广东省广州市2025-2026学年第一学期高二期末教学质量检测数学A卷（PDF版，含答案）

2025—2026学年第一学期期末教学质量检测
高二数学(A卷)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知空间向量m=(2,-1,1),n=(4,-2,x),若ml/n,则x=( )
A.-5 B.-3 C.2 D.4
2.已知双曲线C的一条渐近线的斜率为12,且焦点在x轴上，则C的离心率为( )
^3 B.5 c D
3. 已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为1,以A为原点， {AB,AD,AA,}为单位正交基底，建立空间直
角坐标系，则平面A BD的一个法向量是( )
A.(1,1,1) B.(1,1,-1) c. (1,-1,1) D.(-1,1,1)
4.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1有两个公共点，则点P(a,b)与圆的位置关系是( )
A.点P在圆上 B.点P在圆外 C.点P在圆内 D.以上都有可能
5.我国古代数学名著《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖
膈。阳马居二，鳖膈居一，不易之率也.”若由棱长为1的正方体ABCD-A B C D 斜解得到堑堵
AA B -DD C ,则直线AB 到平面DA C 的距离为( )
A. B35 c D
6.数列{a)}满足a =2,a+=ma +(3-m)(n∈N°,meR),则“m=3”是“数列{a,}成等比数列”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知数列{a,},对任意的n∈N°,满足圆x2+y2-2a,x-2a+y=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的
公共弦长为4.记数列{a }的前n项和为S,则S2026=( )
A.6078 B. 5065 C.4052 D. 3039
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8.在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC,且AC=6,PA+PC=6√2,AB=2BC,则三棱
锥P-ABC体积的最大值为( )
A.12 B. 12√2 C.24 D. 24√2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知数列{a }是公比为9的等比数列，且a =2,a =8,则( )
A. q=2 B.a =32 C. a=2”- D.azn=2-1
10.已知圆C:(x-a)2+y2=1,直线l:x-y+2=0,记直线l与y轴交点为A,则( )
A.若直线l与圆C相切，则a=√2-2
B.若直线I被圆C截得的弦长为2,则a=-2
C.不存在a,使圆C上有三个点到直线I的距离都为1
D.由点A向圆C作切线，则切线长的最小值为√3
11.在棱长为1的正方体ABCD-ABC D 中，点P满足BP=λBC+μBB ,其中λe[0,1],μ∈[0,1],
则( )
A.若λ=1,则平面AB P⊥平面BA D C
B.若μ=2,,有且仅有一个点P,使得A C⊥平面AB P
C.若μ=λ,则异面直线D P和AB 所成角的取值范围是[4分
D.若AP与平面BB C C所成角为元一4,则动点P的轨迹长为π一2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
—12._已.知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为8,到y轴的距离为6,则p=
13.已知等差数列{a}满足a =2,a,=-5,则{a,}的通项公式an=____;记c =2°,则c C Ca
的最大值为___.
14.已知点M(x ,2-x ),若圆x2+y2=2上存在两点A、B,使得∠AMB=60°,则x 的取值范围是
—_·
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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知圆C经过A(-1,0),B(2,-3)两点，且圆心C在x轴上.
(1)求圆C的方程；
(2)求与圆C关于直线l:x-y+1=0对称的圆的方程.
16.记S,为等比数列{an}的前n项和，已知3S,+a+=1.
(1)求{a。}的通项公式：
(2)设b =(-1)" nan,求数列{b}的前n项和T.
17.已知椭圆+2=I(a>b>0)的离心率为12,左、右焦点分别为F,F ,|FF |=2,过点F 且斜
率为k的直线，与y轴相交于点E,与椭圆相交于C,D两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)当k=2求△F CD的面积；
(3)若FC=DE,求k的值.
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18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD,E,F分别是棱AD,PD
上的动点.
P
F
A E D
B C
(1)当F是棱PD的中点，证明：PB//平面AFC;
(2)当∠PAD=120°,PA=AD=2AB=2,且AE=DF=a.
(I)若BE⊥PC,求a的值；
(Ⅱ)当四棱锥B-PAEF的体积最小时，求平面PEC与平面PDC的夹角的余弦值.
19.已知动点P(x,y)与定点(2,0)的距离和它到定直线l:x=1的距离的比是常数√2.记动点P的轨迹
为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知点P的坐标为(2),按照如下方式依次构造点P,(n=2,3 );过P作斜率为1_2的直
线与曲线C的右支交于点Q 1,令P 为Q 关于y轴的对称点.记P的坐标为(xn,y).
(I)证明：数列{x +yn}是等比数列；
(IⅡ)设S 为△P,P+Pn+2的面积，证明：对任意正整数n, S =S+1·
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2025—2026学年第一学期期末教学质量检测
高二数学(A卷)参考答案
1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.A 7.D 8.A 9.BD 10.BCD 11.ACD
12.4 13.①.4-n ②.64 14.[1-J3,1+√3]
11.解：以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD 为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.
Z个
D C
A B
P
D. C y
A B
发
对于A:在正方体中，易知D A⊥平面ABB A,因为AB C平面ABB A,
故D A⊥AB ,在正方形ABB A 中，易知AB⊥AB ,
又因为D A ∩A B=A,D A,A Bc平面BA D C,
故AB ⊥平面BA D C,又因为AB C平面AB P,
故平面AB P⊥平面BAD C,故A正确；
对于B:易知AC=(-1,1,-1),AB =(0,1,1),BC=(-1,0,0),BB =(0,0,1),
故BP=λBC+μBB =(-2,0,μ),若μ=2,则BP=(-2,0,),
AP=AB+BP=(0,1,0+(-7,0,)=(-,.12),
若A C⊥平面AB P,则必有A C⊥AP,得A C·AP=0,
即λ十去=0,得=-2,而λ∈[0,1],故不存在满足条件的P,故B错误；
对于C:由B可知，BP=λBC+μBB =(-2,0,μ),若μ=λ,则BP=λBC+μBB =(-λ,0,2),易
知D B=(1,1,-1),
D P=D B+BP=(1-2,1,λ-1),
又因为AB =(0,1,1),设异面直线DP和AB所成角为θ,
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则cosθ= DP AB√422-82+6
当λ=0时，cosθ=0,此时异面直线D P和AB 所成角为_2
当λ∈[0,1]时，—4—
令え=t,t∈[1,+∞),则cosθ=√6r2-8+41 [L,+∞],
开口向上的二次函数y=6t2-8t+4的对称轴为=3,因为t∈(l,+∞),
故y=6t2-8t+4在t=1时取得最小值2,此时2-8+4取得最大值2.
故当t∈[1,+]时， s=√622-8+4=(0.乌
综上所述，当λ∈[0,1]时， cosθ∈[0,2,则θ∈4,2,
即异面直线D P和AB 所成角的取值范围是[,2,,故C正确；
对于D:由B可知，BP=λBC+μBB =(-2,0,μ),又因为AB=(0,1,0),
故AP=AB+BP=(-2,1,μ),
易知在正方体中，AB⊥平面BB C C,故n=(0,1,0)是平面BB C C的一个法向量，
因为AP与平面BB C C所成角为二，故有|
4 cs化简得λ2+μ2=1,则|BP|=√z2+μ2=1,
又因为B(1,1,0),BP=(-2,0,μ),故P(-2+1,1,μ),又因为λ∈[0,1],μ∈[0,1],
故点P位于BCC B 的内部(含边界),
因此点P的轨迹为以B为圆心，半径为1,圆心角为π一2的圆弧，
因此点P的轨迹长为24×1-2,故D正确.
14.解：因为x2+(2-x。)2=2x2-4x +4=2(x -1)2+2≥2,故点M在圆上或圆外，
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若点M在圆上，此时x2+(2-x )2=2(x -1)2+2=2,此时x =1,
显然在圆x2+y2=2上存在点A、B,使得∠AMB=60°,符合题意；
若点M在圆外，则x ≠1,
如下图所示：
M
E F
A 0 xB
过点M作圆x2+y2=2的切线，切点分别为E、F,则∠EMF≥∠AMB=60°,
由圆的几何性质可知OE⊥ME,OF⊥MF,
由切线长定理可得|ME|=|MF|,又因为|OM|=|0M|,|OE|=|0F|,故△OME≌△OMF,
所以∠OME=∠OMF,故LOME= ∠EMF≥30°,
因为sim LOME=10M,所以|0M|≤2|0E|=2√2,
即|OM2=x2+(2-x )2=2x2-4x +4≤8,整理可得x -2x -2≤0,
解得1-√3≤x ≤1+√3,此时x ∈[1-√3,1]u(1,1+√3].
综上所述，x 的取值范围是[1-√3,1+√3]
15.解：(1)依题意，因为圆心C在x轴上，所以设圆C的方程为x2+y2+Dx+F=0,
因为圆C经过A(-1,0),B(2,-3)两点，所以4+9+2D+=F=0,解得P=5
所以圆C的方程为x2+y2-4x-5=0,即(x-2)2+y2=9.
(2)由(1)知，圆C的圆心为C(2,0),半径为r=3;
设C(2,0)关于直线l:x-y+1=0对称的点为C'(m,n),
则CC'的中点为M(“±22),直线CC′的斜率为k=m-2
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因为点C,C′关于直线I对称，所以
即”n=-4-0,解得m=3所以C'(-1,3),
所以与圆C关于直线l:x-y+1=0对称的圆的方程为(x+1)2+(y-3)2=9.
16.解：(1)由3S,+an+1=1,
当n≥2时，3S 1+a=1,
两式相减得，3a+an+-a,=0,即a+=-2a,(n≥2),
因为数列{a}为等比数列，所以数列{a,}的公比为-2,
当n=1时，3a +a =1,而a =-2a,解得a=1,
所以a =(-2)”-.
(2)由(1)知，a=(-2)"-1,则b =(-1)" 1na =(-1) 1n.(-2)” 1=n·2”-1,
所以T =1·2 +2·21+3·22+ +n·2” 1,
则2T =1·21+2·22+3·23+ +(n-1)·2” 1+n·2”,
两式相成得，-T,=29+2+22++2“-n2=22(-2)n22=(-n)2”-1,
则T,=(n-1)·2"+1.
17.解：(1)因为椭圆+2=I(a>b>0)的离心率为2,|FF |=2,所以c=1,a=2,所以
b2=a2-c2=3,即椭圆的方程为+学=1
(2)由(1)可知F(-1,0),F (1,0),因为k =二，,所以直线方程为v=÷(x+1),即x-2y+1=0;
联立兰。可得16y2-12y-9=0;
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设C(x,y),D(x ,y ),则y +y =4,yy =-16'
cD=√1+√v+y2)2-4yv =-5×√9-15
F 到直线x-2y+1=0的距离为“√P-(-2)5
所以△F CD的面积为215、25-3.5
(3)设E(0,m),则FC=(x+1,y),DE=(-x ,m-y ),
因为FC=DE,所以x +1=-x ,即x +x =-1.
直线方程为y=k(x+1),联立上可得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0;
x+x =-3+4K2=-1,解得k=±
y个
D
E
F 0
C F x
18.解：(1)证明：连接BD,与AC交于点0,连接FO,
在矩形ABCD中，易知点O是BD的中点，又因为点F是PD的中点，
故在△PBD中，FO是PB的中位线，故FOIPB,
又因为FOc平面AFC,PB女平面AFC,
故PB//平面AFC.
P
F
A E D
B 0 C
(2)(I)过点A作垂直于平面ABCD的直线Az,易知AB,AD,Az 两两互相垂直，
故可以A为坐标原点，以AB,AD,Az分别为x,y,z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
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P Z个
F
A E =Dy
B 0x C
则B(1,0,0),E(0,a,0),P(0,-1,√3),C(1,2,0),D(0,2,0),
则BE=(-1,a,0),PC=(1,3,-√3),
因为BE⊥PC,故BE·PC=-1+3a=0,解得得a=3
(Ⅱ)因为侧面PAD⊥底面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,BA⊥AD,ABC平面
ABCD,
故AB⊥平面PAD,因此四棱锥B-PAEF的高为BA=2,设四边形PAEF的面积为S,
则YB-PLE=÷S·BA=3s,
故四棱锥B-PAEF的体积在四边形PAEF的面积最小时取到最小值，
∵∠PAD=120°,AP=AD,∴∠PDA=∠FDE=30°,
S=S.pn=5roB=-×2×2xsin120°-—a×(2-a)xsin30°
=√3-a(2-a=42+√5=4(a-1)2+5-4,
所以当四棱锥B-PAEF的体积最小时，a=1,故E(0,1,0),则EC=(1,1,0),
又PC=(1,3,-√3),DC=(1,0,0),
设平面PEC的一个法向量为π=(x,y,z),则有E=0
即+3第=-5,-,取x =3,则y =-3,z =-2√3,
则平面PEC的一个法向量7=(3,-3,-2√3);
设平面PDC的一个法向量为n=(x ,y2,z2),则有. DC=0
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即2-3-5,-0,得x =0,取y =1,则z =√3,则平面PDC的一个法向量Ω=(0,1,√3).设平面PEC与平面PDC的夹角为θ,则cos8=cos <7,y=30:2=320即平面PEC与平面PDC的夹角的余弦值为323019.解：(1)由题意，得一-2Y+=-5整理得x2-y2=2,则曲线C的方程为x2-y2=2.(2)(①)-由题意。P,(x,D),2.(- Y),-x,则1-X-x--X.,+x,-2=,1+-Xm-x,.+x,2所以+,一-y。=3,由于 作差得(x+1一yn+1)(xn+1+n+1)=(x,一yn)(x +n),
则x,+y。-)-.-.- +x,+y2=3.
因此数列{xn+y}是公比为3的等比数列.
(Ⅱ)由于=2,作差得(xn+1一xn)(xn+1+xn)=(yn+1一yn)(yn+1+yn),
变形得2-,+y。-,+Pmy,-×m+yYM- 1-一。)
同理可得kze --,-)+ )-×,+-m-(,-)
由(1)知数列{xn+yn}是公比为3的等比数列，同时可得数列{xn-yn}是公比为1一3的等比数列，
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则xm+ya=÷(xm-+.m ),x。一y。=3(xn-Vm)
易知△P-PPn+1和△P P+Pn+2是以PP+1为公共边的三角形，
又因为kpP... =kPPa+2,所以P Pn+1//Pn-IPn+2,
因此点P-1,P+2到底边PP+的距离相等，从而S 1=S ,即S =S +·
y个
P 0
i 交
P Q
P
P Q
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