5.2解一元一次方程达标练习（含解析）华东师大版数学七年级下册

中小学教育资源及组卷应用平台
5.2解一元一次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．定义一种新运算“”，其运算规则是，已知，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
2．某校组织学生参加“激流勇进”比赛，比赛规则为：每班派出一名代表操作皮划艇划到对岸并且返回，用时最短的队伍获胜．已知一名同学从岸边顺流划到对岸用了0.25h，从对岸逆流返回用了0.35h，且水流的速度是，求皮划艇在静水中的平均速度，两名同学列方程如下：
琳琳：，轩轩：
根据以上信息，有下列四种说法：①琳琳所列方程中的表示皮划艇在静水中的平均速度；②轩轩所列方程中的x表示皮划艇在静水中的平均速度；③琳琳所列方程中的x表示岸边到对岸的路程；④轩轩所列方程中表示岸边到对岸的路程．其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
3．一列长的列车过一座长的桥，当列车刚上桥头时，车尾站着1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用，则列车的速度为（　　）
A． B． C． D．
4．若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则x为（ ）
A．40 B．80 C．40或80 D．60
5．下列等式表示：比a大5的数等于8（　　）
A． B． C． D．
6．若代数式与的值相等，则x的值为（ ）
A．4 B．9 C．3 D．0
7．10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船的成功发射，不仅是中国航天事业的一大里程碑，也是国家科技实力和综合国力的生动展现．在加工一批航天十九号载人飞船零件过程中，甲单独做6天完成，乙单独做4天完成．若甲先做1天，然后甲，乙合作完成此项工作，若甲乙合作了天，则所列方程为（　　）
A． B． C． D．
8．小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费元；超过5吨，超过部分每吨加收3元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为元，为庆祝这一好消息，商场决定将这批“国潮”年货礼盒按标价的折销售．若打折后仍能获利，则这批“国潮”年货礼盒每盒的标价应为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
10．若一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．已知关于的方程有整数解，那么满足条件的整数有（ ）个
A．个 B．个 C．个 D．个
12．对于非零的两个数、，规定，若，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
二、填空题
13．为提高青少年体质，某区组织各校篮球队进行了联赛，比赛部分积分情况如下：
球队编号 比赛场次 胜场数 负场数 积分
A 10 6 4 16
B 10 3 7 13
C 10 0 10 10
… … … … …
根据表格数据，胜一场积 分；某球队参加10场比赛，积分为18分，则胜场数为 ．
14．某种商品的进价为100元，由于该商品积压，商店准备按标价的8折销售，可保证盈利为20元，则标价为 元．
15．代数式的值等于，则 ．
16．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为 ．
17．小明所在城市的“阶梯水价”收费标准是：每户用水不超过5吨，每吨水费x 元；用水超过5吨，超过的部分每吨加收2元．小明家今年五月份用水9吨，共交水费44元，则可列方程为
三、解答题
18．问题情景：五缘湾水上乐园门票价格如下表所示：
购票人数 1～50人 51～100人 100人以上
每人门票价 13元 11元 9元
某校七年级（1），（2）两个班共104人去五缘湾水上乐园春游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，超过50人．经估算如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元．
问题：
(1)请算出两个班各有多少名学生
(2)若（1）班先到达乐园，想要单独购票，你能帮他们想出一个比较经济的购票方案吗
19．阅读下列内容，完成任务．
定义：我们把使等式成立的一对有理数a，b称为“姊妹数对”，其中，记为．如．，，因此是一对“姊妹数对”．
任务：
(1)数对和中，是“姊妹数对”的是_________．
(2)若数对是“姊妹数对”，求x的值．
20．如图，A是数轴上表示的点，B是数轴上表示10的点，C是数轴上表示18的点，点A，B，C在数轴上同时向数轴的正方向运动，点A运动的速度是6个单位长度/秒，点B和点C运动的速度是3个单位长度/秒．设三个点运动时间为t（秒）
(1)直接写出t秒后A、B、C三点在数轴上所表示的数；
(2)当t为何值时，线段（单位长度）？
(3)当时，设线段的中点为P，线段的中点为M，线段的中点为N，求时，t的值．
21．下面是小亮解方程的过程：
解： （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（第五步）
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是_______，这一步的依据是_______．
(2)以上求解步骤中，第_______步开始出现错误，错误的原因是_______．
(3)请写出方程正确的解________．
22．匹克球融合了羽毛球、乒乓球和网球的元素，是一项既有趣又有益的运动．某校七年级举行匹克球比赛，每个班级均比赛8场，前三名班级的积分榜信息（比赛无平局）如下表．
名次 班级 场次 胜场 负场 积分
1 （1）班 8 8 0 24
2 （5）班 8 6 2 a
3 （7）班 8 4 4 16
(1)从表中信息可以看出，胜一场积________分，负一场积________分，a的值为________．
(2)若某班的总积分为14分，求该班的胜场次数．（列一元一次方程解决问题）
(3)嘉嘉说他们班的总积分为11分，你认为可能吗？请说明理由．
23．判断下列变形是否正确，若正确，指出依据的等式性质．
(1)如果，那么；
(2)如果，那么；
(3)如果，那么；
(4)如果，那么．
24．判断下列等式变形是否正确，并说明理由．
(1)若，则；
(2)若，则．
《5.2解一元一次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C A A B B C B
题号 11 12
答案 C B
1．C
【分析】本题考查定义新运算规则，解一元一次方程，解答本题的关键是理解新运算规则．
根据新运算规则，得到一元一次方程，即可解答．
【详解】解：∵，
∴
解得．
故选C．
2．B
【分析】本题考查了方程的应用，读懂题意是解决此题的关键；认真审题根据题意可选出正确答案．
【详解】解：方法一：设皮划艇在静水中的平均速度为，由题意可得：
；
方法二：设岸边到对岸的路程为，由题意可知：，
整理得：，
∴①④正确；
故选项B正确，符合题意；选项A，C，D错误，不符合题意；
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设列车的速度为，根据列车走过的总路程等于列车的长与桥的长度之和建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设列车的速度为，
由题意得：，
解得，
即列车的速度为，
故选：C．
4．C
【分析】此题考查了两条直线相交所成角的关系，邻补角与对顶角的性质，一元一次方程的应用，正确理解两条直线相交所成角的关系是解题的关键．
由两条直线相交所成的四个角中，有邻补角、有对顶角，由此列方程解答．
【详解】解：当两个角是对顶角时，，解得；
当两个角是邻补角时，，解得，
故选：C．
5．A
【分析】根据题意，可以用方程表示出比a大5的数等于8．
【详解】解：由题意可得：
比a大5的数等于8可以表示为：a+5=8，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程．
6．A
【分析】根据题意列一元一次方程，求出x的值即可．
【详解】解：∵代数式与的值相等，
∴，
解得：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，准确计算．
7．B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．过程中，甲做了天，乙做了x天，然后根据总工作量为1即可列出方程．
【详解】解：设甲乙合做了x天，根据题意可得：；
故选：B．
8．B
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
，
化简，得
，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据题中的数量关系列出方程．
9．C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用之打折问题，熟练掌握打折问题的解法是解题的关键．设该这批“国潮”年货礼盒是x元，根据题意，得，求解即可．
【详解】解：设这批“国潮”年货礼盒标价是x元，根据题意，得
，
解得，
即这批“国潮”年货礼盒每盒的标价应为元，
故选：C．
10．B
【分析】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角；补角：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角．设这个角为，则它的补角为，余角为，根据题意列出方程，再解即可．
【详解】解：设这个角为，则它的补角为，余角为，根据题意可得：
，
解得：，
故选：B．
11．C
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，把当做已知量表示出方程的解，再根据方程的解为整数的条件即可得出值，根据解得的条件确定的可能取值解题的关键．
【详解】解：由得，
，
∴，
∵关于的方程有整数解，
∴或，
解得：或或或，
∴整数有个，
故选：．
12．B
【分析】本题考查了新定义及解一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．先根据定义得到一元一次方程，再解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
故选：B．
13． 2 8
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键．由C球队的积分可知负一场积1分，再由A球队的积分可知胜一场积2分；设某球队胜场，根据积分是18分，列出方程求出的值即可解答．
【详解】解：由C球队的积分可知，负一场积分，
再由A球队的积分可知，胜一场积分，
胜一场积2分；
设某球队胜场，则负场，
由题意得，，
解得：，
某球队参加10场比赛，积分为18分，则胜场数为8．
故答案为：2；8．
14．150
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．找到题目中蕴含的等量关系，根据售价进价利润这一等量关系，列方程求解即可．
【详解】解：设标价为x元，依题意得：
，
解得：，
即标价为150元，
故答案为：150．
15．5
【分析】本题考查解一元一次方程．根据题意列方程，然后按照解一元一次方程的步骤解方程计算求解．
【详解】解：由题意可得：，
去分母得，
整理得，
解得，
故答案为：5．
16．5x+45=7x-3
【分析】根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于x的方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得：5x+45=7x-3．
故答案为：5x+45=7x-3．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
17．
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
根据应交水费不超过5吨时的每吨水费超出5吨的部分超过5吨时的每吨水费，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得：，
即．
故答案为：．
18．(1)（1）班48人，（2）班56人
(2)能，较经济的方案是（1）班购买51张票，比购买48张票节省63元．
【分析】（1）设七年级（1）班有x 人，（2）班有y人，根据“七年级（1），（2）两个班共104人，且以班为单位分别购票一共应付1240元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）求出七年级（1）班购买51张及48张票所需费用，比较作差后，即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
【详解】（1）解：设七年级(1)班有x人，(2)班有y人，根据题意，
列方程组：
解得：．
答：七年级(1)班有48 人，(2)班有56人．
（2）能
若 （1）班先到达乐园，想要单独购票，我建议（1）班购买51张票，购票金额为（张），
∵购买48张票，购票金额为（元），，（元），
∴比较经济的方案是（1）班购买51张票，比购买48张票节省63元．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查有理数混合运算和一元一次方程的应用，解题关键是看懂定义并能运用定义解决问题．
（1）根据“姊妹数对”的定义即可判断；
（2）根据“姊妹数对”的定义得关于的方程即可求解．
【详解】（1）解：对于数对，，，
∴，
∴是“姊妹数对”，
对于数对，，，
∴，
∴不是“姊妹数对”，
故答案为：；
（2）∵数对是“姊妹数对”，
∴，
即：
解得：．
20．(1)，，；
(2)或
(3)或
【分析】（1）分别用A、B、C对应的数加上三点运动的距离，即可求解；
（2）由（1）可得，即可求解；
（3）根据题意可得秒后线段OA的中点为P所表示的数为，线段OB的中点为M所表示的数为， 线段OC的中点为N所表示的数为，再由，可得，然后分三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：
秒后，A，B，C分别表示的数为： ，，；
（2）解：根据题意得：AC=，
解得：或；
（3）解：∵秒后，A，B，C分别表示的数为： ，，，
∴ 秒后线段OA的中点为P所表示的数为，线段OB的中点为M所表示的数为， 线段OC的中点为N所表示的数为，
∵，
∴，即，
① 当时， ，解得：；
②当时， 解得：（舍去）；
③当时， ，解得：；
综述：或．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，绝对值方程，数轴上两点间的距离，动点问题，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
21．(1)去分母；等式的基本性质（等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立）
(2)二；等号右边的括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号
(3)
【分析】本题考查解一元一次方程，等式的基本性质．
（1）根据等式的基本性质即可作答；
（2）结合解一元一次方程的基本方法逐步核算，即可作答；
（3）按照解一元一次方程的基本方法解答即可．
【详解】（1）解：第一步进行的是去分母，依据是等式的基本性质（等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立），
故答案为：去分母；等式的基本性质（等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立）；
（2）解：第二步开始出现错误，原因是：等号右边的括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号，
故答案为：二；等号右边的括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
（3）解：原式去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为一得，
故答案为：．
22．(1)3；1；20
(2)3
(3)不可能，理由见解析
【分析】本题考查一元一次方程的应用．
（1）根据（1）班可以求得胜场积分，再根据（7）班即可求得负场积分，然后计算（5）班的积分即可得a的值；
（2）根据题意可知，胜场积分负场积分总积分，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（3）根据题意可知，胜场积分+负场积分=总积分，可以列出相应的代数式，然后判断即可．
【详解】（1）解：由（1）班的成绩可知：胜一场得（分），
由（7）班的成绩可知：负一场积分为（分），
∴（5）班的积为为：（分），
故答案为：2；1；20；
（2）解：设该班级胜场次数为x，
由题意可得：，
解得，
答：该班级胜场次数为3；
（3）解：不可能，理由如下：
设嘉嘉他们班胜场次数为y，则总积分为，
∵y为整数，
∴一定为偶数，
故不可能为11分．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题考查等式的基本性质：①等式两边同时加上（减去）同一个数，等式仍然成立；②等式两边同时乘以（除以）同一个不为0数，等式仍然成立，熟记等式的基本性质是解决问题的关键．
（1）由等式的基本性质1逐项验证即可得到答案；
（2）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案；
（3）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案；
（4）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案．
【详解】（1）解：正确．
等式两边都加上同一个数，结果仍相等．依据：等式性质1；
（2）解：正确．
等式两边都除以同一个不为0的数，结果仍相等．依据：等式性质2；
（3）解：正确．
等式两边都乘同一个数，结果仍相等．依据：等式性质2；
（4）解：正确．
由知，等式两边都乘以同一个不为0的数，结果仍相等．依据：等式性质2．
24．(1)正确，理由见解析
(2)不正确，理由见解析
【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
（1）根据等式的性质进行计算，即可解答；
（2）根据等式的性质进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：正确，
理由：∵，
∴，
∴；
（2）不正确，
理由：∵，
∴，
∴，
．
∴不正确．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)