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第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念及通项公式
1. 借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念.（数学抽象）
2. 借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系.（数学抽象）
3. 会求等差数列的通项公式.（数学运算）
4. 能利用等差数列的通项公式解决相关问题.（数学运算、数学建模）
观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题.
1. 我国有用十二生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡 年的年份为2017，2029，2041，2053，2065，2077，….
2. 某个电影院设置了20排座位，这个电影院从第1排起各排的座位数组成数 列：38，40，42，44，46，….
3. 全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（表示以cm为单位的鞋底的长 度）由大到小可排列为25，24.5，24，23.5，23，22.5.
以上三个问题中的数蕴含三个数列，你能找到它们的共同规律吗？
知识点一 等差数列的概念
教材知识整理与归纳
等 差
数 列 文字
语言 一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一 项的差都等于 常数，那么这个数列就叫做等差数 列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字 母 表示
符号
语言
递推公式
第2项
同一个
公差
d
思考：等差数列的定义中，为什么要“从第2项起”？
第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合.
A. 0，0，0，…，0，…
B. －2，－1，0，…，n－3，…
C. 1，3，5，…，2n－1，…
解析：选项A中，后项减前项所得差均为0，是等差数列；
选项B中，后项减前项所得差都是1，是等差数列；
选项C中，后项减前项所得差都是2，是等差数列；
选项D中，1－0≠3－1，不是等差数列.
D
知识点二 等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A 叫做a与b的 ，且2A＝ .
思考：等差中项的几何意义是什么？
等差中项
a＋b
A. ±4 B. －4 C. 4 D. 5
D
知识点三 等差数列的通项公式和图象
1 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝ .
2. 等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d，当d＝0时，an是一个固定的 常数；当d≠0时，an对应的函数是 ；点（n，an）分布在 以 为斜率的直线上，是这条直线上的一列 的点.
a1＋（n－1）d
一次函数
d
孤立
（1）当d＞0时，数列为 数列，如图1；
（2）当d＜0时，数列为递减数列，如图2；
（3）当d＝0时，数列为常数列，如图3.
图1 图2 图3
递增
3. 由等差数列和一次函数的关系可知，等差数列的单调性受公差d的影响.
思考：等差数列和一次函数有什么关系？等差数列的单调性受什么因素 影响？
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f（n）＝a1＋（n－ 1）d＝nd＋（a1－d）.
（1）点（n，an）落在直线y＝dx＋（a1－d）上；
（2）这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加d.
由上可知，等差数列的单调性受公差d的影响.
A. 该数列是公差为－1的等差数列
B. 该数列的图象只能在第一象限
C. 该数列是有穷数列
D. 该数列的图象是直线y＝x－1上满足x∈N*的点集
D
解析：由an＋1－an＝1知数列为等差数列，公差为1，故A错误；
因为a1＝0，
所以数列的图象上有点在x轴上，故B错误；
由通项公式是an＝n－1知，数列是无穷数列，故C错误；
由通项公式是an＝n－1知，该数列的图象是直线y＝x－1上满足x∈N*的点 集，故D正确.
等差数列的通项公式的有关运算
【例1】在等差数列{an}中.
（1）已知a3＝31，a7＝76，求a1和公差d；
（2）已知a4＝4，a8＝－4，求a12；
解：（2）a8－a4＝4d＝－8，d＝－2，a12＝a8＋4d＝－12.
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（3）已知a3＝7，a6＝16，求a10；
解：（3）a6－a3＝3d＝9，d＝3，a10＝a6＋4d＝28.
（4）已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
解：（4）a1＋a6＝2a1＋5d＝12，a4＝a1＋3d＝7，以上两式联立，得d＝ 2，a1＝1，
所以a9＝a1＋8d＝17.
归纳总结：等差数列的通项公式的求法与应用技巧
1. （1）设出基本量a1与d，利用条件构建方程组，求出a1与d，即可写出数 列的通项公式.
（2）已知等差数列中的两项时，利用an＝am＋（n－m）d求出公差d就可 绕过求首项a1，直接写出等差数列的通项公式.
2. 熟练掌握等差数列的通项公式an＝dn＋（a1－d）＝kn＋b是关于n的一 次函数模型这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列 的单调性，d＞0时，数列{an}为递增数列；d＝0时，数列{an}为常数列；d ＜0时，数列{an}为递减数列.
在等差数列{an}中.
（1）已知a1＝－1，公差d＝4，求a8；
解：（1）a8＝a1＋7d＝27.
解：（2）a1＝a7－6d＝10.
（3）已知a1＝9，公差d＝－2，an＝－15，求n.
等差中项的应用
【例2】log64与log69的等差中项为 .
解析：依题意，设log64与log69的等差中项为m，
则2m＝log64＋log69＝log636＝2，
故m＝1，即log64与log69的等差中项为1.
1
A. 8 B. 6 C. 4.5 D. 3
D
等差数列的判定与证明
【例3】判断下列数列是否为等差数列：
（1）an＝3n－1；
解：（1）当n≥2时，an－an－1＝3n－1－（3n－4）＝3，
所以这个数列是等差数列.
归纳总结：等差数列的三种判定方法
（3）通项公式法：an＝an＋b（a，b是常数，n∈N*） {an}为等差数 列.
如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.
（2）求数列{an}的通项公式.
验证一个数是否为等差数列中的项
【例4】已知等差数列6，3，0，….
（1）试求此数列的第100项.
解：（1）设此数列为{an}，则首项a1＝6，公差d＝3－6＝－3，
所以通项公式为an＝6＋（n－1）×（－3）＝－3n＋9，
所以a100＝－3×100＋9＝－291.
所以此数列的第100项是－291.
（2）－30是不是这个数列中的项？－40是不是这个数列中的项？若是，分别 是第几项？
诺沃尔在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年…… 人类都可以看到这颗彗星，即彗星每隔83年出现一次.
（1）从发现那次算起，彗星第8次出现是在哪一年？
解：（1）1 740，1 823，1 906，1 989，…构成等差数列，
首项a1＝1 740，公差d＝83，
通项公式为an＝a1＋（n－1）d＝1 740＋83（n－1）＝83n＋1 657，
故a8＝83×8＋1 657＝2 321，即彗星第8次出现是在2321年.
（2）你认为这颗彗星会在2500年出现吗？为什么？
A. 1，4，7，10 B. lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C. 25，24，23，22 D. 10，8，6，4，2
ABD
当堂检测
解析：根据等差数列的定义，对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），
所以是等差数列，故A正确；
对于B，满足lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2（常数），
所以是等差数列，故B正确；
对于C，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，
所以不是等差数列，故C错误；
对于D，满足8－10＝6－8＝4－6＝2－4＝－2（常数），
所以是等差数列，故D正确.
A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8
解析：在等差数列{an}中，a4＋a8＝16＝2a6，故a6＝8.
C
D. 19
B
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
解析：由an＝a1＋（n－1）d，得41＝1＋（n－1）d，
AD
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1. 重点与难点：（1）等差数列的有关概念.
（2）等差数列的通项公式.
（3）等差数列的通项公式与函数的关系.
（4）等差数列的判定与证明.
2. 定理与公式或方法等：方程组法、构造法、定义法.
3. 误区警示：（1）在具体应用问题中项数不清.
（2）忽略等差数列的通项公式与函数关系中d＝0的情况.
