三角形的内心定义，确定∠DAC的变化范围．
8．A
【分析】首先连接OQ，根据勾股定理知PQ2=OP2OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【详解】解：连接OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=4，
∴AB=OA=8，
∴OP=，
∴PQ=．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．
9．A
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系：圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交．过点A作于点D，根据等腰三角形三线合一求得的值，再利用勾股定理可求得的长，把与圆的半径比较大小，根据直线与圆的位置关系即可求解．
【详解】过点A作于点D，
根据等腰三角形三线合一得：，
根据勾股定理得：，
∴，
以长为半径作，则与的位置关系是相交，
故选：A．
10．B
【分析】连接交于点G，作于点H，证明，得到，，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用等积法得到，即可得到答案．
【详解】解：连接交于点G，作于点H，
∵点E为的内心，
∴，，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴
∵
∴，
∵，，
∴，
∴
故选：B
【点睛】此题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论是解题的关键．
11．C
【分析】若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．
【详解】解：和直线相交，
cm，
cm，
只有选项符合条件，
故选：C．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是熟悉直线和圆的位置关系与数量之间的联系：，直线和圆相交；，直线和圆相切；，直线和圆相离．
12．A
【分析】连接BD、OC、AG、AC，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，求出∠ABC=∠ABD，从而有弧AC=弧AD，由垂径定理的推论即可判断①的正误；
由CD⊥PB可得到∠P+∠PCD=90°，结合∠P=∠DCO、等边对等角的知识等量代换可得到∠PCO=90°，据此可判断②的正误；假设OD∥GF成立，则可得到∠ABC=30°，判断由已知条件能否得到∠ABC的度数即可判断③的正误；求出CF=AG，根据垂径定理和三角形中位线的知识可得到CQ=OZ，通过证明△OCQ≌△BOZ可得到OQ=BZ，结合垂径定理即可判断④.
【详解】连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，
∵OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB，
∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，
∵∠AOD=2∠ABC，
∴∠ABC=∠ABD，
∴弧AC=弧AD，
∵AB是直径，
∴CD⊥AB，
∴①正确；
∵CD⊥AB，
∴∠P+∠PCD=90°，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC=∠P，
∴∠PCD+∠OCD=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是切线，∴②正确；
假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC，
∴3∠ABC=90°，
∴∠ABC=30°，
已知没有给出∠B=30°，∴③错误；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵EF⊥BC，
∴AC∥EF，
∴弧CF=弧AG，
∴AG=CF，
∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，
∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG，
∴OZ=CQ，
∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，
∴△OCQ≌△BOZ，
∴OQ=BZ=BG，
∴④正确．
故选A．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理及其推论，切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质.解答本题的关键是熟练掌握圆的有关知识点.
13．40
【分析】直接利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出答案．
【详解】解：连接CO，
∵CD切⊙O于点C，
∴CO⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠BCD=50°，
∴∠OCB=90°-50°=40°，
∵CO=BO，
∴∠ABC=∠OCB=40°．
故答案为：40．
【点睛】此题主要考查了切线的性质，正确得出∠OCB的度数是解题关键．
14．或
【分析】分两种情况求解：当与相切于C点时和当与相切于D点时，作图求解即可．
【详解】解：当与相切于C点时
如图，连结，则
∵，，
∴
∴
当与相切于D点时，如图，同样可得到
∴
∴当与相切时，旋转的角度为或
故答案为：或．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和相交 ；直线l和相切 ；直线l和相离 ．
15．
【分析】根据直线与圆的位置关系及直角三角形的性质解答．若,则直线与圆相交;若,则直线于圆相切;若,则直线与圆相离．
【详解】解：由图可知，的取值范围在半径和之间．

在直角三角形中，，，
则；
则的取值范围是，
故答案为．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系以及直角三角形的性质，解答本题的关键是要画出图形,利用数形结合可轻松解答，注意:当等于半径时,有一个交点,故>
16．．
【详解】试题分析：首先判断当AB与⊙O相切时，PB的值最大，设AB与⊙O相切于E，连接OE，则OE⊥AB，过点C作CF⊥PB于F，由CA⊥AB，DB⊥AB，得到AC∥OE∥PB，四边形ABPC是矩形，证得CF=AB=6，在直角三角形PCF中，由勾股定理列方程求解．
试题解析：当AB与⊙O相切时，PB的值最大，
如图，设AB与⊙O相切于E，连接OE，则OE⊥AB，
过点C作CF⊥PB于F，
∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴AC∥OE∥PB，
四边形ABPC是矩形，
∴CF=AB=6，
∵CO=OP，
∴AE=BE，
设PB=x，则PC=2OE=2+x，PF=x-2，
∴（x+2）2=（x-2）2+62，
解得；x=，
∴BP最大值为：．
考点：直线与圆的位置关系．
17．
【分析】设弦与小圆相切于点，连接，，为大圆的直径，，故为的中位线；，即可知，两个同心圆的半径之比为，可求得大圆半径，再由勾股定理可求得的长．
【详解】解：设点是与小圆相切的切点，
∵为大圆的直径，
∴，
∵大圆的弦BC与小圆相切，
∴，
∵，过圆心，
∴为的中点，
∵为的中点，
∴，
∴为的中位线，
∵，
∴，
∵两个同心圆的半径之比为，
∴大圆的半径为，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质及垂径定理的应用，解决本题的关键是掌握切线的性质．
18．（1）相交，两个；（2）相切，一个；（3）相离，无
【分析】直线和圆的位置关系：
① 相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；② 相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；③ 相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．
【详解】解：圆的半径为＝6.5（cm）．
（1）∵6.5 cm＞4.5 cm，∴直线与圆相交，有两个公共点．
（2）∵6.5cm ＝6.5cm，∴直线与圆相切，有一个公共点．
（3）∵8cm＞6.5 cm，∴直线与圆相离，无公共点．
【点睛】考核知识点：直线与圆的位置关系．理解直线与圆的位置关系的条件是关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形内心的性质得，再利用圆内接四边形的性质得，则，从而得到，则可判断；
（2）根据三角形内心的性质得，然后证明得到．
【详解】（1）证明：∵点是的内心，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵点是的内心，
∴，
∵，
即，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、三角形的外心、圆周角定理、圆内接四边形等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．注意数形结合思想的应用．
20．（1）；（2）；（3）
【分析】根据圆心到直线的距离与半径r的大小关系解答即可．若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离．
【详解】解：如图，过点O作于，
，，
，
，
∴，
∴，
∴（1）当时，与相交；
（2）当时，与相切；
（3）当时，与相离．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟练掌握圆心到直线的距离与半径r的大小关系来确定直线与圆的位置关系是解决本题的关键．
21．(1)详见解析；
(2)．
【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边对等角等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由等腰三角形的性质，对顶角的性质得出，，由垂线的性质得出，进而得出，即可证明是的切线；
（）先由勾股定理求出，再证明，由相似三角形的性质即可求出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是直径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为，
∴，，
∵，，
∴8，
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
22．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据，可得，根据对顶角相等可得，进而可得，根据，可得，结合，根据角度的转化可得，进而即可证明是的切线；
（2）根据，可得，设，则，分别求得，进而根据勾股定理列出方程解方程可得，进而根据即可求得．
【详解】（1），
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
是的切线；
（2），
，
，
设，则，
，，
在中，，
即，
解得（舍去），
．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键．
23．(1)；
(2)，证明详见解析．
【分析】本题考查了余弦的定义，切线的性质，图形类规律探究；
（1）根据题中的规律，直接写出的值；
（2）过点作于点．根据是的内切圆，分别求得的长，进而根据，余弦的定义，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，当时，
故答案为：．
（2）．
证明：如图，过点作于点．
∵，
∴设，则，
∴．
∵是的内切圆，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
24．所作的圆的半径是,所作的圆与相交，理由见解析．
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，垂径定理，勾股定理，过点作于点，作于点，连结，由垂径定理可得， ，，由勾股定理可得，，进而由即可判断所作圆与的位置，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点，作于点，连结，
则， ，，
由勾股定理得，
，
∴所作的圆的半径是．
∵，
∴所作的圆与相交．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)