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第四章 数列
4.1 数列的概念
第2课时 数列的递推公式
1. 理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.（数学运算）
2. 会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.（逻辑推理、数学运算）
观察下列钢管堆放示意图，寻求规律，建立数学模型.
自上而下：
第1层钢管数为4，第2层钢管数为5，第3层钢管数为6，第4层钢管数为7，第5 层钢管数为8，第6层钢管数为9，第7层钢管数为10.
知识点一 数列的递推公式
1. 递推公式的概念
如果一个数列的 两项或多项之间的关系可以用 来表 示，那么这个式子叫做这个数列的 公式.
相邻
一个式子
递推
教材知识整理与归纳
2. 数列递推公式与通项公式的关系
递推公式 通项公式
区别 表示an与它的前一项 （或前几项）之间的关系 表示 与 之间的关系
联系 （1）都是表示数列的一种方法；
（2）由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
思考：是否所有的数列都有递推公式？
与数列的通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
an
n
（2025·广安开学考试）已知数列{an}满足：a1＝9，an＋1－an＝2n，则a4 ＝ .
解析：由题意，知a2＝a1＋2＝11，a3＝a2＋4＝15，a4＝a3＋6＝21.
21
知识点二 数列{an}的前n项和
1. 数列{an}从第 项起到第 项止的各项之和称为数列{an}的前n项 和，记作Sn，即 .
1
n
Sn＝a1＋a2＋…＋an
式
子
前n项和公式
思考：已知数列{an}的前n项和Sn，如何求an？
由Sn求an，应分n＝1与n≥2两种情况，分别进行计算后，再验证两种情形 可否用统一的式子表示.若不能，则用分段的形式表示.
（2025·安阳期末）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝n2＋n（n∈N*）， 则a4＝ .
解析：数列{an}中，由Sn＝n2＋n，得a4＝S4－S3＝（42＋4）－（32＋3） ＝8.
8
由递推公式求数列中的项
【例1】写出下列数列的前5项：
（1）a1＝1，an＝an－1＋2（n≥2）；
解：（1）由题意， a1＝1，a2＝a1＋2＝3，a3＝a2＋2＝5，
a4＝a3＋2＝7，a5＝a4＋2＝9.
课堂互动探究与提升
（3）a1＝2，an＋1＝2an－1（n≥1）.
解：（3）由题意，a1＝2，a2＝2a1－1＝3，a3＝2a2－1＝5，a4＝2a3－1＝ 9，a5＝2a4－1＝17.
归纳总结：根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关 系，依次代入计算即可.另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通 常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将 所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
根据数列{an}的递推公式，写出它的前4项.
解：（1）a1＝1，a2＝－2a1＋1＝－1，a3＝－2a2＋1＝3，a4＝－2a3＋1＝ －5.
解：（2）a1＝1，a2＝1，a3＝2a1＋a2＝3，a4＝2a2＋a3＝5.
由Sn求通项公式an
【例2】已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式.
（1）Sn＝2n2－3n；
解：（1）∵Sn＝2n2－3n，
∴当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n2－3n）－[2（n－1）2－3（n－1）]＝ 4n－5，
当n＝1时，a1＝4×1－5＝－1，符合上式，
∴{an}的通项公式是an＝4n－5.
（2）Sn＝3n＋b.
归纳总结：由前n项和求通项公式的步骤
（1）先利用a1＝S1，求出a1.
（3）注意检验n＝1时的值是否符合n≥2时an的解析式，若符合，则合并； 若不符合，则用分段函数表示通项公式an.
根据递推公式求通项公式
【例3】（1）设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1（n∈N*），求数 列{an}的通项公式.
归纳总结：
1. 由递推公式求通项公式常用的两种方法
2. 此类题在累加或累乘时，常因忘记“n≥2”这个条件而造成错把缺项的 式子看成等式而失分.
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
C
当堂检测
A. 2 B. －3
A
B
B
A. 228 B. 229 C. 230 D. 231
B
1. 重点与难点：（1）数列的递推公式.
（2）数列的前n项和Sn与an的关系.
（3）由递推公式求通项公式.
2. 定理与公式或方法等：归纳法、累加法、累乘法、迭代法.
3. 误区警示：（1）运用累加法、累乘法时，不注意验证首项是否符合通项 公式.
（2）由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况.
