19.2.1正比例函数
学情分析
学生在小学已经学习了比例的意义与性质，在这个基础上，学生能很容易接受正比例概念。再从正比例关系到正比例函数，这个年龄段的学生，以感性认识为主，加上本节课内容的概念性和理论性较强，并向理性认知过渡，学生可能缺乏学习兴趣，因此，本节课我从学生已有的知识基础和生活经验出发，采取“先学后教，当堂训练”的学习方式，在方法的设计上，重点突出知识的形成过程，充分体现学生的主体地位。通过本节课的教学，教师引导学生学会观察、归纳的学习方法，在对比和分组讨论中让学生在“做中学”，培养探究、自主学习能力。?为了提高课堂效果，适当的辅以多媒体技术，使学生获得直观的印象，激发学生的学习兴趣，增强对知识点的理解。
??在本节课中，通过师生活动、学生自我探究、小组合作学习，让学生充分参与到数学学习的过程中来。培养学生形成良好的质疑和独立思考的习惯，让学生感知数学来源于生活，也服务于生活，激发学习学习数学的积极性。
19.2.1正比例函数
效果分析
在课堂教学中我围绕着本节课的教学目标、重点、难点展开教学设计。抓住学生已有的知识点，在学生主动参与和教师引导下充分调动学生的学习积极性和主动性，使学生在自主探索的过程中掌握新知识，教师的主导作用与学生主体地位达到了相互统一。师生互动，生生互动积极，学生参与度高，学习氛围浓厚，达到高效的学习效果。
从学生已有的知识基础和生活经验出发，采取“先学后教，当堂训练”的学习方式，在方法的设计上，重点突出知识的形成过程，充分体现学生的主体地位。通过本节课的教学，教师引导学生学会观察、归纳的学习方法，培养探究、自主学习能力。
?? 尤其在教学设计中，生活实际问题为背景引入课题，通过观察归纳得到正比例函数的概念，然后再通过老师示范，引导学生独立应用正比例函数的概念解决一些问题，从而突破本节课的难点。
19.2.1正比例函数
课后反思
由于本节课内容概念性强，所以我采取通过学生熟悉的行程问题来导入正比例函数的概念，学生易于接受，并配以燕欧飞行的视频烘托氛围，激发学生的学习兴趣，提带坚持不懈，执着飞行的精神教育。处理教材方面，采取“建立数学模型——导入概念——巩固概念?——练习、小结”这样秩序渐进的教学流程。?
在教学设计时，注重了学生的模拟和尝试，同时重视教师的引导、指导和示范，如在概念出示时必要的板书，对关键之处的启发、点拨和讲解，有利于学生对概念的理解。
不足之处：
板书设计较简单，在处理习题时应该多给学生上台展示的机会。
19.2.1正比例函数
教学设计
【教学目标】
知识与技能：
（1）通过实例，列出正比例函数关系式；掌握正比例函数解析式特点。
（2）通过观察，得到正比例函数，并理解正比例函数意义。
（3）识别正比例函数，能运用y= kx中x、y的关系等知识解决一些简单的问题。
过程与方法：经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识，经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力，经历思考、探究过程、提高总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点解决问题：
情感态度与价值观：
（1）通过师生活动、学生自我探究、小组合作学习，让学生充分参与到数学学习的过程中来。
（2）让学生感知数学知识来源于生活，同时也服务于生活。
（3）培养学生形成良好的质疑和独立思考的习惯。
【教学重点】
正比例函数的概念
【教学难点】
对正比例函数基本特征的认识和正比例函数概念的抽象归纳过程。
【课时安排】 1课时
【教学方法】自主感知 合作探究
【教辅手段】多媒体
【教学过程】
一、自主探究
★思考问题一
课件展示燕鸥飞翔的视频：1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在25600千米外的澳大利亚发现了它．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行200千米.
(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？
25600÷128=200（km）
(2) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？
是函数关系，可用函数解析式表示出来：y=200x (0≤x≤128)
二、合作交流
★思考问题二
1、2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米,设列车的平均速度为300km∕h.京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间的关系式为 y=300t(0≦t≦4.4)
2、圆的周长l 随半径r的变化而变化.l与r之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式 l=2πr
3、铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位g）随它的体积V（单位：cm3）的变化关系式为 m=7.8v
4、每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的变化关系式为h=0.5n
5、冷冻一个0°C的物体，使它每分钟下降2°C，物体问题T（单位：°C）随冷冻时间t（单位：min）的变化关系式为T=-2t
观察这些函数关系式，这些函数都是常数与自变量 乘积 的形式。
定义：一般地，形如 y=kx （ k为常数且k≠0 ）的函数，叫做正比例函数，其中叫做 比例系数
活动：举一举生活中涉及到的正比例函数的例子？
小组交流展示
三、新知应用
例1．
判断下列函数解析式是否是y与x的正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？
（1）y=2πr （是 2π） (2) （不是）（3）y=（不是）
(4)y=kx （不是） （5） y=-4x+3 （不是） (6)（是 2）
例2．
（1）如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，求k的值（k=4）
（2）如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k要满足什么条件？(k≠1)
(3) 如果，是y关于x的正比例函数，求k的值？（k=3）
思维拓展：若是y关于x的正比例函数，则k要满足什么条件？(k=-1)
例3.已知y与x成正比例,且当x =－1时，y =－6，求y 与x之间的函数关系式. 解：设解析式为y=kx.
∵ 当x =－1时，y =－6
∴ 有－6=－k,
k=6.
∴函数解析式为y=6x
思维拓展：已知y与x-3成正比例，且当x=4时，y=2，求y与x之间的函数关系式? 设解析式为y=k(x-3)
∵ 当x =4时，y =2
∴ 有2=k,
k=2
∴函数解析式为y=2(x-3)=2x-6
四、目标检测
考一考，有信心吗？
1.下列正比例函数中，比例系数最小的是（D）
A B y=-1.5x C D
2．若y=是正比例函数，则k的值是（ B ）
A．
0
B．
﹣1
C．
1
D．
﹣0.5
3. 下列两个变量成正比例关系的是( A )
A.正方形的周长C和它的一边长a
B.距离为100m时，速度v和时间t
C.圆的面积S和圆的半径r
D.正方体的体积V和棱长m
4.若一个正比例函数的比例系数是-5，则它的解析式为 y=-5x
5．已知△ABC的底边BC=8cm，当BC边上的高线从小到大变化时，
△ABC的面积也随之变化。
（1）写出△ABC的面积 y(cm2) 与高线 x(cm)的函数解析式.
y=4x(x>0)
（2）当x=7时，求出y的值.y=4×7=28
6.已知y关于x成正比例函数，当x=3时,y=-9，求y与x的关系式。y=-3x
选做：已知函数是正比例函数，求a 、b的值。 a= b=
五、课堂小结
通过本节课的学习你有什么收获？在遇到困难时你是如何解决的？
六、布置作业
必做题：《同步》77、78页的有关部分。
选做题：《同步》P78的13题。
七、板书设计
19.2.1正比例函数
定义：形如y=kx(k≠0)的函数叫正比例函数，k叫比例系数。
课件18张PPT。19.2.1正比例函数1二、学习目标 能识别正比例函数1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在25600千米外的澳大利亚发现了它.
(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？
(2) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？
解：25600÷128=200（km）y=200x (0≤x≤128)2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米,设列车的平均速度为300km∕h.京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？
y=300t（0≤t≤4.4） 圆的周长l 随半径r的变化而变化． l与r之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：
新知探究 铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位g）随它的体积V（单位：cm3）的变化关系式是什么？
新知探究m=7.8V每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的变化而变化．
h=0.5n冷冻一个0°C的物体，使它每分钟下降2°C，物体问题T（单位：°C）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化．
T=-2t(1)y=200x (0≤x≤128)
(2)y=300t(0≤t≤4.4)
(3)l=2πr
(4)m=7.8v
(5)h=0.5n
(6)T=-2t情境引入这些函数都是常数与自变量的乘积的形式。即y=kx(k≠0)能不能举一个生活中涉及正比例函数的例子？（1）y=2πr （2）
（3）y=2x2 （4）y=kx
(5）y=-4x+3 （6）y=2(x－x2 )+2x2 是正比例函数，
比例系数为2π不是不是正比例函数不是正比例函数不是正比例函数是正比例函数，比例系数为2例1.判断下列函数解析式是否是y与x的正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？新知学习（1）k 是常数，且k≠0（2）自变量x的次数是1（3）函数是常数与自变量乘积的形式y=kx例2、
(1)如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_________.
k≠14思维拓展：若 是正比
例函数，则k的值是_________
K=3K=-1（3）如果 是y关于x的正比例函数，求k的值
（2）如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则_________例3.已知y与x成正比例,且当x =－1时，y =－6，求y 与x之间的函数关系式.
解：设解析式为y=kx.
∵ 当x =－1时，y =－6
∴ 有－6=－k,
k=6.
∴函数解析式为y=6x思维拓展：
已知y与x-3成正比例，且当x=4时，y=2，求y与x之间的函数关系式
请同学们课下认真思考并完成！小结归纳这节课我们学到了什么？
你有什么收获？必做题：《同步》77、78页的有关部分。
选做题：《同步》P78的13题。 谢谢同学们的努力！
19.2.1正比例函数
教材分析
本节课是人民教育出版社八年级下册数学《第十九章一次函数》《19．2.1正比例函数》的第一课时。函数是初中数学学习的重要内容，学生在前面学完平面直角坐标系、变量和常量、函数的概念、列函数关系式、函数的图象后，教材安排了正比例函数，而正比例函数是最简单的函数，本节课是对前面知识的一个小结与概括，也是前面知识的延伸与拓展，同时也是后面学习一次函数、二次函数、反比例函数的基础。
通过学习正比例函数，培养学生利用函数解决简单实际问题，培养学生函数的数学思想，体现运动变化和相对统一的观点，体现数学的建模思想和数形结合的思想，为此，在教学中通过实际生活，引导学生观察探索，让学生在观察探索中感悟函数思想，从而激发学生的学习兴趣与信心。
19.2.1正比例函数
观评记录
1．坚持立德树人。以学生发展为本，教书育人。根据学科性质和特点，引领学生自觉培育和践行社会主义核心价值观；根据时代发展需要，注重提升学生的公民素养，培养学生的社会责任感；结合课程内容，自然融入优秀传统文化教育。
2．先进的教学理念。面向全体学生，着眼于学生的全面发展，满足不同层次学生发展的需要，促进学生个性发展；尊重学生的主体地位，充分调动学生学习的主动性和积极性；加强学科知识与生活的联系，引导学生解决现实生活中的实际问题；注重培养学生的创新精神和实践能力，鼓励学生实施自主、合作、探究学习和参与社会实践。
3．合理可行的教学目标。在研究课程标准、研究学情的基础上，科学、精准定位知识与技能、过程与方法、情感态度价值观“三维”教学目标，实现“三维”教学目标的有机统一，教学目标可观测，可评价；根据教学过程中的新情况、新变化，生成新的教学目标，及时解决学生遇到的新问题。教学目标具体、可测、针对性强，达成度高。
4．有效整合教学内容。依据课程标准整合教学内容。有效整合不同版本的教材，合理开发、利用学生及其周围世界的各种教育资源，教学内容的安排切实服务于教学目标的实现，创造性地实现教学内容的最优化。
5．灵活运用教学方法策略。坚持启发式、探究式、参与式教学。有明确的问题导向，突破教学重点和难点。充分考虑教学目标、教学内容以及学生心理、学习特点的一致性，采用灵活、多样、求实的教学方法和手段。注重现代教育技术在实际教学中的运用，实现信息技术和数字教育资源与教学实施过程的深度融合。
6．教学效果显著。教学目标达成度高，不同层次的学生均有收获；学生思维积极活跃，有认知冲突，有精彩观念，有不同的问题解决方法，等等；师生交流对话充分，教学相长，形成民主和谐、相互尊重、合作探究的教学氛围，反映出浓厚的课堂文化等。
7．独特的教学特色和风格。能创造性地实施《课程标准》和使用教科书，或能创造性地开发、利用教育资源，或在教学策略、方法、手段上有独到之处、有亮点。在教师素质与能力方面表现出特有的教学风格，形成鲜明的教育教学个性。
19.2.1正比例函数
评测练习
一、自主探究
★思考问题一
1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在25600千米外的澳大利亚发现了它．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行200千米.
(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？
(2) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？
二、合作交流
★思考问题二
1、2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米,设列车的平均速度为300km∕h.京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间的关系式为
2、圆的周长l 随半径r的变化而变化.l与r之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式
3、铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位g）随它的体积V（单位：cm3）的变化关系式为 ．
4、每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的变化关系式为 ．
5、冷冻一个0°C的物体，使它每分钟下降2°C，物体问题T（单位：°C）随冷冻时间t（单位：min）的变化关系式为 ．
观察这些函数关系式，这些函数都是常数与自变量 的形式。
定义：一般地，形如 （ ）的函数，叫做正比例函数，其中叫做
活动：举一举生活中涉及到的正比例函数的例子
三、新知应用
例1．
判断下列函数解析式是否是y与x的正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？
（1）y=2πr (2)y= （3）y=
(4)y=kx （5） y=-4x+3 (6)
例2．
（1）如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，求k的值
（2）如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k要满足什么条件？
(3) 如果，是y关于x的正比例函数，求k的值？
思维拓展：若是y关于x的正比例函数，则k要满足什么条件？
例3.已知y与x成正比例,且当x =－1时，y =－6，求y 与x之间的函数关系式.
思维拓展：已知y与x-3成正比例，且当x=4时，y=2，求y与x之间的函数关系式
四、目标检测
考一考，有信心吗？
1.下列正比例函数中，比例系数最小的是（）
A B y=-1.5x C D
2．若y=是正比例函数，则k的值是（ ）
A．
0
B．
﹣1
C．
1
D．
﹣0.5
3. 下列两个变量成正比例关系的是( )
A.正方形的周长C和它的一边长a
B.距离为100m时，速度v和时间t
C.圆的面积S和圆的半径r
D.正方体的体积V和棱长m
4.若一个正比例函数的比例系数是-5，则它的解析式为
5．已知△ABC的底边BC=8cm，当BC边上的高线从小到大变化时，
△ABC的面积也随之变化。
（1）写出△ABC的面积 y(cm2) 与高线 x(cm)的函数解析式
（2）当x=7时，求出y的值
6.已知y关于x成正比例函数，当x=3时,y=-9，求y与x的关系式。
选做：已知函数是正比例函数，求a 、b的值。
19.2.1正比例函数
课标分析
知识与技能：
（1）通过实例，列出正比例函数关系式；掌握正比例函数解析式特点。
（2）通过观察，得到正比例函数，并理解正比例函数意义。
（3）识别正比例函数，能运用y= kx中x、y的关系等知识解决一些简单的问题。
过程与方法：经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识，经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力，经历思考、探究过程、提高总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点解决问题：
情感态度与价值观：
（1）通过师生活动、学生自我探究、小组合作学习，让学生充分参与到数学学习的过程中来。
（2）让学生感知数学知识来源于生活，同时也服务于生活。
（3）培养学生形成良好的质疑和独立思考的习惯。
