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第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式
1. 借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程.（数学运算）
2. 掌握等差数列的前n项和公式.（数学运算）
3. 熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个 量求另外两个量.（数学运算）
据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…＋ 100＝？
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速 算出了正确答案：（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（50＋51）＝101×50＝5 050.
高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…，n，…前100项的和 的问题.
你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗？
知识点 等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式 Sn＝ Sn＝
注意：等差数列的前n项和公式是用 法推导的.
思考：等差数列{an}的前n项和Sn是否都可以写成二次函数Sn＝An2＋Bn的 形式？
不一定，当公差为零时，Sn为一次函数.
倒序相加
教材知识整理与归纳
A. 99 B. 100 C. 101 D. 102
B
等差数列前n项和的有关计算
【例1】在等差数列{an}中.
课堂互动探究与提升
（1）已知a3＝16，S20＝20，求S10；
（3）已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求 项数n.
归纳总结：等差数列中基本计算的两个技巧
（1）利用基本量求值
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五 个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出关于基本量a1和d的方程组，解 出a1和d便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.
（2）利用等差数列的性质解题
在等差数列{an}中：
（1）已知a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d；
（2）已知S5＝24，求a2＋a4.
利用等差数列前n项和公式判断等差数列
【例2】已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋4n（n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式an；
（1）解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2＋4n－3（n－1）2－4（n－1） ＝6n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝3＋4＝7，满足an＝6n＋1，
即数列{an}的通项公式为an＝6n＋1.
（2）求证：数列{an}是等差数列.
（2）证明：∵an＝6n＋1，
∴当n≥2时，an－an－1＝6n＋1－6（n－1）－1＝6，为常数，
∴数列{an}是等差数列.
已知数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6.
（1）求Sn；
（2）证明：数列{an}是等差数列.
（2）证明：由（1）知Sn＝2n2－4n，
当n＝1时，可得a1＝S1＝－2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－4n－[2（n－1）2－4（n－1）]＝4n－6，
当n＝1时，a1＝－2也适合上式，
所以an＝4n－6，
又因为an＋1－an＝4，
所以数列{an}是首项为a1＝－2，公差d＝4的等差数列.
等差数列前n项和的实际应用
【例3】用分期付款的方式购买家用电器需11 500元，购买当天先付1 500元， 以后每月交付500元，并加付利息，月利率为0.5％，若从交付1 500元后的第 1个月开始算分期付款的第1个月.问：
（1）分期付款的第10个月应交付多少钱？
解：（1）设每月付款数依次构成数列{an}，n≤20，
则a1＝500＋10 000×0.005＝550，
a2＝500＋（10 000－500）×0.005＝550－2.5，
a3＝500＋（10 000－500×2）×0.005＝550－2.5×2，…，
显然an＝500＋[10 000－500（n－1）]×0.005＝550－2.5×（n－1），
a10＝550－2.5×9＝527.5，
故第10个月应交付527.5元.
（2）全部贷款付清后，买家用电器实际花了多少钱？
归纳总结：应用等差数列解决实际问题的一般思路
某私营企业老板为对企业有突出贡献的某员工加薪，有两种加薪方案供员工 选择：方案一，每年年末加薪1 000元；方案二，每半年加薪300元.注：每年 年末加薪a元，即若原年薪金为m元，则加薪第一年总薪金应为（m＋a） 元，第二年总薪金应为[（m＋a）＋a]元……依次类推.
（1）设该员工在此私企再工作2年，试问该员工根据自己需要继续工作的年 限选择哪种加薪方案较实惠，请说明理由；
解：（1）选择方案一，第1年加薪1 000元，第2年加薪2 000元，2年共加薪3000元；
选择方案二，第1年加薪900元，第2年加薪2 100元，2年共加薪3 000元.
因此，该员工选择两种加薪方案都一样.
A. 40 B. 45 C. 50 D. 55
B
当堂检测
A. －42 B. －49 C. －63 D. －70
A
A. 52 B. 96 C. 106 D. 120
B
A. 4 D. 6
C
A. 12 B. 26 C. 40 D. 50
C
1. 重点与难点：（1）等差数列前n项和公式的推导过程.
（2）与等差数列前n项和有关的基本运算.
（3）利用等差数列前n项和公式判断等差数列.
（4）等差数列前n项和的实际应用.
2. 定理与公式或方法等：倒序相加法、公式法.
3. 误区警示：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论.
