广东省衡水金卷2025-2026学年高一上学期12月联考数学试题
1．（2025高一上·广东月考）已知命题，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解： 命题，则 .
故答案为：C.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
2．（2025高一上·广东月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，即集合，
要使函数有意义，则，解得，即集合，
则.
故答案为：B.
【分析】根据对数、偶次根式有意义列式分别求定义域，求得集合A、B，再根据集合的补集的定义求解即可.
3．（2025高一上·广东月考）在中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：易知，，
则最大的数是.
故答案为：A．
【分析】根据幂指数运算分别求值，再比较即可．
4．（2025高一上·广东月考）下列命题为真命题的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“”是“成立”的充分不必要条件
D．“”是“成立”的必要不充分条件
【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】A、指数函数单调递增，则，即是的充要条件，故A错误；
B、由，可得，当时，根式不成立、则是的充分不必要条件，故B错误；
C、指数函数单调递减，，则是的既不充分又不必要条件，故C错误；
D、对数函数在上单调递增，，则是的必要不充分条件，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据指数函数、对数函数单调性，结合充分、必要条件的概念逐项判断即可.
5．（2025高一上·广东月考）已知，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：，两边平方，整理得，
再平方，整理得，
则.
故答案为：B.
【分析】将两边平方整理可得，再平方得，最后结合立方和公式求解即可.
6．（2025高一上·广东月考）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，解得，即，
令，即，令，即，
在同一平面直角坐标系中画出的图象，如图所示：
由图象知：，则.
故答案为：B.
【分析】令求零点确定，再分别令，，问题转化为的图象交点的横坐标，作出图形，数形结合判断大小即可.
7．（2025高一上·广东月考）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，，
则，
当且仅当，即时取等号，
若不等式恒成立，则，即，解得，
则实数的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】利用基本不等式求的最值，将问题转化为，即，解不等式可得的取值范围.
8．（2025高一上·广东月考）若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解： 函数单调递增 ，则，解得；
在处，，化简可得，解得；
在处，，化简可得，此式恒成立，
综上所述，，即实数的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】由分段函数各段均单调递增结合指对函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系列出不等式组求解即可.
9．（2025高一上·广东月考）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
-2 -1 0 1 2 3
16.1 -0.01 -4.92 -5.5 2.4 -3.2
则函数一定有零点的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：A、，，因为，所以函数在上存在零点，故A正确；
B、，，因为，所以函数在上不存在零点，故B错误；
C、，，因为，所以函数在上存在零点，故C正确；
D、，，因为，所以函数在上存在零点，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，根据零点存在性定理判断即可.
10．（2025高一上·广东月考）与函数的图象关于直线对称的函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解： 与函数的图象关于直线对称的函数，即函数的反函数定义域为，
A、函数的定义域为，故A错误；
B、函数的定义域为，且，故B正确；
C、函数的定义域为，且，故C正确；
D、函数的定义域为，且，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】易知与函数的图象关于直线对称的函数为，定义域为，逐项求函数的定义域，根据对数的运算法则化简判断即可.
11．（2025高一上·广东月考）若定义在上的函数满足，且为偶函数，在区间上，对有，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数的图象关于成中心对称
B．当时，
C．在区间上，为减函数
D．
【答案】A,B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、由，可得，则，
即的图象关于成中心对称，故A正确；
由为偶函数，可得，则的图象关于直线对称 ，结合A可知：函数是周期为的函数，，
因为，所以，所以，所以，
所以的图象关于直线对称，所以，故D错误；
在中，令得，所以，
因为的图象关于直线对称，所以，
在区间上，因为对有，所以在区间上单调递减，
因为的图象关于直线对称，所以在区间上单调递增，
由可知时，，故B正确；
因为函数在区间上单调递减，且的图象关于对称，
所以在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递减，
因为的图象关于直线对称，所以函数在区间上单调递增，
又，所以函数在区间上单调递增，故C错误.
故答案为：AB.
【分析】由，可得求对称中心即可判断A；由函数为偶函数，求得函数的对称轴，结合A选项可知函数是周期为8的周期函数，再判断出的图象关于对称，即可判断D；根据的取值，结合的单调性即可判断B；根据的图象在上的单调性以及的对称性和周期性即可判断C.
12．（2025高一上·广东月考）设，则，且 .
【答案】0
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：函数，
则.
故答案为：0.
【分析】根据函数解析式直接代入化简即可.
13．（2025高一上·广东月考）已知，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：当时，由，解得，矛盾，舍去；
当时，由，解得，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】分和讨论，结合对数函数的单调性解不等式即可.
14．（2025高一上·广东月考）已知二次函数在上具有单调性，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；二次函数的性质
【解析】【解答】解：易知二次函数的对称轴为，
因为函数在上具有单调性，所以或，
当，可得，即，即，解得；
当 ，可得，即，即，解得或，
综上可得：或或，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先求二次函数的对称轴，根据二次函数在给定区间上具有单调性，列不等式求解即可.
15．（2025高一上·广东月考）已知集合，集合，集合.
（1）求；
（2）已知命题，命题，命题，若这三个命题中有且仅有一个为真命题，求的取值范围.
【答案】（1）解：易知集合，
解不等式，可得或，即集合或，
解不等式，可得或，即集合或，
则，或；
（2）解：若只有p为真命题，则，，，即，解得；
若只有q为真命题，则，，，即，解得；
若只有r为真命题，则，，，即，无解，
综上，.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；命题的真假判断与应用；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）分别解不等式求得集合，再根据集合的交集、并集运算求解即可；
（2）分只有p为真命题、只有q为真命题和只有r为真命题三种情况讨论，结合元素和集合的关系列不等式求解即可.
（1）由题意可得，或，或
所以.或.
（2）若只有p为真命题，则，，，得，则；
若只有q为真命题，则，，，得，则；
若只有r为真命题，则，，，得，无解；
综上，.
16．（2025高一上·广东月考）已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值集合.
【答案】（1）解：函数 是定义在上的奇函数，则，
当时，，，
因为函数为奇函数，所以，
则；
（2）解：由（1）可知：当时，，；
当时，，，
不等式，即或，
即或，解得或，
即不等式的解集为或.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）函数 是定义在上的奇函数，则，再由题意，利用函数为奇函数求时的解析式，即可得函数的解析式；
（2）由（1）的解析式，分别判断函数在各区间内的函数值范围，分别解不等式即可.
（1）由已知当时，，
当时，，则，
又函数为奇函数，
则当时，，
且当时，，
综上所述；
（2）由（1）可得当时，，此时，
当时，，此时，
又不等式，即或，
所以或，
解得或，
即不等式的解集为或.
17．（2025高一上·广东月考）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.
（1）当一条鱼的游速是时，它的耗氧量是多少个单位？
（2）现有甲 乙两条鲑鱼均由地向地直线游动，其中鲑鱼乙在鲑鱼甲正后方10米处，已知乙鲑鱼的耗氧量为24300个单位，甲鲑鱼的耗氧量为8100个单位，若这两条鱼的耗氧量均不变，且游的方向不变，乙鲑鱼将在多少秒后追上甲鲑鱼？
【答案】（1）解：当时，，即，
则，得个单位；
（2）解：当时，，
当时，，
即乙鲑鱼的速度为，甲鲑鱼的速度为，速度差为，
因为两鱼相差10米，所以乙鲑鱼将在20秒后追上甲鲑鱼.
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【分析】（1）当时，，利用指、对互化解对数方程即可；
（2）由题意，分解求出、时的速度，再根据距离差求解即可.
（1）当时，，即，
则，得个单位；
（2）当时，.
当时，，
即乙鲑鱼的速度为，甲鲑鱼的速度为，速度差为，
因为两鱼相差10米，所以乙鲑鱼将在20秒后追上甲鲑鱼.
18．（2025高一上·广东月考）某公司生产电子仪器的固定成本为180000元，每生产一台仪器需增加投入200元，通过对该公司今年的生产经营状况的调查，得到总收入（单位：元）与月产量（单位：台）（受场地及生产规模等的影响，故）的部分数据如下表：
200 700 1000
240000 415000 400000
（1）根据上表中的数据，从且，，且）（这里的都是常数）三个函数模型中选取一个恰当的模型描述与的变化关系，并说明理由；
（2）利用表中的数据求出（1）中选择的函数模型，并由此模型求：
（i）当月产量为多少时，总收入最大？最大值为多少？
（ii）当月产量为多少时，每件产品的利润最大？最大利润为多少元？（利润=总收入-总成本）
【答案】（1）解：函数且，且都是单调函数，
由表格中的数据知，描述每月总收入R与月产量的变化关系不是单调函数，
则应选取二次函数进行描述；
（2）解：由题意可得，解得，
则，
（i），则当时，取最大值，最大值为420000元；
（ii）利润，
每件产品的利润为，
当时等号成立，故当时，每件产品的利润最大，每件产品的利润最大为200元.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；“对数增长”模型；“指数爆炸”模型；二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据函数的单调性，结合数据中与的变化关系选则即可；
（2）（i）根据表中数据，利用待定系数法求出解析式，结合一元二次函数求最值即可；
（ii）先表示利润，再利用基本不等式求每件产品的利润的最值即可.
（1）因为且，且都是单调函数，
由表格中的数据知，描述每月总收入R与月产量的变化关系不是单调函数，
所以应选取二次函数进行描述.
（2）将点，代入，
可得，解得，
所以，
（i），
所以当时，取最大值，最大值为420000元.
（ii）利润
.
每件产品的利润为
，
等号成立时，
故当时，每件产品的利润最大，每件产品的利润最大为200元.
19．（2025高一上·广东月考）已知函数是定义在上的偶函数.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数在上的单调性；
（3）已知，若，不等式成立，且，使不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为函数是定义在上的偶函数，所以，
则，即，解得，
即，
则；
（2）证明：函数在上单调递增，
由（1）可知：，，且，
则，
因为，所以所以，，所以，
即，故函数在上单调递增；
（3）解：因为的定义域关于原点对称，是偶函数，所以，所以是偶函数，
当时，，，，所以，
当时，，，，所以，
所以，不等式可化为，
因为当时，，由指数函数性质得在上单调递减，
所以对任意恒成立，即对恒成立，
左右同时平方得对恒成立，
则，解得，
因为函数为偶函数，所以，
又因为函数在上单调递增，，，
所以，解得，
综上，实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）由函数为偶函数，可得，求出，确定函数的解析式，再求即可；
（2）利用函数单调性的定义证明即可；
（3）由题意，利用奇偶性和单调性的定义，证明函数为偶函数，在上单调递减，再利用函数奇偶性和单调性将式子转化为不等式恒成立和能成立问题求解即可.
（1）因为函数是定义在上的偶函数，则，
又，所以，即，所以，
所以，
所以.
（2）函数在上单调递增，
由（1）可知，任取，
则，
因为，所以所以，，所以，
即，所以函数在上单调递增.
（3）因为的定义域关于原点对称，是偶函数，
所以，所以是偶函数，
当时，，，，所以，
当时，，，，所以，
所以，不等式可化为，
因为当时，，由指数函数性质得在上单调递减，
所以对任意恒成立，即对恒成立，
左右同时平方得对恒成立.
则有，解得，
因为函数为偶函数，
所以，
又函数在上单调递增，，，
所以，解得.
综上，的取值范围是.
1 / 1广东省衡水金卷2025-2026学年高一上学期12月联考数学试题
1．（2025高一上·广东月考）已知命题，则为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·广东月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高一上·广东月考）在中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高一上·广东月考）下列命题为真命题的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“”是“成立”的充分不必要条件
D．“”是“成立”的必要不充分条件
5．（2025高一上·广东月考）已知，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
6．（2025高一上·广东月考）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·广东月考）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高一上·广东月考）若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·广东月考）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
-2 -1 0 1 2 3
16.1 -0.01 -4.92 -5.5 2.4 -3.2
则函数一定有零点的区间为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高一上·广东月考）与函数的图象关于直线对称的函数为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025高一上·广东月考）若定义在上的函数满足，且为偶函数，在区间上，对有，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数的图象关于成中心对称
B．当时，
C．在区间上，为减函数
D．
12．（2025高一上·广东月考）设，则，且 .
13．（2025高一上·广东月考）已知，则实数的取值范围为 .
14．（2025高一上·广东月考）已知二次函数在上具有单调性，则实数的取值范围为 .
15．（2025高一上·广东月考）已知集合，集合，集合.
（1）求；
（2）已知命题，命题，命题，若这三个命题中有且仅有一个为真命题，求的取值范围.
16．（2025高一上·广东月考）已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值集合.
17．（2025高一上·广东月考）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.
（1）当一条鱼的游速是时，它的耗氧量是多少个单位？
（2）现有甲 乙两条鲑鱼均由地向地直线游动，其中鲑鱼乙在鲑鱼甲正后方10米处，已知乙鲑鱼的耗氧量为24300个单位，甲鲑鱼的耗氧量为8100个单位，若这两条鱼的耗氧量均不变，且游的方向不变，乙鲑鱼将在多少秒后追上甲鲑鱼？
18．（2025高一上·广东月考）某公司生产电子仪器的固定成本为180000元，每生产一台仪器需增加投入200元，通过对该公司今年的生产经营状况的调查，得到总收入（单位：元）与月产量（单位：台）（受场地及生产规模等的影响，故）的部分数据如下表：
200 700 1000
240000 415000 400000
（1）根据上表中的数据，从且，，且）（这里的都是常数）三个函数模型中选取一个恰当的模型描述与的变化关系，并说明理由；
（2）利用表中的数据求出（1）中选择的函数模型，并由此模型求：
（i）当月产量为多少时，总收入最大？最大值为多少？
（ii）当月产量为多少时，每件产品的利润最大？最大利润为多少元？（利润=总收入-总成本）
19．（2025高一上·广东月考）已知函数是定义在上的偶函数.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数在上的单调性；
（3）已知，若，不等式成立，且，使不等式成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解： 命题，则 .
故答案为：C.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
2．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，即集合，
要使函数有意义，则，解得，即集合，
则.
故答案为：B.
【分析】根据对数、偶次根式有意义列式分别求定义域，求得集合A、B，再根据集合的补集的定义求解即可.
3．【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：易知，，
则最大的数是.
故答案为：A．
【分析】根据幂指数运算分别求值，再比较即可．
4．【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】A、指数函数单调递增，则，即是的充要条件，故A错误；
B、由，可得，当时，根式不成立、则是的充分不必要条件，故B错误；
C、指数函数单调递减，，则是的既不充分又不必要条件，故C错误；
D、对数函数在上单调递增，，则是的必要不充分条件，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据指数函数、对数函数单调性，结合充分、必要条件的概念逐项判断即可.
5．【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：，两边平方，整理得，
再平方，整理得，
则.
故答案为：B.
【分析】将两边平方整理可得，再平方得，最后结合立方和公式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，解得，即，
令，即，令，即，
在同一平面直角坐标系中画出的图象，如图所示：
由图象知：，则.
故答案为：B.
【分析】令求零点确定，再分别令，，问题转化为的图象交点的横坐标，作出图形，数形结合判断大小即可.
7．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，，
则，
当且仅当，即时取等号，
若不等式恒成立，则，即，解得，
则实数的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】利用基本不等式求的最值，将问题转化为，即，解不等式可得的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解： 函数单调递增 ，则，解得；
在处，，化简可得，解得；
在处，，化简可得，此式恒成立，
综上所述，，即实数的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】由分段函数各段均单调递增结合指对函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系列出不等式组求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：A、，，因为，所以函数在上存在零点，故A正确；
B、，，因为，所以函数在上不存在零点，故B错误；
C、，，因为，所以函数在上存在零点，故C正确；
D、，，因为，所以函数在上存在零点，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，根据零点存在性定理判断即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解： 与函数的图象关于直线对称的函数，即函数的反函数定义域为，
A、函数的定义域为，故A错误；
B、函数的定义域为，且，故B正确；
C、函数的定义域为，且，故C正确；
D、函数的定义域为，且，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】易知与函数的图象关于直线对称的函数为，定义域为，逐项求函数的定义域，根据对数的运算法则化简判断即可.
11．【答案】A,B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、由，可得，则，
即的图象关于成中心对称，故A正确；
由为偶函数，可得，则的图象关于直线对称 ，结合A可知：函数是周期为的函数，，
因为，所以，所以，所以，
所以的图象关于直线对称，所以，故D错误；
在中，令得，所以，
因为的图象关于直线对称，所以，
在区间上，因为对有，所以在区间上单调递减，
因为的图象关于直线对称，所以在区间上单调递增，
由可知时，，故B正确；
因为函数在区间上单调递减，且的图象关于对称，
所以在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递减，
因为的图象关于直线对称，所以函数在区间上单调递增，
又，所以函数在区间上单调递增，故C错误.
故答案为：AB.
【分析】由，可得求对称中心即可判断A；由函数为偶函数，求得函数的对称轴，结合A选项可知函数是周期为8的周期函数，再判断出的图象关于对称，即可判断D；根据的取值，结合的单调性即可判断B；根据的图象在上的单调性以及的对称性和周期性即可判断C.
12．【答案】0
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：函数，
则.
故答案为：0.
【分析】根据函数解析式直接代入化简即可.
13．【答案】
【知识点】指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：当时，由，解得，矛盾，舍去；
当时，由，解得，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】分和讨论，结合对数函数的单调性解不等式即可.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；二次函数的性质
【解析】【解答】解：易知二次函数的对称轴为，
因为函数在上具有单调性，所以或，
当，可得，即，即，解得；
当 ，可得，即，即，解得或，
综上可得：或或，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先求二次函数的对称轴，根据二次函数在给定区间上具有单调性，列不等式求解即可.
15．【答案】（1）解：易知集合，
解不等式，可得或，即集合或，
解不等式，可得或，即集合或，
则，或；
（2）解：若只有p为真命题，则，，，即，解得；
若只有q为真命题，则，，，即，解得；
若只有r为真命题，则，，，即，无解，
综上，.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；命题的真假判断与应用；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）分别解不等式求得集合，再根据集合的交集、并集运算求解即可；
（2）分只有p为真命题、只有q为真命题和只有r为真命题三种情况讨论，结合元素和集合的关系列不等式求解即可.
（1）由题意可得，或，或
所以.或.
（2）若只有p为真命题，则，，，得，则；
若只有q为真命题，则，，，得，则；
若只有r为真命题，则，，，得，无解；
综上，.
16．【答案】（1）解：函数 是定义在上的奇函数，则，
当时，，，
因为函数为奇函数，所以，
则；
（2）解：由（1）可知：当时，，；
当时，，，
不等式，即或，
即或，解得或，
即不等式的解集为或.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）函数 是定义在上的奇函数，则，再由题意，利用函数为奇函数求时的解析式，即可得函数的解析式；
（2）由（1）的解析式，分别判断函数在各区间内的函数值范围，分别解不等式即可.
（1）由已知当时，，
当时，，则，
又函数为奇函数，
则当时，，
且当时，，
综上所述；
（2）由（1）可得当时，，此时，
当时，，此时，
又不等式，即或，
所以或，
解得或，
即不等式的解集为或.
17．【答案】（1）解：当时，，即，
则，得个单位；
（2）解：当时，，
当时，，
即乙鲑鱼的速度为，甲鲑鱼的速度为，速度差为，
因为两鱼相差10米，所以乙鲑鱼将在20秒后追上甲鲑鱼.
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【分析】（1）当时，，利用指、对互化解对数方程即可；
（2）由题意，分解求出、时的速度，再根据距离差求解即可.
（1）当时，，即，
则，得个单位；
（2）当时，.
当时，，
即乙鲑鱼的速度为，甲鲑鱼的速度为，速度差为，
因为两鱼相差10米，所以乙鲑鱼将在20秒后追上甲鲑鱼.
18．【答案】（1）解：函数且，且都是单调函数，
由表格中的数据知，描述每月总收入R与月产量的变化关系不是单调函数，
则应选取二次函数进行描述；
（2）解：由题意可得，解得，
则，
（i），则当时，取最大值，最大值为420000元；
（ii）利润，
每件产品的利润为，
当时等号成立，故当时，每件产品的利润最大，每件产品的利润最大为200元.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；“对数增长”模型；“指数爆炸”模型；二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据函数的单调性，结合数据中与的变化关系选则即可；
（2）（i）根据表中数据，利用待定系数法求出解析式，结合一元二次函数求最值即可；
（ii）先表示利润，再利用基本不等式求每件产品的利润的最值即可.
（1）因为且，且都是单调函数，
由表格中的数据知，描述每月总收入R与月产量的变化关系不是单调函数，
所以应选取二次函数进行描述.
（2）将点，代入，
可得，解得，
所以，
（i），
所以当时，取最大值，最大值为420000元.
（ii）利润
.
每件产品的利润为
，
等号成立时，
故当时，每件产品的利润最大，每件产品的利润最大为200元.
19．【答案】（1）解：因为函数是定义在上的偶函数，所以，
则，即，解得，
即，
则；
（2）证明：函数在上单调递增，
由（1）可知：，，且，
则，
因为，所以所以，，所以，
即，故函数在上单调递增；
（3）解：因为的定义域关于原点对称，是偶函数，所以，所以是偶函数，
当时，，，，所以，
当时，，，，所以，
所以，不等式可化为，
因为当时，，由指数函数性质得在上单调递减，
所以对任意恒成立，即对恒成立，
左右同时平方得对恒成立，
则，解得，
因为函数为偶函数，所以，
又因为函数在上单调递增，，，
所以，解得，
综上，实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）由函数为偶函数，可得，求出，确定函数的解析式，再求即可；
（2）利用函数单调性的定义证明即可；
（3）由题意，利用奇偶性和单调性的定义，证明函数为偶函数，在上单调递减，再利用函数奇偶性和单调性将式子转化为不等式恒成立和能成立问题求解即可.
（1）因为函数是定义在上的偶函数，则，
又，所以，即，所以，
所以，
所以.
（2）函数在上单调递增，
由（1）可知，任取，
则，
因为，所以所以，，所以，
即，所以函数在上单调递增.
（3）因为的定义域关于原点对称，是偶函数，
所以，所以是偶函数，
当时，，，，所以，
当时，，，，所以，
所以，不等式可化为，
因为当时，，由指数函数性质得在上单调递减，
所以对任意恒成立，即对恒成立，
左右同时平方得对恒成立.
则有，解得，
因为函数为偶函数，
所以，
又函数在上单调递增，，，
所以，解得.
综上，的取值范围是.
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