第六章一次方程组达标练习（含解析） 华东师大版数学七年级下册
文档属性
| 名称 | 第六章一次方程组达标练习（含解析） 华东师大版数学七年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 749.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-03 00:00:00 | ||
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文档简介
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第六章一次方程组
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是方程的解，则k的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
2．已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
3．一个笼中装有鸭和猫，它们共有8个头，22只脚，求笼中鸭、猫各有多少只．如果设有只鸭，只猫，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在两个长、宽都分别为、的大长方形中，有若干个形状、大小完全相同的小长方形，拼成了“南开”两字，则每个小长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．甲、乙两根绳共长17米，如果甲绳减去它的，乙绳增加1米，那么两根绳长相等，若设甲绳长x米，乙绳长y米，则可列方程组为（）
A． B． C． D．
7．代数式是二次三项式，则m，n的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．已知二元一次方程组，下面说法正确的是（ ）
A．同时满足方程①和方程②的x，y的值是方程组的解
B．满足方程①的x，y的值是方程组的解
C．满足方程②的x，y的值是方程组的解
D．满足方程①或方程②的x，y的值一定是方程组的解
9．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如果是方程的一组解，那么代数式的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
11．已知关于x，y的方程组的解满足x＋y＝0，则a等于（ ）
A．1 B．0 C．－1 D．－2
12．已知，，同时满足，，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
二、填空题
13．若是方程的一个解，那么 ．
14．某天小雅问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁了，哈哈！”小雅的年龄是 岁
15．一个两位数的各位数字之和是，十位数字与各位数字互换后，所得新数比原数小，则原来的两位数是 ．
16．小李去文具店购买、、三种学习用品各一种，已知一件学习用品比一件学习用品贵4元，一件学习用品比一件学习用品贵3元，那么一件学习用品比一件学习用品贵 元．
17．某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为 ．
三、解答题
18．解下列方程组：
(1)
(2)
19．解方程组由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单．，得，所以③，，得④，，得，从而得，所以原方程组的解为．
(1)请运用上述方法解方程组：；
(2)请直接写出关于、的方程组（，是常数，）的解：______．
20．甲、乙两人共同解方程组,由于甲看错了方程①中的,得到方程组的解为乙看错了方程②中的,得到方程组的解为试计算的值.
21．【阅读材料】小颖同学遇到下列问题
解方程组
她发现如果用代入消元法，会出现分数运算：如果用加减消元法，系数会变大这两种方法，在运算中都容易出错她再仔细观察，发现如果将两个方程相加时两个未知数的系数相等，将两个方程相减时两个未知数的系数互为相反数．她试着给出了以下解题过程：
解：①+②，得，化简得： ③
①－②，得，化简得： ④
③+④，得，解得
③－④，得，解得
所以原方程组的解为
如果一个方程组中，两个方程相加时两个未知数的系数相等，两个方程相减时两个未知数的系数互为相反数：或者两个方程相加时两个未知数的系数互为相反数，两个方程相减时两个未知数的系数相等，那么我们称这样的二元一次方程组为“系数友好方程组”，称小颖的解法为“循环加减法”．
【解决问题】
(1)方程组__________（填“是”或“不是”）“系数友好方程组”
(2)如果（1）中的方程组是“系数友好方程组”，请用“循环加减法”解该方程组．如果不是，请选择适当的方法解该方程组．
22．已知关于，的方程组，为常数．
(1)求用含的式子表示；
(2)若，，求的值．
23．冬季来临，某电器店开始销售A、B两种型号的取暖器，A型取暖器每台元，B型取暖器每台元．若两周内共销售台，这两周的销售额为元，A、B两种型号的取暖器分别销售了多少台？（请用二元一次方程组的知识解答）
24．解方程组：
(1)；
(2)．
《第六章一次方程组》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C A A B A D A
题号 11 12
答案 C C
1．C
【分析】本题考查二元一次方程组的解求参数，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．有解必代是解决此类题目的基本思路．
把代入是方程得到关于k的方程求解即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：．
故选：C．
2．C
【分析】由整体换元思想可得，求出x，y的值即可．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴方程组的解满足关系式，
解得，，
故选：C
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解答此题的关键．
3．A
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际可知，鸭有两条腿，猫有四条腿，再根据有若干只鸭和猫关在同一笼子里，它们一共有8个头，22只脚，即可列出相应的方程组．
解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
【详解】解：设有只鸭，只猫，
由题意可得，
，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查二元一次方程组的几何应用，设每个小长方形的长为，宽为，根据图形间的关系列方程组求解即可．
【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为，
由题意得，
解得
则每个小长方形的面积为．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配套，则生产的螺帽的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺帽数量．
等量关系为：生产螺栓的工人数+生产螺帽的工人数=90；螺栓总数×2=螺帽总数，把相关数值代入即可．
【详解】解：设生产螺栓x人，生产螺帽人，
根据总人数可得方程；
根据生产的零件个数可得方程，
可得方程组：．
故选A．
6．A
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，以两绳长和什么时候相等作为等量关系列方程组求解．若设甲绳长米，乙绳长米，根据甲、乙两根绳共长17米，如果甲绳剪去它的，乙绳增加1米，两根绳长相等，可列方程组．
【详解】解：设甲绳长米，乙绳长米，
故选：A．
7．B
【分析】本题主要考查了二次三项式的定义，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二次三项式的定义．
根据二次三项式的定义列出方程，然后解方程组即可．
【详解】解：根据题意得，，，
由②式得，代入①中得，
整理得，
解得，
∴，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，解题的关键是掌握方程组概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
根据二元一次方程组的解的概念对各选项进行判断，找出正确的一项，问题即可得解．
【详解】解：根据二元一次方程组的解的概念可知，同时适合方程①和方程②的x，y的值是方程组的解，故A正确，B、C、D错误．
故选：A．
9．D
【分析】本题考查二元一次方程组的定义：方程组需含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知项的最高次数为，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可.
【详解】解：A选项：方程组中含有三个未知数，
不是二元一次方程组，
故A选项不符合题意；
B选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是，
不是二元一次方程组，
故B选项不符合题意；
C选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是，
不是二元一次方程组，
故C选项不符合题意；
D选项：方程组中含有两个未知数，未知项的最高次数是，
是二元一次方程组，
故D选项符合题意．
故选：D．
10．A
【分析】根据方程组的解，得，变形得，代入求值即可．
本题考查了方程组的解，整体思想求代数式的值，熟练掌握求值的方法是解题的关键．
【详解】解：由是方程的一组解，
得，
变形得，
．
故选：A．
11．C
【分析】直接用①+②，即可得出x+y，根据x+y=0，再求出a的值即可．
【详解】
①+②得：
∵x＋y＝0
∴，解得
故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是利用整体思想．
12．C
【分析】此题考查了三元一次方程组，通过联立①③方程消元解出x和y关于m的式子，代入另一个方程求解m的值即可．
【详解】由题意得：
得，
得，
∴
将，代入②得，
解得．
故选：C．
13．
【分析】将方程的解代入原方程，然后解一元一次方程．
【详解】解：把代入原方程，可得，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的解，要熟练掌握，采用代入法即可．
14．15
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设小雅爷爷是岁，小雅是岁，根据爷爷及小雅的年龄之间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，解方程即可．
【详解】解：设小雅的爷爷是岁，小雅是岁，
由题意，得：
解得：
所以小雅的年龄是15岁．
故答案为：15．
15．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，原两位数的个位数字为，十位数字为，根据题意列出方程组，然后求解即可，解题的关键是熟练掌握两位数与各数位上的数字之间的关系．
【详解】设原两位数的个位数字为，十位数字为，则 ：
，
解得：，
∴原来的两位数是，
故答案为：．
16．7
【分析】根据题意列方程组，再整体求解．
【详解】解：设A一件x元、B一件y元、C一件z元，
根据题意得：
，
由①+②得：xz=7，
即一件A学习用品比一件C学习用品贵7元，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了三元一次方程的应用，整体求解是解题的关键．
17．12
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键．
设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可．
【详解】解：设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，
由题意得：，解得： ，
∴用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则做出侧面的数量为12个，底面的数量为24个，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个．
故答案为12．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键；
（1）利用加减消元法即可解答；
（2）方程①是用未知数x表示y的式子，将①代入②可得关于x、z二元一次方程组，利用加减消元法解方程组，再将x的值代入①可得y的值．
【详解】（1）解：，得④
，得
，得
，得
原方程组的解为；
（2）把①代入②，得．④
由④和③组成方程组
解得
把代入①，得，
原方程组的解为
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了加减法解一些系数较大的二元一次方程组，熟练掌握加减法是解题的关键；
（1），所得方程两边都除以 4 ，得：，再与方程①利用加减法求解即可；（2）所得方程两边都除以，得：，再与方程①利用加减法求解即可．
【详解】（1）解：，
得：，
两边除以 4 ，得：③，
得：，
解得：；
把代入③，解得：；
故原方程组的解为．
（2）解：，
得：，
两边除以，得：③，
得：，
把代入③，解得：；
故原方程组的解为．
故答案为：．
20．0
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程，把代入求出b，把代入求出a，代入求出即可．
【详解】解：根据题意把代入得：
，
解得：，
把代入得：
，
解得：，
所以．
21．(1)是；
(2)原方程组的解为
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法；
（1）根据“系数友好方程组”的定义判断即可；
（2）根据“循环加减法”解方程组即可．
【详解】（1）
①+②，得，
①－②，得，
∴方程组是“系数友好方程组”；
（2），
①+②，得，化简得：③，
①②，得，化简得：④，
③+④，得，解得，
③④，得，解得，
所以原方程组的解为．
22．(1)
(2)
【分析】方程组消元表示出即可；
把表示出的代入方程组第一个方程表示出，代入，根据求出的值即可．
【详解】（1）解：，
由得：，
把代入得：，
去分母得：，
解得：；
（2）解：把代入得：，
代入得：，
，，
化简得：，
去分母得：，
解得：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，绝对值，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．
23．A型取暖器销售了台，B型取暖器销售了台．
【分析】设A型取暖器销售了x台，B型取暖器销售了y台，根据两周内共销售台，销售收入元列方程组求解即可．
【详解】解：设A型取暖器销售了x台，B型取暖器销售了y台，
解得：
答：A型取暖器销售了台，B型取暖器销售了台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；解题的关键是找等量关系，然后列出方程组，正确求解．
24．(1)
(2)
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】（1）
解：把①代入②得：7x+5x+15=9，
解得：x=-，
把x=-代入①得：y=，
则方程组的解为；
（2）
解：①×3+②×2得：19x=114，即x=6，
把x=6代入①得：y=-，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
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第六章一次方程组
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是方程的解，则k的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
2．已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
3．一个笼中装有鸭和猫，它们共有8个头，22只脚，求笼中鸭、猫各有多少只．如果设有只鸭，只猫，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在两个长、宽都分别为、的大长方形中，有若干个形状、大小完全相同的小长方形，拼成了“南开”两字，则每个小长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．甲、乙两根绳共长17米，如果甲绳减去它的，乙绳增加1米，那么两根绳长相等，若设甲绳长x米，乙绳长y米，则可列方程组为（）
A． B． C． D．
7．代数式是二次三项式，则m，n的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．已知二元一次方程组，下面说法正确的是（ ）
A．同时满足方程①和方程②的x，y的值是方程组的解
B．满足方程①的x，y的值是方程组的解
C．满足方程②的x，y的值是方程组的解
D．满足方程①或方程②的x，y的值一定是方程组的解
9．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如果是方程的一组解，那么代数式的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
11．已知关于x，y的方程组的解满足x＋y＝0，则a等于（ ）
A．1 B．0 C．－1 D．－2
12．已知，，同时满足，，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
二、填空题
13．若是方程的一个解，那么 ．
14．某天小雅问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁了，哈哈！”小雅的年龄是 岁
15．一个两位数的各位数字之和是，十位数字与各位数字互换后，所得新数比原数小，则原来的两位数是 ．
16．小李去文具店购买、、三种学习用品各一种，已知一件学习用品比一件学习用品贵4元，一件学习用品比一件学习用品贵3元，那么一件学习用品比一件学习用品贵 元．
17．某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为 ．
三、解答题
18．解下列方程组：
(1)
(2)
19．解方程组由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单．，得，所以③，，得④，，得，从而得，所以原方程组的解为．
(1)请运用上述方法解方程组：；
(2)请直接写出关于、的方程组（，是常数，）的解：______．
20．甲、乙两人共同解方程组,由于甲看错了方程①中的,得到方程组的解为乙看错了方程②中的,得到方程组的解为试计算的值.
21．【阅读材料】小颖同学遇到下列问题
解方程组
她发现如果用代入消元法，会出现分数运算：如果用加减消元法，系数会变大这两种方法，在运算中都容易出错她再仔细观察，发现如果将两个方程相加时两个未知数的系数相等，将两个方程相减时两个未知数的系数互为相反数．她试着给出了以下解题过程：
解：①+②，得，化简得： ③
①－②，得，化简得： ④
③+④，得，解得
③－④，得，解得
所以原方程组的解为
如果一个方程组中，两个方程相加时两个未知数的系数相等，两个方程相减时两个未知数的系数互为相反数：或者两个方程相加时两个未知数的系数互为相反数，两个方程相减时两个未知数的系数相等，那么我们称这样的二元一次方程组为“系数友好方程组”，称小颖的解法为“循环加减法”．
【解决问题】
(1)方程组__________（填“是”或“不是”）“系数友好方程组”
(2)如果（1）中的方程组是“系数友好方程组”，请用“循环加减法”解该方程组．如果不是，请选择适当的方法解该方程组．
22．已知关于，的方程组，为常数．
(1)求用含的式子表示；
(2)若，，求的值．
23．冬季来临，某电器店开始销售A、B两种型号的取暖器，A型取暖器每台元，B型取暖器每台元．若两周内共销售台，这两周的销售额为元，A、B两种型号的取暖器分别销售了多少台？（请用二元一次方程组的知识解答）
24．解方程组：
(1)；
(2)．
《第六章一次方程组》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C A A B A D A
题号 11 12
答案 C C
1．C
【分析】本题考查二元一次方程组的解求参数，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．有解必代是解决此类题目的基本思路．
把代入是方程得到关于k的方程求解即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：．
故选：C．
2．C
【分析】由整体换元思想可得，求出x，y的值即可．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴方程组的解满足关系式，
解得，，
故选：C
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解答此题的关键．
3．A
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际可知，鸭有两条腿，猫有四条腿，再根据有若干只鸭和猫关在同一笼子里，它们一共有8个头，22只脚，即可列出相应的方程组．
解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
【详解】解：设有只鸭，只猫，
由题意可得，
，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查二元一次方程组的几何应用，设每个小长方形的长为，宽为，根据图形间的关系列方程组求解即可．
【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为，
由题意得，
解得
则每个小长方形的面积为．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配套，则生产的螺帽的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺帽数量．
等量关系为：生产螺栓的工人数+生产螺帽的工人数=90；螺栓总数×2=螺帽总数，把相关数值代入即可．
【详解】解：设生产螺栓x人，生产螺帽人，
根据总人数可得方程；
根据生产的零件个数可得方程，
可得方程组：．
故选A．
6．A
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，以两绳长和什么时候相等作为等量关系列方程组求解．若设甲绳长米，乙绳长米，根据甲、乙两根绳共长17米，如果甲绳剪去它的，乙绳增加1米，两根绳长相等，可列方程组．
【详解】解：设甲绳长米，乙绳长米，
故选：A．
7．B
【分析】本题主要考查了二次三项式的定义，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二次三项式的定义．
根据二次三项式的定义列出方程，然后解方程组即可．
【详解】解：根据题意得，，，
由②式得，代入①中得，
整理得，
解得，
∴，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，解题的关键是掌握方程组概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
根据二元一次方程组的解的概念对各选项进行判断，找出正确的一项，问题即可得解．
【详解】解：根据二元一次方程组的解的概念可知，同时适合方程①和方程②的x，y的值是方程组的解，故A正确，B、C、D错误．
故选：A．
9．D
【分析】本题考查二元一次方程组的定义：方程组需含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知项的最高次数为，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可.
【详解】解：A选项：方程组中含有三个未知数，
不是二元一次方程组，
故A选项不符合题意；
B选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是，
不是二元一次方程组，
故B选项不符合题意；
C选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是，
不是二元一次方程组，
故C选项不符合题意；
D选项：方程组中含有两个未知数，未知项的最高次数是，
是二元一次方程组，
故D选项符合题意．
故选：D．
10．A
【分析】根据方程组的解，得，变形得，代入求值即可．
本题考查了方程组的解，整体思想求代数式的值，熟练掌握求值的方法是解题的关键．
【详解】解：由是方程的一组解，
得，
变形得，
．
故选：A．
11．C
【分析】直接用①+②，即可得出x+y，根据x+y=0，再求出a的值即可．
【详解】
①+②得：
∵x＋y＝0
∴，解得
故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是利用整体思想．
12．C
【分析】此题考查了三元一次方程组，通过联立①③方程消元解出x和y关于m的式子，代入另一个方程求解m的值即可．
【详解】由题意得：
得，
得，
∴
将，代入②得，
解得．
故选：C．
13．
【分析】将方程的解代入原方程，然后解一元一次方程．
【详解】解：把代入原方程，可得，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的解，要熟练掌握，采用代入法即可．
14．15
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设小雅爷爷是岁，小雅是岁，根据爷爷及小雅的年龄之间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，解方程即可．
【详解】解：设小雅的爷爷是岁，小雅是岁，
由题意，得：
解得：
所以小雅的年龄是15岁．
故答案为：15．
15．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，原两位数的个位数字为，十位数字为，根据题意列出方程组，然后求解即可，解题的关键是熟练掌握两位数与各数位上的数字之间的关系．
【详解】设原两位数的个位数字为，十位数字为，则 ：
，
解得：，
∴原来的两位数是，
故答案为：．
16．7
【分析】根据题意列方程组，再整体求解．
【详解】解：设A一件x元、B一件y元、C一件z元，
根据题意得：
，
由①+②得：xz=7，
即一件A学习用品比一件C学习用品贵7元，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了三元一次方程的应用，整体求解是解题的关键．
17．12
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键．
设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可．
【详解】解：设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，
由题意得：，解得： ，
∴用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则做出侧面的数量为12个，底面的数量为24个，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个．
故答案为12．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键；
（1）利用加减消元法即可解答；
（2）方程①是用未知数x表示y的式子，将①代入②可得关于x、z二元一次方程组，利用加减消元法解方程组，再将x的值代入①可得y的值．
【详解】（1）解：，得④
，得
，得
，得
原方程组的解为；
（2）把①代入②，得．④
由④和③组成方程组
解得
把代入①，得，
原方程组的解为
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了加减法解一些系数较大的二元一次方程组，熟练掌握加减法是解题的关键；
（1），所得方程两边都除以 4 ，得：，再与方程①利用加减法求解即可；（2）所得方程两边都除以，得：，再与方程①利用加减法求解即可．
【详解】（1）解：，
得：，
两边除以 4 ，得：③，
得：，
解得：；
把代入③，解得：；
故原方程组的解为．
（2）解：，
得：，
两边除以，得：③，
得：，
把代入③，解得：；
故原方程组的解为．
故答案为：．
20．0
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程，把代入求出b，把代入求出a，代入求出即可．
【详解】解：根据题意把代入得：
，
解得：，
把代入得：
，
解得：，
所以．
21．(1)是；
(2)原方程组的解为
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法；
（1）根据“系数友好方程组”的定义判断即可；
（2）根据“循环加减法”解方程组即可．
【详解】（1）
①+②，得，
①－②，得，
∴方程组是“系数友好方程组”；
（2），
①+②，得，化简得：③，
①②，得，化简得：④，
③+④，得，解得，
③④，得，解得，
所以原方程组的解为．
22．(1)
(2)
【分析】方程组消元表示出即可；
把表示出的代入方程组第一个方程表示出，代入，根据求出的值即可．
【详解】（1）解：，
由得：，
把代入得：，
去分母得：，
解得：；
（2）解：把代入得：，
代入得：，
，，
化简得：，
去分母得：，
解得：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，绝对值，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．
23．A型取暖器销售了台，B型取暖器销售了台．
【分析】设A型取暖器销售了x台，B型取暖器销售了y台，根据两周内共销售台，销售收入元列方程组求解即可．
【详解】解：设A型取暖器销售了x台，B型取暖器销售了y台，
解得：
答：A型取暖器销售了台，B型取暖器销售了台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；解题的关键是找等量关系，然后列出方程组，正确求解．
24．(1)
(2)
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】（1）
解：把①代入②得：7x+5x+15=9，
解得：x=-，
把x=-代入①得：y=，
则方程组的解为；
（2）
解：①×3+②×2得：19x=114，即x=6，
把x=6代入①得：y=-，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
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