安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)

定远县育才学校2025-2026学年九年级（上）期末
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.对于线段，，如果：：，那么下列四个选项一定正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，、、、是在上的四个点，是直径，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，有一个亭子，它的地基是正六边形，其外接圆的半径为，则该亭子地基的面积为( )
A. B. C. D.
6.如图，在边长为的正方形网格中，点，，，，都在小正方形顶点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示添加的辅助线，可以得到的值等于( )
A. B. C. D.
7.对称轴为直线的抛物线为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：；；；；为任意实数，其中正确结论的个数是( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
8.如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在 中，延长至点，使，连接交于点，交于点，则的值是( )
A. B. C. D.
10.如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知抛物线，若抛物线的函数值为，则的取值范围是 ．
12.如图，线段的长是，点和点均为线段的黄金分割点，那么线段的长是 ．
13.如图，内接于，，，为上一动点，直线于，当点从点沿运动到点时，点所经过的路径长为 ．
14.如图，将一把矩形直尺和一块等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，在轴上，点与点重合，点在上，交于点已知反比例函数的图象恰好经过点、，若直尺的宽，三角板的斜边，则 ．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：．
16.本小题分
如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点顶点为网格线的交点，为过网格线的一条直线．
画出关于直线对称的；
将绕点顺时针旋转得到，画出；
填空：的面积为______．
17.本小题分
月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能如图是某园林中的一处月洞门，门洞的形状为圆弧形如图是该月洞门的几何示意图，设该弧所在圆的圆心为，过点作，为垂足，与该弧交于点测得弦，求这个月洞门所在圆的半径．
18.本小题分
如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，．
求证：平分；
若，，求的长．
19.本小题分
株洲市清水塘大桥于年月日正式通车，弧形设计的清水塘大桥在两岸公园的映衬下，被株洲市民称之为“湘江最美大桥”，它是株洲市内第八座跨江大桥，桥梁的跨度为米，也称“八桥”，某天小红和小明在“八桥”左岸边点处游玩，如图此时他们发现桥梁左岸支座点在正西方向，桥梁的右岸支座点在北偏西方向，然后他们继续沿着河岸方向游玩到达点，这时他们观测到桥梁的右岸支座点在北偏西方向求此过程中他们游玩路径的长度？结果精确到米，参考数据：，
20.本小题分
如图，在中，，点在边上，以为直径作，交的延长线于点，连接，若切于点．
求证：；
若，，求半径的长．
21.本小题分
和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
如图，当点在线段上，且时，求证：；
如图，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时的长．
22.本小题分
已知：如图，抛物线经过轴上的两点，和轴上的点的圆心在轴上，且经过，两点若．
求抛物线的解析式．
设点在抛物线上，且，两，点关于抛物线的对称轴对称，问直线是否经过圆心，并说明理由．
设直线交于另一点，求经过点的的切线的解析式．
23.本小题分
在中，将绕点顺时针方向旋转得到，连接．
如图，若，，，求的长；
如图，连接，点为中点，连接，过点作，垂足为过点作的垂线交直线于点，猜想与之间的数量关系，并证明；
如图，连接，点为中点，点是的中点，连接，点是直线上一动点，连接当取最大值时，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接若，，直接写出此条件下的最小值．
答 案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11.或
12.
13.
14.
15.解：原式

．
16.解：关于直线对称的，如图即为所求；
绕点顺时针旋转得到，如图即为所求；
，
故答案为：．
17.解：如图，连接，设的半径为，则，，
，
，，，
在直角中，由勾股定理得：，
，
解得：
答：这个月洞门所在圆的半径为．
18. 证明：，
，
，
，
，
平分；
解：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
19.解：，，
是等腰直角三角形，
米，
在中，，
又，
，
，
米，
答：他们游玩的路径的长度为米．
20.解：切于点，
，，即，
，
，
，即，
又，
，
，
；
中，，，
，则，
设，
在中，，即，
若，，求半径的．
21.（1）证明：是等腰直角三角形，
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
；
（2）和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
，，
，
．
22.解：抛物线经过轴上的点，
将点的坐标代入得：．
又，
令，
，，
，
，
解得：，
，
抛物线的解析式是；
直线经过圆心理由如下：
由得抛物线的对称轴为直线，
，，
抛物线经过轴上的两点，，
当时，得：，
解得：，
，
，
设直线的解析式为，将点，点的坐标分别代入得：
，
解得：，
直线的解析式为．
设的半径为．
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
，
点的坐标满足，
直线经过圆心；
如图，过点作轴于点，则．
在和中，
，
≌，
．
在直角三角形中，由勾股定理得：，
记经过点的的切线交轴于点，则，
又，
∽，
，
，即，
解得：，
，
，
设过点的的切线为将点，点的坐标分别代入得：
解得：
过点的的切线的解析式为．
23.解：过点作，

由题可知：，，
则根据勾股定理：，
得：，
，
，，，
，，
，
则根据勾股定理：，
，
；
；
证明：在上取一点，使得，连接，

由题可知，，
，
在和中，
，
≌，
，
点为中点，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
根据题意可得图，，，
可得，，
取的中点，连接，，

为的中位线，
，
为的中位线，
，
在中，，
当，，三点共线时，取最大值，，
如图所示，

此时，，
，
，
过点作的延长线交于点，过点作，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
点为中点，

，
，
由题可知，和全等，
，
当，，三点共线的时候，取得最小值，则．