2026年寒假七年级数学上册（浙教版2024）
查漏补缺专题培优
专题 5 一元一次方程
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C D B A C B A B
1．C
本题考查方程的识别，根据方程的定义，含有未知数的等式是方程，逐一判断各选项即可．
解：A、不是等式，故不是方程；
B、是不等式，不是等式，故不是方程；
C、 是等式且含有未知数x，故是方程；
D、 是等式但不含未知数，故不是方程．
故选C．
2．C
本题主要考查一元一次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解及代数式的值是解题的关键；将代入方程得到和的关系式，然后整体代入求值．
解：∵是方程的解，
，
，
故选：C．
3．C
本题考查了等式的性质，利用了等式的性质1，等式的性质2．根据等式的性质1，等式的两边都加或减同一个整式，结果不变，根据等式的性质2，等式的两边都乘或除以同一个不为零的整式，结果不变，可得答案．
解：①根据等式的性质2，等式的两边都乘10，结果不变；
②根据等式的性质1，等式的两边都减同一个整式，结果不变；
③根据合并同类项法则；
④根据等式的性质2，等式的两边都除以3，结果不变．
根据等式基本性质的是①②④．
故选：C．
4．D
本题主要考查了等式的性质，掌握等式的基本性质是解题的关键；等式的性质：等式两边同时加、减、乘或除以同一个数（除数不为0），等式仍成立．
根据等式的性质逐项判断即可．
解：A、若，则或，原写法错误，不符合题意；
B、若，则，原写法错误，不符合题意；
C、若，且，则，原写法错误，不符合题意；
D、若，则，正确，符合题意，
故选：D．
5．B
本题主要考查了方程的解，通过将代入每个方程，验证等式是否成立，确定是否是方程的解．
解：A选项：当时，左边，右边，左边右边，是方程的解，故A选项不符合题意；
B选项：当时，左边，右边，左边右边，不是方程的解，故B选项符合题意；
C选项：当时，左边，右边，左边右边，是方程的解，故C选项不符合题意；
D选项：当时，左边，右边，左边右边，是方程的解，故D选项不符合题意．
故选：B．
6．A
本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解．根据题意求出“九宫格”中的y，再求出x即可求解．
解：如图，
依题意可得
解得
∴
解得
故选：A．
7．C
本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确列出方程是解题的关键．首先根据原售价和毛利率求出进价，然后根据新毛利率和进价求新售价即可求解．
解：设进价为C元，
由题意可得：，
，
解得：，
设新售价为元，
新毛利率，
，
，
，
，
元，
售价应调整为元，
故选：C．
8．B
本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
解方程得到，由于解为正整数，因此必须是6的正因数，从而求出所有整数并求和．
解：∵，
两边乘6得：，
化简得：，
即：，
移项得：，
即：，
∴，
∵解为正整数，
∴值可能为： 1，2， 3， 6，
当，，
当，，
当，，
当 ，，
∴ 所有整数为，
∴和为，
故选：B．
9．A
本题主要考查两个一元一次方程的同解问题．利用同解方程得到关于a的方程是解题的关键．
先解出方程的解，然后将代入中，得到一个关于a的方程，解方程即可求出a的值．
解：由，
解得，
∵与关于的一元一次方程的解相同，
∴将代入中，
得，
解得．
故选：A．
10．B
本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解此题的关键．
根据一元一次方程的定义可得，，求解即可．
解：∵方程是关于的一元一次方程，
∴且，
由，
得，
∴，
由，
得，
∴，
故选B．
11．30
本题考查了利用方程的解求参数，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的定义．
将代入方程得到关于的等式，通过整理得到，再整体代入求值即可．
解：将代入方程，得，
整理得，．
则．
故答案为：30．
12．
本题考查根据实际问题列一元一次方程，设安排名工人制作大花瓶，则安排名工人制作小饰品，根据每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，可得关于的一元一次方程．
解：设安排名工人制作大花瓶，则安排名工人制作小饰品
每人每天可制作个大花瓶，故人每天制作大花瓶的总数为
每人每天可制作个小饰品，故人每天制作小饰品的总数为
由于一个大花瓶与个小饰品配成一套，为使产品刚好配套，需满足制作的小饰品总数等于大花瓶总数乘以，即．
故答案为：
13．8
本题考查了一元一次方程的定义，方程的解，先根据一元一次方程的定义求出m的值，再代入关于 y 的方程，根据解为整数求出k的所有可能整数值，并统计个数即可．
解： 是一元一次方程，
，，
解得：或，，
，
将代入方程，得，
整理得，
，
y为整数，
则是8的因数，即，
解得：，共8个整数，
故答案为：8．
14．
本题考查了倒数、解一元一次方程、代数式求值，能得出关于的方程是解此题的关键．
先求出第一个方程的值，再根据倒数性质求出的值，将代入第二个方程求出的值，最后代入值计算即可．
解：解方程，
两边同乘得：，
即 ，移项得 ，
解得．
∵由于两方程的解互为倒数，
∴关于的方程的解为，
把代入，
得：，
两边同乘得，
移项得，
解得．
将代入中，
．
故答案为：25．
15．3
本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为，且系数不能为零．
解：方程是关于的一元一次方程，因此的指数，且系数．
解方程，得，
所以或．
当时，，系数为零，不符合条件；
当时，，符合条件．
故答案为：3．
16．
本题考查了求代数式，由给定方程可得，两边乘以得，代入，即可得出答案．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．(1)
(2)
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）通过移项、合并同类项、系数化为1即可求解．
（2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解．
（1）解：，
移项得：，
合并得：，
解得：．
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：．
18．7
本题考查方程的解的关系，先求出方程的解，根据两个方程的解互为倒数，求出方程的解，代入方程，求出的值，再代入代数式进行计算即可．
解：解方程，得，
∵关于的方程与方程的解互为倒数，
∴方程的解为，
把代入，得：，
解得，
∴．
19．(1)错误
(2)错误
(3)错误
(4)正确
本题考查了等式的性质，需要注意除数不能为零．
（1）根据等式的性质2判断即可；
（2）根据等式的性质1判断即可；
（3）根据等式的性质2判断即可；
（4）根据等式的性质1判断即可．
（1）解：错误，理由是：
已知，
如果，则两边同时除以，得，
但如果，则且，此时和可以是任意值，不一定相等，
因此，变形不一定正确，故错误；
（2）解：错误，理由是：
已知，
两边同时加上，得，即，
除非，否则，
因此，变形不一定正确，故错误；
（3）解：错误，理由是：
已知，
如果，则两边同时除以，得，
但如果，则分母为零，无意义，
因此，变形不一定正确，故错误；
（4）解：正确，理由是：
已知，
∵，
∴，
∴，
因此，变形正确，故正确．
20．(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
本题主要考查了一元一次方程的实际应用、补角的定义以及追及问题的数量关系，熟练掌握从文字描述中提取相等关系并转化为方程是解题的关键．
（1）先明确补角的定义（两角之和为），再根据“比它的补角少”这一条件，建立与它的补角之间的等式．
（2）分别表示出“的6倍与2的和”和“的3倍与4的差”，再根据“等于”这一关键词，将两个代数式用等号连接．
（3）根据“去年人均可支配收入=前年人均可支配收入×(1+增长率)”的关系，代入已知数据建立方程．
（4）利用“追及路程=慢马先行的路程”的关系来建立等式．
（1）解：根据“它的补角”得；
（2）解：根据“的6倍与2的和的3倍与4的差”得；
（3）解：根据“前年人均可支配收入去年人均可支配收入”得；
（4）解：根据“追及路程=慢马先行的路程”得．
21．
本题主要考查了一元一次方程的工程问题，根据“工作总量=工作时间×工作效率”来列方程是解题的关键．
设A的工程量为1，则B的工程量，再分别表示出甲乙丙的工作效率，然后根据题意列出方程可算出两项工程总用时，进而求出丙队和乙队合作的天数．
解：设A的工程量为1，则B的工程量为，
由题意得：甲的工作效率为：，
乙的工作效率：，
丙的工作效率：，
设甲乙丙三队完成A、B两项工程用了x天，
根据题意得，
解得：，
∴丙队和乙队合作了（天）．
答：丙队和乙队合作了天．
22．(1)
(2)
(3)
本题考查了新定义运算，多项式的定义，一元一次方程，根据题意列出一次多项式是解题的关键．
（1）根据新定义列式得出即可．
（2）根据新定义列式得出，再建立方程求解即可．
（3）根据题意得，又，进而即可求解．
（1）解：依题意，．
（2）解：∵，
∴，
∵关于x的方程，
∴，
∴，
∴．
（3）解：
，
∴
，
∵，
∴，
∴，
解得：．
23．(1)
(2)秒
本题考查了平方根、平方根的运用等知识点，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
（1）根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数可得到关于的等式，解得的值，进而求得这个正数即可；
（2）把和的值代入等式得到关于t的方程，然后根据平方根的意义求解即可．
（1）解：由题意得，解得：，
∴，，
，即这个数为．
（2）解：当，时，，解得：（舍弃）．
答：这个物体到达地面所需的时间为秒．
24．(1)，，7
(2)3
(3)12
(4)①，；②当时，的值为定值，定值为．
本题主要考查了多项式的概念、数轴上两点间的距离、折叠问题、整式的加减运算、绝对值等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据b是最大的负整数可得，根据多项式的概念可得，；
（2）先求出折痕表示的数，进而可求出与点B重合的点所表示的数；
（3）分、、、四种情况，分别去绝对值求最值即可解答。
（4）①先表示出点P和点Q表示的数，进而可用含t的代数式表示线段和线段的长；
②根据，当时，其值为定值,据此求解即可．
（1）解：∵b是最大的负整数，
∴；
∵多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c，
∴，
∴．
故答案为：，，7；
（2）解：∵将数轴折叠，使得点与点重合，
∴折痕处的数是，
∴与点B重合的点所表示的数为．
故答案为：3；
（3）解：当时，，当时，有最小值16；
当时，，当时，有最小值12；
当时，，当时，有最小值12；
当时，，当时，有最小值20；
综上，的最小值为12；
（4）解：①∵后点P表示的数是，点Q表示的数是，
∴，，
②存在，
∵，
∴当，即时，的值为定值，定值为．(共5张PPT)
浙教版2024 七年级上册
专题5 一元一次方程 试卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.94 判断各式是否是方程
2 0.85 已知式子的值，求代数式的值；判断是否是一元一次方程解
3 0.75 等式的性质1；等式的性质2
4 0.65 等式的性质1；等式的性质2
5 0.65 判断是否是方程的解
6 0.65 古代问题(一元一次方程的应用)
7 0.65 销售盈亏(一元一次方程的应用)
8 0.65 已知一元一次方程的解，求参数；解一元一次方程（三）——去分母
9 0.65 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；解一元一次方程（二）——去括号；已知方程的解，求参数
10 0.64 判断是否是一元一次方程
二、知识点分布
二、填空题 11 0.75 已知式子的值，求代数式的值；已知方程的解，求参数
12 0.65 配套问题(一元一次方程的应用)
13 0.65 已知一元一次方程的解，求参数；解一元一次方程（二）——去括号
14 0.65 已知一元一次方程的解，求参数；倒数；解一元一次方程（三）——去分母；已知字母的值 ，求代数式的值
15 0.65 判断是否是一元一次方程
16 0.64 已知式子的值，求代数式的值；等式的性质2
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；解一元一次方程（三）——去分母
18 0.75 一元一次方程解的关系；已知式子的值，求代数式的值
19 0.65 等式的性质1；等式的性质2
20 0.65 列方程
21 0.65 工程问题(一元一次方程的应用)
22 0.65 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；多项式的项、项数或次数
23 0.65 平方根概念理解；已知一个数的平方根，求这个数；利用平方根解方程
24 0.4 多项式的项、项数或次数；动点问题（一元一次方程的应用）；带有字母的绝对值化简问题；数轴上的翻折2026年寒假七年级数学上册（浙教版2024）
查漏补缺专题培优
专题 5 一元一次方程
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列各式中，属于方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果是关于x的方程的解，求的值为（ ）
A．1 B． C．21 D．5
3．阅读下框中解一元一次方程的四个步骤，变形依据不是“等式的基本性质”的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．运用等式的基本性质，下列变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．下列哪个方程的解不是（ ）
A． B．
C． D．
6．把1~9这9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的的值为（ ）
A．7 B．6 C．4 D．3
7．某品牌空调按单价元出售，毛利率为（售价×毛利率=售价-进价）．现商家让利销售，使毛利率降为，则售价应调整为（）
A．元 B．元 C．元 D．元
8．已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的和是（ ）
A．12 B． C．36 D．
9．若方程与关于的一元一次方程的解相同，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．若方程是关于的一元一次方程，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．0
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若是关于的方程的解，则的值为 ．
12．某工艺品车间有21名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品，已知一个大花瓶与5个小饰品配成一套，为使每天制作的产品刚好配套．设有x人制作大花瓶，可列方程为 ．
13．若关于的方程是一元一次方程，且关于的方程的解为整数，则满足条件的整数的值有 个．
14．已知方程的解与关于的方程的解互为倒数，则的值是 ．
15．如果方程是关于的一元一次方程，那么等于 ．
16．有一元五次方程，则代数式的值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解方程：
(1)
(2)
18．已知关于的方程与方程的解互为倒数，求的值．
19．请判断下列各式的变形是否正确，并说明理由．
(1)如果，那么．
(2)如果，那么．
(3)如果，那么．
(4)如果，那么．
20．列方程表示下列语句中包含的相等关系：
(1)比它的补角少；
(2)x的6倍与2的和等于x的3倍与4的差；
(3)去年某镇居民人均可支配收入为元，比前年增长了，前年这个镇居民人均可支配收入为元；
(4)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，问快马几天可以追上慢马．可设快马天可以追上慢马．
21．甲、乙、丙三队完成A、B两项工程，B工程的工作量比A工程的工作量多，已知甲单独完成A工程要天，乙、丙两队各自单独完成B工程分别需要天、天．开始时甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程．几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程，剩下的乙队单独做B工程，结果两个工程同时完成，请问丙队与乙队合作了多少天？
22．有一种“多项式转换器”，能将二次多项式处理成一次多项式，转换规则为：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项．例如：，C经过转换器得到．
若关于x的二次多项式C经过转换器得到D，根据以上方法，解决下列问题：
(1)填空：若，则____________；
(2)若，求关于x的方程的解；
(3)已知，C是关于x的二次多项式，满足，求n的值．
23．一个正数有两个平方根，它们互为相反数例如：若，则或．
(1)如果一个正数的平方根分别为和，求这个正数；
(2)已知自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系为，表示重力加速度，其标准值为米/秒若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间．
24．如图，数轴上的点，，分别表示数，，，其中是最大的负整数，且多项式是关于的二次多项式，一次项系数为．
(1)________；________；________；
(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，此时与点重合的点所表示的数为________；
(3)若数轴上有一点，且点表示数，则的最小值为________；
(4)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为．
①请你用含的代数式表示线段和线段的长；
②是否存在常数，使的值为定值？若存在，请求出的值和的值；若不存在，请说明理由．
