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第四章 数列
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念及通项公式
我国古代数学著作《孙子算经》中有一个有趣的题目“出门望九堤”： “今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九 雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？”这些数字构成了怎样的一个数列 呢？就让我们通过今天的学习来解决这个问题吧！
知识点一 等比数列的概念
文字语言 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项 的比都等于 ，那么这个数列叫做等比数列，这 个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示 （q≠0）
符号语言
2
同一个常数
公比
q
教材知识整理与归纳
思考：（判断）等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.
错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零，
所以等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不 能为零.
A. 3 B. 2 C. －3 D. －6
A
知识点二 等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与 b的 ，此时，G2＝ .
思考：任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个数都有等比中项吗？
等比中项
ab
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
D
知识点三 等比数列的通项公式
1. 通项公式
首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝ .
2. 等比数列与指数函数的关系
孤立
思考：若数列{an}的通项公式是an＝cqn（c，q∈R，c≠0，q≠0），则 {an}是否一定是等比数列？
A. an＝3n＋1 B. an＝3n
C. an＝3n－1 D. an＝3n
解析：由等比数列的通项公式易得an＝a1qn－1＝3n.
B
等比数列通项公式的基本运算
【例1】（1）已知{an}为等比数列，a5＝8，a7＝2，且该数列的各项都为正 数，求an；
课堂互动探究与提升
（3）若等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q.
解：（3）∵an＋4＝a1qn＋3，a4＝a1q3，又an＋4＝a4，
∴qn＝1对任意的正整数都成立，
∴q＝1.
归纳总结：关于a1和q的两种求解方法
（1）通性通法，根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再 求an，这是常规方法.
在等比数列{an}中.
（1）若它的前三项分别为5，－15，45， 求a5；
（2）若an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
解：（2）依题意，an＝a1qn－1，则a1×53＝625，
所以a1＝5.
（3）已知a1＝3，q＝－2，求an；
解：（3）依题意，an＝3·（－2）n－1.
等比中项及其应用
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
C
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：若1，m，25成等比数列，则有m2＝1×25，解得m＝±5，而m＝5 是m＝±5的充分不必要条件，于是“m＝5”是“1，m，25成等比数列” 的充分不必要条件.
A
等比数列的通项公式的指数型函数特征
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A
归纳总结：等比数列的通项公式与指数型函数的关系
（2）由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下：
③当q＝1时，等比数列{an}为常数列；
④当q＜0时，等比数列{an}为摆动数列.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：根据题意，an＋2＞an成立时，有a1qn＋1＞a1qn－1，结合a1＞0，得qn＋1 ＞qn－1，即qn－1（q2－1）＞0，
①当q＞0时，可得qn－1＞0，
所以q2＞1，即q＞1；
C
②当q＜0时，
若n为偶数，qn－1＜0，可得q2－1＜0，
所以－1＜q＜0，
若n为奇数，qn－1＞0，可得q2－1＞0，
所以q＜－1，
因此不存在q＜0满足an＋2＞an成立.
综上所述，若an＋2＞an成立，则必定有q＞1.
若q＞1，结合a1＞0，可知等比数列{an}是递增数列，必定有an＋2＞an成 立，
因此，若等比数列{an}的首项a1＞0，则“an＋2＞an”是“q＞1”的充要 条件.
等比数列的判断与证明
【例4】数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，求{an}的通项公式，并判断{an}是 不是等比数列.
归纳总结：有关等比数列的判断、证明方法
定义法
等比中项法
通项公式法
注意：（1）证明{an}为等比数列常用定义法.
已知数列{an}的首项a1＝3.
A. 2 B. ±2
D
当堂检测
A. －567 B. 567 C. 451 D. 699
B
A. 8 B. 4
C
A. 191 B. 193 C. 1 023 D. 1 025
D
解析：∵an＋1＝2an－1，
∴an＋1－1＝2（an－1），
∴{an－1}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，
∴an－1＝2n，即an＝2n＋1.
对于A，令an＝2n＋1＝191，解得n＝log2190 N*，故A错误；
对于B，令an＝2n＋1＝193，解得n＝log2192 N*，故B错误；
对于C，令an＝2n＋1＝1 023，解得n＝log21 022 N*，故C错误；
对于D，令an＝2n＋1＝1 025，解得n＝log21 024＝10，是第10项，故D 正确.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
A
1. 重点与难点：（1）等比数列的概念.
（2）等比中项的概念.
（3）等比数列的通项公式及其与函数的关系.
（4）等比数列的判定与证明.
2. 定理与公式或方法等：方程（组）法、构造法、定义法、整体代换法.
3. 误区警示：x，G，y成等比数列 G2＝xy，但G2＝xy /x，G，y成等 比数列.
