浙江省湖州市长兴县南太湖联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题
1．（2025高二上·长兴月考）已知直线l过点，且倾斜角为60°，则直线l的纵截距为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：因为直线l倾斜角为60°，所以直线l的斜率为，
则直线l的方程为，
令，得，则直线l的纵截距为.
故答案为：D.
【分析】先利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而得到直线l的斜率，再利用点斜式方程求出直线l的方程，从而求出直线l的纵截距.
2．（2025高二上·长兴月考）“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，
所以，解得，
所以“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先根据方程表示焦点在x轴上的椭圆，从而得出m的取值范围，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从人而找出正确的选项.
3．（2025高二上·长兴月考）已知平面经过点，且平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由，，得.
又因为平面的一个法向量为，
所以，
则点到平面的距离为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件得出向量的坐标，再利用向量的模的坐标表示和数量积的坐标表示，再结合数量积求点到平面的距离公式计算即得.
4．（2025高二上·长兴月考）已知是等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．33 B．44 C．55 D．66
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
5．（2025高二上·长兴月考）在正三棱锥中，棱两两垂直，分别是棱和的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，
所以，
设异面直线与所成角大小为，
则.
故答案为：A
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，设，从而求出各点的坐标和向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出异面直线与所成角的余弦值.
6．（2025高二上·长兴月考）已知F为抛物线的焦点，，A为抛物线在第一象限上的点，且满足，则点A的横坐标为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为点F为抛物线的焦点，所以，
又因为A为抛物线在第一象限上的点，设，
所以
又因为，所以，
则，
解得.
故答案为：C.
【分析】利用抛物线方程求出抛物线的焦点，根据得，再利用数量积的坐标表示，从而得出x的值.
7．（2025高二上·长兴月考）已知数列满足，，则（ ）
A．1002 B．1023 C．1024 D．1005
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，，所以，，
依次可得，，，，，，
则
.
故答案为：B.
【分析】根据得到，，，，，再由等比数列求和公式和对数运算法则计算得出的值.
8．（2025高二上·长兴月考）已知A，B是双曲线上的两点，是双曲线的左焦点，满足，，，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由，
得双曲线上的两点关于原点对称，
令该双曲线的右焦点为，
则四边形是平行四边形，所以，
由，，得，
令双曲线半焦距为c，由，，
得，
则，解得，
设，则，
消去，得，
由，得，
因此，整理得，
则，
所以双曲线C的离心率.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件结合双曲线的对称性，从而得出，再利用数量积的运算求出的值，再设出点的坐标，利用双曲线方程和三角形面积公式以及已知条件，从而建立a，b，c三者的方程，从而可求出双曲线C的离心率的值.
9．（2025高二上·长兴月考）点P在圆：上，点Q在圆：上，则（ ）
A．两圆的位置关系为外切
B．的最大值为12
C．两圆公切线段长为
D．两圆相交弦所在直线的方程为
【答案】B,C,D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：对于A，由圆，可知圆心与半径，
由圆，可知圆心与半径，
因为，且，
所以，则两圆相交，故A错误；
对于B，由圆的性质，可知，故B正确；
对于C，由过圆心的半径垂直于切线，
得公切线的长度为，故C正确；
对于D，联立圆方程和圆方程，可得，
则，两式相减，可得，
则相交弦所在直线的方程为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用圆心距与半径差、半径和的大小关系，判断出两圆的位置关系，则判断出选项A；根据圆的性质可得圆上点的位置，再利用几何法求最值的方法，从而得出的最大值，则判断出选项B；根据圆的公切线的性质和勾股定理，从而得出两圆公切线段长，则判断出选项C；联立两圆的方程作差化简，从而得出两圆相交弦所在直线的方程，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．（2025高二上·长兴月考）在长方体中，，分别是棱，上的动点（含端点），且，为棱的中点，则（ ）
A．若是棱的中点，则平面
B．若是棱的中点，直线平面
C．线段长度的最大值为
D．若为线段的中点，则的最小值为
【答案】A,C
【知识点】空间中两点间的距离公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：在长方体中，，，，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
∴设，
∵，∴，
若是棱的中点，则，则，
∴，则，
在正方形中，，
又∵平面，平面，
∴，且，平面，平面，
∴平面，
则是平面的一个法向量，
∵，则，
∴平面，故选项A正确；
当是棱的中点时，，，
则，
因为是平面的一个法向量，
又∵不存在实数使得，
所以与不平行，
∴直线与平面不垂直，故选项B错误；
因为，又∵，
∴，
则，故选项C正确；
当为线段的中点时，，
∴，，
则，
∵，∴，
设直线，点在圆上，
则圆心到直线的距离，
∴点到直线的距离，
点到直线的距离，
∵，
∴，故选项D错误.
故答案为：AC.
【分析】在长方体中建立空间直角坐标系，设，由得出的值，由题意结合勾股定理得出的值，从而求出的值，则得到向量，再求得平面的一个法向量，由数量积证出线面平行，则判断出选项A；由已知条件得出向量，再利用空间向量是否平行结合向量共线定理，则判断出选项B；由的值得出的取值范围，则可判断选项C；由题意得出点的坐标，从而得到的坐标，求出的值，再借助圆上的点到直线的最小值得出的最小值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025高二上·长兴月考）已知椭圆，，是左右焦点，在椭圆的上半部分（含端点）上存在n个点，，…，，（，），是右顶点，是左顶点，使得，，…，成为公差是的等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为16
B．当时，n的最大值为14
C．当时，
D．的最小值为
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；等差数列的通项公式；椭圆的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：对于A，由椭圆，得，
所以，
则焦点三角形的周长，故A正确；
对于B，由选项A，可得，则，
由等差数列的公差，
得，整理可得，
由，得，解得，
所以的最大值为，故选项B错误；
对于C，由，得，
所以
，故选项C正确；
对于D，由题意，可得，，，
则，令，
求导可得，
令，
由，解得，此时，则，符合题意；
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据椭圆的标准方程结合焦点三角形的性质可判断出选项A；根据椭圆顶点与焦点坐标，再利用等差数列的通项公式数列的单调性，从而得出n的最大值，则判断出选项B；利用已知条件和裂项相消法可判断出选项C；由题意构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，则得出的最小值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2025高二上·长兴月考）已知数列满足，，则 .
【答案】
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
13．（2025高二上·长兴月考）若圆与直线交于A，B两点，则 .
【答案】
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由圆，
得圆心，半径.
所以圆心到直线的距离，
由圆的弦长公式，得，
又因为，
由余弦定理，得，
在三角形中，，所以.
故答案为：.
【分析】先由圆的方程得出圆心坐标和半径长，利用弦长公式得出AB的长，再根据和余弦定理以及三角形中的取值范围，从而得出的值.
14．（2025高二上·长兴月考）点是抛物线上一点，过焦点的直线交抛物线于，两点，交抛物线的准线于点，若为的中点，，，点在以为直径的圆上，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：过点作⊥轴于点，准线与轴交于点，
因为若F为AK的中点，，所以，
则Rt≌Rt，所以，则，
所以，将代入抛物线，得，
则，又因为，
由勾股定理，得，
则，解得，则焦点，
过点作⊥准线于点，则，
要想求的最小值，需求的最小值，
又因为Q在以为直径的圆上，设圆心为，则，
则直径为，半径，连接，
所以，
则，
所以，当四点共线时，取得最小值，最小值为.
故答案为：.
【分析】先作出辅助线，利用已知条件和两直角三角形全等的判断方法和性质，再结合代入法得到，，由勾股定理得到的值和焦点坐标，再由焦半径公式和圆的性质，从而将所求式子转化为求的最小值求解即可.
15．（2025高二上·长兴月考）已知圆C过曲线与坐标轴的交点.
（1）求圆C的方程；
（2）若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程.
【答案】（1）解：令，则，
令，所以，
解得或，
所以圆C过点，
设圆C的方程为，
所以，解得，
则圆C的方程为，
所以圆C的方程为：.
（2）解：由（1）可知圆C的圆心坐标为，半径，
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，
此时圆心到直线的距离为，不符合条件；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即
此时圆心到直线的距离为，
解得或，
所以直线l的方程为或.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）先求出曲线与坐标轴的交点，再利用已知条件和待定系数法，从而求出圆的标准方程.
（2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况讨论，当斜率存在时，根据圆心到直线的距离等于半径，从而求出直线的斜率，进而得出圆的切线l的方程.
（1）令，则，令，则，解得或，
所以圆C过点，
设圆C的方程为，
所以，解得，
所以圆C的方程为，即；
（2）由（1）可知圆C的圆心坐标为，半径，
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，
此时圆心到直线的距离为，不符合条件；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即
此时圆心到直线的距离为，
解得或，
所以直线l的方程为或.
16．（2025高二上·长兴月考）已知抛物线的准线方程为，焦点为F，是抛物线上的一点，O为坐标原点.
（1）求抛物线C的方程及；
（2）已知直线l与抛物线交于A，B两点，使点恰为的重心，求直线l的斜率k.
【答案】（1）解：因为抛物线的准线方程为，
所以，解得，
又因为抛物线的方程为，
由点在抛物线上，
得，解得，
所以抛物线C的方程为.
（2）解：设，
由点为的重心，
得，
解得，
由点在抛物线上，得，
两式相减，得，
则，
所以直线l的斜率为.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线的准线方程和已知条件求出的值，从而得出抛物线的标准方程，再利用点代入法得出点P的横坐标.
（2）设出点的坐标，利用三角形重心坐标公式求出的值，再将点A的坐标和点B的坐标代入抛物线方程，则根据点差法和两点求斜率公式，从而求出直线l的斜率.
（1）抛物线的准线方程为，则，解得，
抛物线的方程为，由是抛物线上，得，解得，
所以抛物线C的方程为，.
（2）设，由点为的重心，得，
解得，由点在抛物线上，得，
两式相减，得，即，
所以直线l的斜率.
17．（2025高二上·长兴月考）已知数列满足：，，数列的前n项和满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）解：由题意，可知：，
所以
所以，
当时，；
当时，，满足上式，
所以.
（2）解：由（1）可知，
则，
，
所以
，
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件和累加法得出数列的通项公式，再根据的关系式和分类讨论的方法以及检验法，从而得出数列的通项公式.
（2）利用(1)得出的数列的通项公式和数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，再利用错位相减法得出数列的前n项和.
（1）由题可知：，
所以
，
所以；
当时，，
当时，，满足上式，
所以；
（2）；
则，
，
所以
所以.
18．（2025高二上·长兴月考）如图，在四棱锥中，F为棱上一动点（不包含端点），，，.
（1）证明：平面；
（2）若F是靠近点D的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若O是三棱锥外接球的球心，求的最小值.
【答案】（1）证明：在四棱锥中，连接，
由，和余弦定理，
得，
又因为，所以，
由，，
得是正三角形，则，
又因为，所以，
则，
又因为平面，
所以平面.
（2）解：由（1）得平面平面，在平面内过点作，
因为平面平面，所以，直线平面，
则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
由，
得，，
设平面的法向量，
又因为，
所以，
令，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：由（1）知，是的斜边，
则其中点是外接圆圆心，平面，
设，由，
得，
解得，则点，
令，
则，
所以
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
【知识点】空间中两点间的距离公式；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接，利用余弦定理和勾股定理逆定理，从而证出，再利用线面垂直的判定定理，从而证出平面.
（2）由（1）得平面平面，在平面内过点作，再利用线面垂直判定定理得出直线平面，则直线两两垂直，从而建立以点为原点的空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值.
（3）由（2）中的空间直角坐标系确定球心的位置，利用空间两点距离公式求出点的坐标，再设出点坐标，再利用空间两点距离公式列式结合二次型函数求最值的方法，从而求出的最小值.
（1）在四棱锥中，连接，由，及余弦定理，
得，，则，
由，，得是正三角形，，而，
，则，又平面，
所以平面.
（2）由（1）得平面平面，在平面内过点作，
而平面平面，则平面，直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
由，得，，
设平面的法向量，而，
则，令，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由（1）知，是的斜边，则其中点是外接圆圆心，平面，
设，由，得，
解得，点，令，
，
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
19．（2025高二上·长兴月考）已知椭圆的短轴长为2，离心率为，左、右顶点分别为C和D，O为原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆依次相交于不同于D，C的A，B两点.
（ⅰ）求面积的最大值；
（ⅱ）若直线BD与AC交于点G.求证：点G在定直线上.
【答案】（1）解：由椭圆的短轴长为2，
得，
由椭圆的离心率为，
得，解得，
则所求椭圆的标准方程为.
（2）（ⅰ）解：由题意，显然直线不垂直于轴，
设直线AB的方程为，设，
由，消去得，
由，
解得，且，
则的面积为：
，
当且仅当时，即当时取等号，
所以面积的最大值为.
（ⅱ）证明：由（1）得，
由（ⅰ）得，
则直线的方程为，直线的方程为，
所以
，
由，解得，
则直线BD与AC交点G的横坐标为，
所以，点G在定直线上.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合椭圆短轴长定义和椭圆的离心率公式以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出a，b，c的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）（ⅰ）由题意，显然直线不垂直于轴，则设出直线的方程，将直线AB的方程与椭圆方程联立，再结合判别式法和韦达定理以及三角形的面积公式，利用基本不等式求最值的方法，从而求出面积的最大值.
（ⅱ）由（ⅰ）得和，利用点斜式方程得出直线AC的方程和直线BD的方程，再利用已知条件得出直线BD与AC交点G的横坐标，从而证出点G在定直线上.
（1）由椭圆的短轴长为2，得，
由椭圆的离心率为，得，解得，
所以所求椭圆的标准方程为.
（2）（ⅰ）显然直线不垂直于轴，设其方程为，设，
由消去得，
由，解得，且，
则的面积为
，
当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为.
（ⅱ）由（1）得，由（ⅰ）得，
直线的方程为，直线的方程为，
则
，由，解得，
因此直线BD与AC交点G的横坐标为，
所以点G在定直线上.
1 / 1浙江省湖州市长兴县南太湖联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题
1．（2025高二上·长兴月考）已知直线l过点，且倾斜角为60°，则直线l的纵截距为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2025高二上·长兴月考）“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
3．（2025高二上·长兴月考）已知平面经过点，且平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二上·长兴月考）已知是等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．33 B．44 C．55 D．66
5．（2025高二上·长兴月考）在正三棱锥中，棱两两垂直，分别是棱和的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高二上·长兴月考）已知F为抛物线的焦点，，A为抛物线在第一象限上的点，且满足，则点A的横坐标为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．（2025高二上·长兴月考）已知数列满足，，则（ ）
A．1002 B．1023 C．1024 D．1005
8．（2025高二上·长兴月考）已知A，B是双曲线上的两点，是双曲线的左焦点，满足，，，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·长兴月考）点P在圆：上，点Q在圆：上，则（ ）
A．两圆的位置关系为外切
B．的最大值为12
C．两圆公切线段长为
D．两圆相交弦所在直线的方程为
10．（2025高二上·长兴月考）在长方体中，，分别是棱，上的动点（含端点），且，为棱的中点，则（ ）
A．若是棱的中点，则平面
B．若是棱的中点，直线平面
C．线段长度的最大值为
D．若为线段的中点，则的最小值为
11．（2025高二上·长兴月考）已知椭圆，，是左右焦点，在椭圆的上半部分（含端点）上存在n个点，，…，，（，），是右顶点，是左顶点，使得，，…，成为公差是的等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为16
B．当时，n的最大值为14
C．当时，
D．的最小值为
12．（2025高二上·长兴月考）已知数列满足，，则 .
13．（2025高二上·长兴月考）若圆与直线交于A，B两点，则 .
14．（2025高二上·长兴月考）点是抛物线上一点，过焦点的直线交抛物线于，两点，交抛物线的准线于点，若为的中点，，，点在以为直径的圆上，则的最小值为 .
15．（2025高二上·长兴月考）已知圆C过曲线与坐标轴的交点.
（1）求圆C的方程；
（2）若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程.
16．（2025高二上·长兴月考）已知抛物线的准线方程为，焦点为F，是抛物线上的一点，O为坐标原点.
（1）求抛物线C的方程及；
（2）已知直线l与抛物线交于A，B两点，使点恰为的重心，求直线l的斜率k.
17．（2025高二上·长兴月考）已知数列满足：，，数列的前n项和满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
18．（2025高二上·长兴月考）如图，在四棱锥中，F为棱上一动点（不包含端点），，，.
（1）证明：平面；
（2）若F是靠近点D的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若O是三棱锥外接球的球心，求的最小值.
19．（2025高二上·长兴月考）已知椭圆的短轴长为2，离心率为，左、右顶点分别为C和D，O为原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆依次相交于不同于D，C的A，B两点.
（ⅰ）求面积的最大值；
（ⅱ）若直线BD与AC交于点G.求证：点G在定直线上.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：因为直线l倾斜角为60°，所以直线l的斜率为，
则直线l的方程为，
令，得，则直线l的纵截距为.
故答案为：D.
【分析】先利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而得到直线l的斜率，再利用点斜式方程求出直线l的方程，从而求出直线l的纵截距.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，
所以，解得，
所以“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先根据方程表示焦点在x轴上的椭圆，从而得出m的取值范围，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从人而找出正确的选项.
3．【答案】B
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：由，，得.
又因为平面的一个法向量为，
所以，
则点到平面的距离为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件得出向量的坐标，再利用向量的模的坐标表示和数量积的坐标表示，再结合数量积求点到平面的距离公式计算即得.
4．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
5．【答案】A
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，
所以，
设异面直线与所成角大小为，
则.
故答案为：A
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，设，从而求出各点的坐标和向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出异面直线与所成角的余弦值.
6．【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为点F为抛物线的焦点，所以，
又因为A为抛物线在第一象限上的点，设，
所以
又因为，所以，
则，
解得.
故答案为：C.
【分析】利用抛物线方程求出抛物线的焦点，根据得，再利用数量积的坐标表示，从而得出x的值.
7．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，，所以，，
依次可得，，，，，，
则
.
故答案为：B.
【分析】根据得到，，，，，再由等比数列求和公式和对数运算法则计算得出的值.
8．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由，
得双曲线上的两点关于原点对称，
令该双曲线的右焦点为，
则四边形是平行四边形，所以，
由，，得，
令双曲线半焦距为c，由，，
得，
则，解得，
设，则，
消去，得，
由，得，
因此，整理得，
则，
所以双曲线C的离心率.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件结合双曲线的对称性，从而得出，再利用数量积的运算求出的值，再设出点的坐标，利用双曲线方程和三角形面积公式以及已知条件，从而建立a，b，c三者的方程，从而可求出双曲线C的离心率的值.
9．【答案】B,C,D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：对于A，由圆，可知圆心与半径，
由圆，可知圆心与半径，
因为，且，
所以，则两圆相交，故A错误；
对于B，由圆的性质，可知，故B正确；
对于C，由过圆心的半径垂直于切线，
得公切线的长度为，故C正确；
对于D，联立圆方程和圆方程，可得，
则，两式相减，可得，
则相交弦所在直线的方程为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用圆心距与半径差、半径和的大小关系，判断出两圆的位置关系，则判断出选项A；根据圆的性质可得圆上点的位置，再利用几何法求最值的方法，从而得出的最大值，则判断出选项B；根据圆的公切线的性质和勾股定理，从而得出两圆公切线段长，则判断出选项C；联立两圆的方程作差化简，从而得出两圆相交弦所在直线的方程，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】空间中两点间的距离公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：在长方体中，，，，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
∴设，
∵，∴，
若是棱的中点，则，则，
∴，则，
在正方形中，，
又∵平面，平面，
∴，且，平面，平面，
∴平面，
则是平面的一个法向量，
∵，则，
∴平面，故选项A正确；
当是棱的中点时，，，
则，
因为是平面的一个法向量，
又∵不存在实数使得，
所以与不平行，
∴直线与平面不垂直，故选项B错误；
因为，又∵，
∴，
则，故选项C正确；
当为线段的中点时，，
∴，，
则，
∵，∴，
设直线，点在圆上，
则圆心到直线的距离，
∴点到直线的距离，
点到直线的距离，
∵，
∴，故选项D错误.
故答案为：AC.
【分析】在长方体中建立空间直角坐标系，设，由得出的值，由题意结合勾股定理得出的值，从而求出的值，则得到向量，再求得平面的一个法向量，由数量积证出线面平行，则判断出选项A；由已知条件得出向量，再利用空间向量是否平行结合向量共线定理，则判断出选项B；由的值得出的取值范围，则可判断选项C；由题意得出点的坐标，从而得到的坐标，求出的值，再借助圆上的点到直线的最小值得出的最小值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；等差数列的通项公式；椭圆的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：对于A，由椭圆，得，
所以，
则焦点三角形的周长，故A正确；
对于B，由选项A，可得，则，
由等差数列的公差，
得，整理可得，
由，得，解得，
所以的最大值为，故选项B错误；
对于C，由，得，
所以
，故选项C正确；
对于D，由题意，可得，，，
则，令，
求导可得，
令，
由，解得，此时，则，符合题意；
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据椭圆的标准方程结合焦点三角形的性质可判断出选项A；根据椭圆顶点与焦点坐标，再利用等差数列的通项公式数列的单调性，从而得出n的最大值，则判断出选项B；利用已知条件和裂项相消法可判断出选项C；由题意构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，则得出的最小值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
13．【答案】
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由圆，
得圆心，半径.
所以圆心到直线的距离，
由圆的弦长公式，得，
又因为，
由余弦定理，得，
在三角形中，，所以.
故答案为：.
【分析】先由圆的方程得出圆心坐标和半径长，利用弦长公式得出AB的长，再根据和余弦定理以及三角形中的取值范围，从而得出的值.
14．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：过点作⊥轴于点，准线与轴交于点，
因为若F为AK的中点，，所以，
则Rt≌Rt，所以，则，
所以，将代入抛物线，得，
则，又因为，
由勾股定理，得，
则，解得，则焦点，
过点作⊥准线于点，则，
要想求的最小值，需求的最小值，
又因为Q在以为直径的圆上，设圆心为，则，
则直径为，半径，连接，
所以，
则，
所以，当四点共线时，取得最小值，最小值为.
故答案为：.
【分析】先作出辅助线，利用已知条件和两直角三角形全等的判断方法和性质，再结合代入法得到，，由勾股定理得到的值和焦点坐标，再由焦半径公式和圆的性质，从而将所求式子转化为求的最小值求解即可.
15．【答案】（1）解：令，则，
令，所以，
解得或，
所以圆C过点，
设圆C的方程为，
所以，解得，
则圆C的方程为，
所以圆C的方程为：.
（2）解：由（1）可知圆C的圆心坐标为，半径，
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，
此时圆心到直线的距离为，不符合条件；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即
此时圆心到直线的距离为，
解得或，
所以直线l的方程为或.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）先求出曲线与坐标轴的交点，再利用已知条件和待定系数法，从而求出圆的标准方程.
（2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况讨论，当斜率存在时，根据圆心到直线的距离等于半径，从而求出直线的斜率，进而得出圆的切线l的方程.
（1）令，则，令，则，解得或，
所以圆C过点，
设圆C的方程为，
所以，解得，
所以圆C的方程为，即；
（2）由（1）可知圆C的圆心坐标为，半径，
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，
此时圆心到直线的距离为，不符合条件；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即
此时圆心到直线的距离为，
解得或，
所以直线l的方程为或.
16．【答案】（1）解：因为抛物线的准线方程为，
所以，解得，
又因为抛物线的方程为，
由点在抛物线上，
得，解得，
所以抛物线C的方程为.
（2）解：设，
由点为的重心，
得，
解得，
由点在抛物线上，得，
两式相减，得，
则，
所以直线l的斜率为.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线的准线方程和已知条件求出的值，从而得出抛物线的标准方程，再利用点代入法得出点P的横坐标.
（2）设出点的坐标，利用三角形重心坐标公式求出的值，再将点A的坐标和点B的坐标代入抛物线方程，则根据点差法和两点求斜率公式，从而求出直线l的斜率.
（1）抛物线的准线方程为，则，解得，
抛物线的方程为，由是抛物线上，得，解得，
所以抛物线C的方程为，.
（2）设，由点为的重心，得，
解得，由点在抛物线上，得，
两式相减，得，即，
所以直线l的斜率.
17．【答案】（1）解：由题意，可知：，
所以
所以，
当时，；
当时，，满足上式，
所以.
（2）解：由（1）可知，
则，
，
所以
，
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件和累加法得出数列的通项公式，再根据的关系式和分类讨论的方法以及检验法，从而得出数列的通项公式.
（2）利用(1)得出的数列的通项公式和数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，再利用错位相减法得出数列的前n项和.
（1）由题可知：，
所以
，
所以；
当时，，
当时，，满足上式，
所以；
（2）；
则，
，
所以
所以.
18．【答案】（1）证明：在四棱锥中，连接，
由，和余弦定理，
得，
又因为，所以，
由，，
得是正三角形，则，
又因为，所以，
则，
又因为平面，
所以平面.
（2）解：由（1）得平面平面，在平面内过点作，
因为平面平面，所以，直线平面，
则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
由，
得，，
设平面的法向量，
又因为，
所以，
令，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：由（1）知，是的斜边，
则其中点是外接圆圆心，平面，
设，由，
得，
解得，则点，
令，
则，
所以
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
【知识点】空间中两点间的距离公式；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接，利用余弦定理和勾股定理逆定理，从而证出，再利用线面垂直的判定定理，从而证出平面.
（2）由（1）得平面平面，在平面内过点作，再利用线面垂直判定定理得出直线平面，则直线两两垂直，从而建立以点为原点的空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值.
（3）由（2）中的空间直角坐标系确定球心的位置，利用空间两点距离公式求出点的坐标，再设出点坐标，再利用空间两点距离公式列式结合二次型函数求最值的方法，从而求出的最小值.
（1）在四棱锥中，连接，由，及余弦定理，
得，，则，
由，，得是正三角形，，而，
，则，又平面，
所以平面.
（2）由（1）得平面平面，在平面内过点作，
而平面平面，则平面，直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
由，得，，
设平面的法向量，而，
则，令，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由（1）知，是的斜边，则其中点是外接圆圆心，平面，
设，由，得，
解得，点，令，
，
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
19．【答案】（1）解：由椭圆的短轴长为2，
得，
由椭圆的离心率为，
得，解得，
则所求椭圆的标准方程为.
（2）（ⅰ）解：由题意，显然直线不垂直于轴，
设直线AB的方程为，设，
由，消去得，
由，
解得，且，
则的面积为：
，
当且仅当时，即当时取等号，
所以面积的最大值为.
（ⅱ）证明：由（1）得，
由（ⅰ）得，
则直线的方程为，直线的方程为，
所以
，
由，解得，
则直线BD与AC交点G的横坐标为，
所以，点G在定直线上.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合椭圆短轴长定义和椭圆的离心率公式以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出a，b，c的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）（ⅰ）由题意，显然直线不垂直于轴，则设出直线的方程，将直线AB的方程与椭圆方程联立，再结合判别式法和韦达定理以及三角形的面积公式，利用基本不等式求最值的方法，从而求出面积的最大值.
（ⅱ）由（ⅰ）得和，利用点斜式方程得出直线AC的方程和直线BD的方程，再利用已知条件得出直线BD与AC交点G的横坐标，从而证出点G在定直线上.
（1）由椭圆的短轴长为2，得，
由椭圆的离心率为，得，解得，
所以所求椭圆的标准方程为.
（2）（ⅰ）显然直线不垂直于轴，设其方程为，设，
由消去得，
由，解得，且，
则的面积为
，
当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为.
（ⅱ）由（1）得，由（ⅰ）得，
直线的方程为，直线的方程为，
则
，由，解得，
因此直线BD与AC交点G的横坐标为，
所以点G在定直线上.
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