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第四章 数列
4.3 等比数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式
第1课时 等比数列的前n项和公式
1. 掌握等比数列的前n项和公式及其应用.（数学运算）
2. 会用错位相减法求数列的和.（数学运算、逻辑推理）
3. 能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.（数学运算、 数学建模）
国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要 什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上 2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，…，依此类推，每个格子里放的麦粒 数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒 以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知1 000颗麦粒 的质量约为40 g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以 上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
知识点 等比数列的前n项和公式
1. 等比数列的前n项和公式
教材知识整理与归纳
已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比
公式
注意：
①用等比数列的前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行 分类讨论；
②公式中的n表示的是所求数列的 ；
项数
③公式中，an表示数列的最后一项；
④利用an＝a1qn－1可以实现两个公式的相互转化；
所以Sn可化为Sn＝A－A·qn的形式.
2. 错位相减法
（1）推导等比数列前n项和公式的方法叫错位相减法.
（2）该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项 和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列 {bn ·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法.
思考：如何选择使用两个求和公式？
A. 1 890 B. 2 045 C. 2 730 D. 3 047
C
等比数列前n项和基本量的运算
【例1】在等比数列{an}中.
（1）若a1＝1，a5＝16，且q＞0，求S7；
课堂互动探究与提升
（2）若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；
归纳总结：（1）“知三求二”：在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n， Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程 思想与整体思想在数列中的具体应用.
已知数列{an}是等比数列.
（2）若S4＝1，S8＝17，求an；
等比数列前n项和公式的函数特征
C
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
解析：当n＝1时，a1＝S1＝2λ－2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（λ·2n－ 2）－（λ·2n－1－2）＝λ·2n－1，故当n≥2时，an＋1＝λ·2n＝2·λ·2n－1＝2an，
因为数列{an}为等比数列，易知该数列的公比为2，则a2＝2a1，
即2λ＝2（2λ－2），解得λ＝2.
C
错位相减法求和
【例3】已知{an}为等差数列，{bn}是公比为3的等比数列，且a3＝b2，a9＝ b3.
（1）证明：a1＝b1.
（2）若a1＝1，求数列{anbn}的前n项和Sn.
（1）适用条件：若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，由这两个数 列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项和时，常常采 用将{anbn}的各项乘公比q，并向后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即 可转化为特殊数列的求和，这种数列求和的方法称为错位相减法.
归纳总结：错位相减法的适用条件及注意事项
已知{an}为等差数列，{bn}的前n项和Sn＝2n＋1－2，a1＝b1－1，a4＋a8＝b5.
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
等比数列前n项和公式的实际应用
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
C
“藻井”又称“绮井”“天井”，是中国建筑中一种顶部装饰手法，将建筑 物顶棚向上凹进如井状，四壁饰有藻饰花纹.藻井最上面的顶心放置明镜或 者雕刻蟠龙，所以近代“藻井”也称为“龙井”.
为了更好地传播我国的建筑文化，北京建筑博物馆制作了“藻井冰箱贴”， “藻井”是由五片圆形四周带有“宫殿”的大小相同的强磁金属片重叠摆放 构成，每个金属片上的宫殿个数成等比数列，冰箱贴的最下面一层为“明 镜”，没有宫殿，第二层有4个宫殿，第三层有8个宫殿，则冰箱贴的最上一 层有 个宫殿，一套冰箱贴中共有 个宫殿.
32
60
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
B
当堂检测
A. 210－1 C. 211－2
B
A. 364 B. 362 C. 121 D. 120
A
A. －1 B. 1 C. 2 D. 3
B
A. 18 B. 28 C. 38 D. 48
C
1. 重点与难点：（1）等比数列前n项和公式的推导.
（2）等比数列前n项和公式的基本运算.
（3）等比数列前n项和公式的结构特点.
2. 定理与公式或方法等：公式法、错位相减法.
3. 误区警示：等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比 未知时，要对公比进行分类讨论.
