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第四章 数列
4.3 等比数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式
第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
1. 掌握等比数列前n项和的性质及应用.（数学运算）
2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.（数 学建模、数学运算）
远望巍巍塔七层，红光点点倍加增.
共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
这是明朝著名数学家吴敬在《九章算法比类大全》中编写的一道著名诗 题，文字优美，读来朗朗上口，算来颇具趣味.题目的意思是有一座高大雄 伟的宝塔，共有七层.每层都挂着红红的大灯笼，各层的灯笼数量虽然不知 道是多少，但知道从上到下的第二层开始，每层的灯笼数量都是上一层的2 倍，并知道总共有灯笼381个.问：这个宝塔最上面一层有多少个灯笼？
知识点 等比数列前n项和的性质
（1）性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A（Aq≠0， q≠1），则数列{an}是等比数列.
（2）性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则
q
教材知识整理与归纳
qm
qnSm
思考：若数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－ Sn，S3n－S2n，…成等比数列，这个说法正确吗？
D
等比数列前n项和的性质及应用
课堂互动探究与提升
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
B
归纳总结：等比数列的性质及应用技巧
（1）若数列{an}为非常数列的等比数列，且其前n项和为Sn＝A·qn＋B （A≠0，B≠0，q≠0，q≠1），则必有A＋B＝0；反之，若某一非常数 列的前n项和为Sn＝A·qn－A（A≠0，q≠0，q≠1），则该数列必为等比 数列.
A. 81 B. 71 C. 61 D. 51
C
等比数列奇、偶数项和的性质及应用
A. 8 B. －2 C. 4 D. 2
D
归纳总结：若数列{an}是公比为q的等比数列，则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
等差数列与等比数列的综合应用
A. 32 B. 62 C. 124 D. 248
B
归纳总结：与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法 与技巧
（1）转化思想：将非等差、等比数列转化，构造成等差、等比数列，以便 于利用其公式和性质解题.
（2）等差（比）数列公式和性质的灵活运用.
（3）当题目中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系， 又要关注各数列之间的相互联系.
B
解析：设等比数列{an}的公比为q，q＞0，
因为2a4与a5的等差中项为4，
所以2a4＋a5＝2×4＝8.
又a3＝1，
所以2q＋q2－8＝0，
所以（q＋4）（q－2）＝0，
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A
当堂检测
故选A.
A
A. －2 B. 2
B
A. 30 B. －20 C. －30 D. 30或－20
解得S8＝30或S8＝－20（舍去）.
A
解析：因为an＝n×2n，
所以Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
则2Sn＝1×22＋2×23＋…＋（n－1）×2n＋n×2n＋1，②
（n－1）×2n＋1
＋2
1. 重点与难点：等比数列前n项和的性质及应用、奇偶项的性质及应用.
2. 定理与公式或方法等：公式法、方程（组）法、整体代换法.
3. 误区警示：（1）等比数列前n项和公式中项数的判断易出错.
（2）前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况.
