人教版高中数学选择性必修第二册第四章数列4.1数列的概念第1课时数列的概念及通项公式课件(共46张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第二册第四章数列4.1数列的概念第1课时数列的概念及通项公式课件(共46张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 4.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-04 00:00:00 | ||
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文档简介
(共46张PPT)
第四章 数列
4.1 数列的概念
第1课时 数列的概念及通项公式
某种树木的分枝生长规律如图所示，你能预测到第6年时，树木的分枝 数是多少吗？
年份 1 2 3 4 5 6
分枝数 1 1 2 3 5 ？
讨论交流
问题1 数列的概念是什么？
问题2 什么是数列的通项公式？
问题3 数列与函数之间有什么关系？
1. 数列的概念
（1）一般地，我们把按照 排列的一列数称为数列，数列中 的每一个数叫做这个数列的 .数列的第一个位置上的数叫做这个数列 的第1项，常用符号 表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项， 用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用 表示.其中 第1项也叫做 .
（2）数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为 .
确定的顺序
项
a1
an
首项
{an}
教材知识整理与归纳
知识点一 数列的概念及分类
2. 数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的
个数 有穷数列 项数 的数列
无穷数列 项数 的数列
按项的变
化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列
常数列 各项都 的数列
周期数列 项呈现 变化
有限
无限
大于
小于
相等
周期性
分类标准 名称 含义
按项的变
化趋势 数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的 前一项
思考：如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列吗？
不一定是递减数列.根据数列的分类，数列还可以是常数列、周期数列、摆 动数列.
摆动
A. 数列4，7，3，4的首项是4
B. 数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
D. a，－3，－1，1，b，5，7，9，11一定能构成数列
A
解析：对于A，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确.
对于B，同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误.
对于C，数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误.
对于D，当a，b都代表数（数列的各项都是数）时，能构成数列，
当a，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定的顺 序排列的一列数，故D错误.
知识点二 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子 来表示，那么这个式子叫做这个数列的 .表达形式为an＝f（n）.
思考：任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示吗？
并不是所有数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数 从小到大排在一起构成的数列，至今没有发现统一可行的一个通项公式 表示，圆周率的各位数字构成的数列，还有很多规律性不强的数列也找 不到通项公式.
序号n
通项公式
B
知识点三 数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是 函数，关系如表：
定义域 （或它的 {1，2，3，…，n}）
解析式 数列的通项公式
值域 当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一 列
表示
方法 （1）通项公式（解析法）；（2） ；（3）
特殊的
正整数集N*
有限子集
函数值
列表法
图象法
思考：数列是否可以看作是一个定义在正整数集上的函数？
不可以.数列的项数可以是有限的，也可以是无限的.数列作为一个函数，它 的定义域是正整数集或正整数集的有限子集.
所以，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2， 3，…，n}）上的函数.
A. 数列的通项公式是一个函数关系式
B. 数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C. 数列的项数一定是无限的
D. 根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的一个通项公式
AB
解析：数列的通项公式的概念：将数列{an}的第n项用一个具体式子（含 有参数n）表示出来，这个式子称作该数列的通项公式，故任意一个定义 域为正整数集或者是它的从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项 公式，它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n唯一 确定的，故A正确；
数列的概念与分类
【例1】给出以下数列：①1，－1，1，－1，…；②2，4，6，8，…，1 000；③8，8，8，8，…；④0.8，0.82，0.83，0.84，…，0.810.其中，有穷 数列为②④ ；无穷数列为 ；递增数列为 ；递减数列 为 ；摆动数列为 ；常数列为 .（填序号）
解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④； 摆动数列为①；常数列为③.
②④
①③
②
④
①
③
课堂互动探究与提升
归纳总结：数列的判定方法及其分类
（1）判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的 数；
（2）判断所给的数列是递增数列、递减数列、摆动数列还是常数列，要从 项的变化趋势来分析；而判断它是有穷数列还是无穷数列，则看项的个数是 有限的还是无限的.
其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列 是 ，递减数列是 ，常数列是 ，摆动数列是 .（填序号）
①⑥
②③④⑤
①⑤
②
⑥
③④
解析：利用有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列 的定义逐个分析判断，①为有穷数列且为递增数列；②为无穷递减数列；③ 为无穷摆动数列；④是摆动数列，也是无穷数列；⑤为递增数列，也是无穷 数列；⑥为有穷数列，也是常数列.
根据数列的前几项求通项公式
【例2】观察下面数列的变化规律，用适当的数填空，并写出每个数列的一 个通项公式.
（1）（ ），7，12，（ ），22，27，…；
解：（1）因为12－7＝5，27－22＝5，7－5＝2，22－5＝17，
所以原数列为2，7，12，17，22，27，…，相邻两项的差都是5，
故an＝2＋5（n－1）＝5n－3 .
写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
（1）a，b，a，b，…；
（3）1，－3，5，－7，9，…；
解：（3）数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的奇数，且奇数 项为正，偶数项为负，
故an＝（－1）n＋1（2n－1），n∈N*.
（6）－3，33，－333，3 333，….
数列与函数的关系
【例3】在数列{an}中，an＝n（n－8）－20，请回答下列问题：
（1）这个数列共有几项为负？
解：（1）由an＝n（n－8）－20＝n2－8n－20＝（n＋2）（n－10）＜ 0，解得1≤n＜10，n∈N*，
所以数列{an}的前9项为负数，
也即共有9项为负数.
（2）这个数列从第几项开始递增？
（3）这个数列的项有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由.
解：（3）an＝n（n－8）－20＝n2－8n－20＝（n－4）2－36，
根据二次函数的性质，当n＝4时，an取得最小值－36，
即数列的项有最小值，最小值为－36.
归纳总结：求数列最大（小）项的方法
（1）函数的单调性法：令an＝f（n），通过研究f（n）的单调性来研究 最大（小）项.
数列通项公式的应用
【例4】已知无穷数列1×2，2×3，3×4，…，n（n＋1），….
（1）求这个数列的第10项和第31项.
解：（1）因为无穷数列1×2，2×3，3×4，…，n（n＋1），…，
所以该数列的通项公式为an＝n（n＋1），
所以a10＝10×（10＋1）＝110，a31＝31×（31＋1）＝992.
（2）420是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
解：（2）因为an＝n（n＋1），令an＝420，得n（n＋1）＝420，
解得n＝20或n＝－21（舍去），
所以420是这个数列中的第20项.
（3）证明：60不是这个数列中的项.
归纳总结：求项或判断某数是否为数列的项的方法
（1）如果数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，那 么只要将相应序号代入通项公式中的n，就可以求出数列中的指定项.
（2）判断某数是否为该数列的项，先假定它是数列中的第n项，将此数 代入数列的通项公式中，列出关于n的方程，求出n的值.若求出的n为正 整数，则该数是数列中的项；若方程无解或解不是正整数，则该数不是 数列中的项.
（2）判断数列{an}的增减性，并证明.
B. 数列0，1，2，3，…的一个通项公式为an＝n
C. 数列0，0，0，1，…是常数列
A
当堂检测
2. 有下列说法：
①数列1，3，5，7可表示为集合{1，3，5，7}；
②数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是相同的数列；
③数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，…是同一数列；
④数列0，1，0，1，…是常数列.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
A
解析：①说法错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的；
②说法错误，两个数列的数排列顺序不相同，不是相同的数列；
③说法错误，数列1，3，5，7是有穷数列，而数列1，3，5，7，…是无 穷数列；
④说法错误，由常数列的定义，可知0，1，0，1，…不是常数列.
A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项
A
A. 此数列不能用图象表示
B. 此数列的图象仅在第一象限
C. 此数列的图象为直线y＝4x－5
D. 此数列的图象为直线y＝4x－5上满足x∈N＋的一系列孤立的点
D
解析：数列{an}的通项公式为an＝4n－5，
它的图象就是直线y＝4x－5上满足x∈N＋的一系列孤立的点，
所以A，C错误，D正确；
当n＝1时，a1＝－1，该点在第四象限，当n≥2且n∈N＋时，an＞0，此时 数列图象在第一象限，
所以B错误.
A. 数列从第3项起各项数值逐渐增大
B. 当n＝5时，an取最大值
C. －14是该数列的项
D. 数列{an}的图象与f（x）＝x2－10x＋10（x∈R）的图象相同
C
解析：对于A，an＝（n－5）2－15，由二次函数的性质可知从第5项起各项 数值逐渐增大，故A错误；
对于B，由an＝（n－5）2－15，可知n＝5时，an取最小值－15，无最大 值，故B错误；
对于C，令an＝－14，可得（n－5）2－15＝－14，解得n＝6或n＝4，
所以－14是数列中的项，故C正确；
对于D，数列{an}的图象是函数f（x）＝x2－10x＋10（x∈R）的图象中横 坐标为正整数的孤立的点，
所以数列{an}的图象与f（x）＝x2－10x＋10（x∈R）的图象不相同，故D 错误.故选C.
第四章 数列
4.1 数列的概念
第1课时 数列的概念及通项公式
某种树木的分枝生长规律如图所示，你能预测到第6年时，树木的分枝 数是多少吗？
年份 1 2 3 4 5 6
分枝数 1 1 2 3 5 ？
讨论交流
问题1 数列的概念是什么？
问题2 什么是数列的通项公式？
问题3 数列与函数之间有什么关系？
1. 数列的概念
（1）一般地，我们把按照 排列的一列数称为数列，数列中 的每一个数叫做这个数列的 .数列的第一个位置上的数叫做这个数列 的第1项，常用符号 表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项， 用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用 表示.其中 第1项也叫做 .
（2）数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为 .
确定的顺序
项
a1
an
首项
{an}
教材知识整理与归纳
知识点一 数列的概念及分类
2. 数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的
个数 有穷数列 项数 的数列
无穷数列 项数 的数列
按项的变
化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列
常数列 各项都 的数列
周期数列 项呈现 变化
有限
无限
大于
小于
相等
周期性
分类标准 名称 含义
按项的变
化趋势 数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的 前一项
思考：如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列吗？
不一定是递减数列.根据数列的分类，数列还可以是常数列、周期数列、摆 动数列.
摆动
A. 数列4，7，3，4的首项是4
B. 数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
D. a，－3，－1，1，b，5，7，9，11一定能构成数列
A
解析：对于A，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确.
对于B，同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误.
对于C，数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误.
对于D，当a，b都代表数（数列的各项都是数）时，能构成数列，
当a，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定的顺 序排列的一列数，故D错误.
知识点二 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子 来表示，那么这个式子叫做这个数列的 .表达形式为an＝f（n）.
思考：任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示吗？
并不是所有数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数 从小到大排在一起构成的数列，至今没有发现统一可行的一个通项公式 表示，圆周率的各位数字构成的数列，还有很多规律性不强的数列也找 不到通项公式.
序号n
通项公式
B
知识点三 数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是 函数，关系如表：
定义域 （或它的 {1，2，3，…，n}）
解析式 数列的通项公式
值域 当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一 列
表示
方法 （1）通项公式（解析法）；（2） ；（3）
特殊的
正整数集N*
有限子集
函数值
列表法
图象法
思考：数列是否可以看作是一个定义在正整数集上的函数？
不可以.数列的项数可以是有限的，也可以是无限的.数列作为一个函数，它 的定义域是正整数集或正整数集的有限子集.
所以，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2， 3，…，n}）上的函数.
A. 数列的通项公式是一个函数关系式
B. 数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C. 数列的项数一定是无限的
D. 根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的一个通项公式
AB
解析：数列的通项公式的概念：将数列{an}的第n项用一个具体式子（含 有参数n）表示出来，这个式子称作该数列的通项公式，故任意一个定义 域为正整数集或者是它的从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项 公式，它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n唯一 确定的，故A正确；
数列的概念与分类
【例1】给出以下数列：①1，－1，1，－1，…；②2，4，6，8，…，1 000；③8，8，8，8，…；④0.8，0.82，0.83，0.84，…，0.810.其中，有穷 数列为②④ ；无穷数列为 ；递增数列为 ；递减数列 为 ；摆动数列为 ；常数列为 .（填序号）
解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④； 摆动数列为①；常数列为③.
②④
①③
②
④
①
③
课堂互动探究与提升
归纳总结：数列的判定方法及其分类
（1）判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的 数；
（2）判断所给的数列是递增数列、递减数列、摆动数列还是常数列，要从 项的变化趋势来分析；而判断它是有穷数列还是无穷数列，则看项的个数是 有限的还是无限的.
其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列 是 ，递减数列是 ，常数列是 ，摆动数列是 .（填序号）
①⑥
②③④⑤
①⑤
②
⑥
③④
解析：利用有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列 的定义逐个分析判断，①为有穷数列且为递增数列；②为无穷递减数列；③ 为无穷摆动数列；④是摆动数列，也是无穷数列；⑤为递增数列，也是无穷 数列；⑥为有穷数列，也是常数列.
根据数列的前几项求通项公式
【例2】观察下面数列的变化规律，用适当的数填空，并写出每个数列的一 个通项公式.
（1）（ ），7，12，（ ），22，27，…；
解：（1）因为12－7＝5，27－22＝5，7－5＝2，22－5＝17，
所以原数列为2，7，12，17，22，27，…，相邻两项的差都是5，
故an＝2＋5（n－1）＝5n－3 .
写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
（1）a，b，a，b，…；
（3）1，－3，5，－7，9，…；
解：（3）数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的奇数，且奇数 项为正，偶数项为负，
故an＝（－1）n＋1（2n－1），n∈N*.
（6）－3，33，－333，3 333，….
数列与函数的关系
【例3】在数列{an}中，an＝n（n－8）－20，请回答下列问题：
（1）这个数列共有几项为负？
解：（1）由an＝n（n－8）－20＝n2－8n－20＝（n＋2）（n－10）＜ 0，解得1≤n＜10，n∈N*，
所以数列{an}的前9项为负数，
也即共有9项为负数.
（2）这个数列从第几项开始递增？
（3）这个数列的项有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由.
解：（3）an＝n（n－8）－20＝n2－8n－20＝（n－4）2－36，
根据二次函数的性质，当n＝4时，an取得最小值－36，
即数列的项有最小值，最小值为－36.
归纳总结：求数列最大（小）项的方法
（1）函数的单调性法：令an＝f（n），通过研究f（n）的单调性来研究 最大（小）项.
数列通项公式的应用
【例4】已知无穷数列1×2，2×3，3×4，…，n（n＋1），….
（1）求这个数列的第10项和第31项.
解：（1）因为无穷数列1×2，2×3，3×4，…，n（n＋1），…，
所以该数列的通项公式为an＝n（n＋1），
所以a10＝10×（10＋1）＝110，a31＝31×（31＋1）＝992.
（2）420是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
解：（2）因为an＝n（n＋1），令an＝420，得n（n＋1）＝420，
解得n＝20或n＝－21（舍去），
所以420是这个数列中的第20项.
（3）证明：60不是这个数列中的项.
归纳总结：求项或判断某数是否为数列的项的方法
（1）如果数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，那 么只要将相应序号代入通项公式中的n，就可以求出数列中的指定项.
（2）判断某数是否为该数列的项，先假定它是数列中的第n项，将此数 代入数列的通项公式中，列出关于n的方程，求出n的值.若求出的n为正 整数，则该数是数列中的项；若方程无解或解不是正整数，则该数不是 数列中的项.
（2）判断数列{an}的增减性，并证明.
B. 数列0，1，2，3，…的一个通项公式为an＝n
C. 数列0，0，0，1，…是常数列
A
当堂检测
2. 有下列说法：
①数列1，3，5，7可表示为集合{1，3，5，7}；
②数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是相同的数列；
③数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，…是同一数列；
④数列0，1，0，1，…是常数列.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
A
解析：①说法错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的；
②说法错误，两个数列的数排列顺序不相同，不是相同的数列；
③说法错误，数列1，3，5，7是有穷数列，而数列1，3，5，7，…是无 穷数列；
④说法错误，由常数列的定义，可知0，1，0，1，…不是常数列.
A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项
A
A. 此数列不能用图象表示
B. 此数列的图象仅在第一象限
C. 此数列的图象为直线y＝4x－5
D. 此数列的图象为直线y＝4x－5上满足x∈N＋的一系列孤立的点
D
解析：数列{an}的通项公式为an＝4n－5，
它的图象就是直线y＝4x－5上满足x∈N＋的一系列孤立的点，
所以A，C错误，D正确；
当n＝1时，a1＝－1，该点在第四象限，当n≥2且n∈N＋时，an＞0，此时 数列图象在第一象限，
所以B错误.
A. 数列从第3项起各项数值逐渐增大
B. 当n＝5时，an取最大值
C. －14是该数列的项
D. 数列{an}的图象与f（x）＝x2－10x＋10（x∈R）的图象相同
C
解析：对于A，an＝（n－5）2－15，由二次函数的性质可知从第5项起各项 数值逐渐增大，故A错误；
对于B，由an＝（n－5）2－15，可知n＝5时，an取最小值－15，无最大 值，故B错误；
对于C，令an＝－14，可得（n－5）2－15＝－14，解得n＝6或n＝4，
所以－14是数列中的项，故C正确；
对于D，数列{an}的图象是函数f（x）＝x2－10x＋10（x∈R）的图象中横 坐标为正整数的孤立的点，
所以数列{an}的图象与f（x）＝x2－10x＋10（x∈R）的图象不相同，故D 错误.故选C.