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第四章 数列
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第2课时 等比数列的性质及应用
1. 能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质，理解等比数列与项数有 关的性质.（数学运算）
2. 能灵活运用等比数列的性质简化运算，解决简单的数列问题.（数学运 算、逻辑推理）
在等差数列{an}中，存在很多的性质，如
（1）若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq（m，n，p，q∈N*）.
（2）若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
如果该数列为等比数列，能否求出等比数列的类似的性质呢？
知识点 等比数列的性质
1. 推广的等比数列的通项公式
若{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝ ，an ＝ （m，n∈N*）.
教材知识整理与归纳
2. 等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am·an ＝ .
（1）特别地，当m＋n＝2k（m，n，k∈N*）时，am·an＝ .
ap·aq
积
3. 由等比数列构造（衍生）新数列
（1）对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列， 首项为 ，公比为 ；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍 为 数列，首项为 ，公比为 .
（2）在等比数列{an}中，每隔k项（k∈N*）取出一项，按原来的顺序排 列，所得的新数列仍为等比数列.
q
等比
ak
qk
pq
思考：已知{an}是一个无穷等比数列，公比为q.
（1）将数列{an}中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等 比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（1）将数列{an}中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等 比数列.它的首项与公比分别是a1qk，q.
（2）取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数 列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（2）取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数 列，它的首项与公比分别是a1，q2.
（3）在数列{an}中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等 比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数 列的一个猜想吗？
（3）在数列{an}中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等 比数列，它的公比是q11.由此我们可以得到一个结论： 在数列{an}中，每隔 k项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为qk＋1.
A. 若a，b，c成等差数列，则3a－2，3b－2，3c－2成等差数列
B. 若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等比数列
C. 若a，b，c成等比数列，则ln a，ln b，ln c成等差数列
D. 若a，b，c成等比数列，则a2，b2，c2成等比数列
ABD
灵活设元求解等比数列问题
【例1】有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数 与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数.
课堂互动探究与提升
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数 与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
等比数列的性质及应用
A. 4 B. 2
D
A. q＞1 B. a2 024a2 026＞1
C. Tn的最小值为T2 025 D. T4 047＜1
ABD
A. 48 B. 72 C. 144 D. 192
D
A. q≥1 B. T21＜1
C. Tn的最大值为T11 D. a10＋a11＞2
BD
等比数列的实际应用
【例3】某地区要进行沙漠治理， 已知第 1 年该地区有土地 1 万平方千米， 其中 70％是沙漠， 30％是绿洲.从第 2 年起，该地区进行绿化改造，每年把 原有沙漠的 16％ 改造成绿洲， 而原有绿洲的 4％被沙漠所侵蚀后又变成沙 漠. 设第 n 年的绿洲面积为 an 万平方千米.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）从第几年起，绿洲面积占土地面积的比例超过60％？
归纳总结：等比数列实际应用问题的关键是建立数学模型，即将实际问题转 化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题，最后注意数学问题再 转化为实际问题作答.常用的方法有：（1）构造等比数列的模型，然后用数 列的通项公式求解；（2）通过归纳得到结论，再用数列知识求解.
A. 67只 B. 76只 C. 66只 D. 77只
解析：设第n天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂an只，则a1＝6＋1＝7，根 据题意，n≥2时，an＝7an－1，
所以数列{an}是首项为7，公比为7的等比数列，
所以a7＝7×76＝77.
D
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
解析：因为数列{an}是等比数列，又因为a1＝1，a2a3＝a1a4＝8，则a4＝8.
C
当堂检测
A. 20 B. 24 C. 28 D. 32
D
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：因为数列{an}是等比数列，
所以a4a5＝a1a8＝9，
所以log3a1＋log3a8＝log3（a1a8）＝log39＝2.
B
4. （2025·江门阶段练习）《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半， 万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看作“1”，那么第六天剩下的 “棰”的长度为 .
A. a3a6＞1 C. Tn≥T4 D. Tn≤T5
BC
1. 重点与难点：等比数列性质的灵活运用，下标和性质在复杂数列中的转化 （如多项乘积、间隔项成等比数列）.
2. 定理与公式或方法等：方程（组）法、整体代换法.
3. 误区警示：误将等差数列的下标和性质（am＋an＝ap＋aq）错误套用到 等比数列中（等比数列的性质应为am·an＝ap·aq）.
