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第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
1. 理解等差数列前n项和的性质，并学会应用.（数学运算、逻辑推理）
2. 能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.（数学运算）
我们知道，等差数列的前n项和公式是一个关于n的二次函数形式，那 么等差数列的前n项和是否具有二次函数的性质呢？除此之外，它还有什么 样的性质呢？
知识点一 等差数列前n项和的性质
（4）若等差数列{an}的项数为2n，则
教材知识整理与归纳
（5）若等差数列{an}的项数为2n－1，则
因为S2n＋1＝S偶＋S奇＝nan＋1＋（n＋1）an＋1＝（2n＋1）an＋1，S偶－S奇 ＝nan＋1－（n＋1）an＋1＝－an＋1，
联立解得S偶＝nan＋1，S奇＝（n＋1）an＋1，
知识点二 等差数列前n项和的函数特征
等差数列的前n项和公式转移到二次函数的过程
思考：等差数列{an}的前n项和Sn一定是关于n的二次函数吗？
不一定.若等差数列{an}的通项公式为an＝1，则Sn＝n，不是二次函数.
等差数列的前n项和公式与二次函数的关系
A. －14 C. －56 D. －112
C
知识点三 等差数列前n项和Sn的最值
（1）若a1＜0，d＞0，则数列的前面若干项为负数项（或0），
所以将这些项相加即得Sn的最 值.
小
（2）若a1＞0，d＜0，则数列的前面若干项为 （或0），
所以将这些项相加即得Sn的最大值.
特别地，若a1＞0，d＞0，则 是Sn的最小值；若a1＜0，d＜0，则S1 是Sn的最大值.
正数项
S1
思考：若无穷等差数列{an}的公差d＞0，则其前n项和Sn是否存在最大值？
A. 9 B. 10 C. 9或10 D. 10或11
C
等差数列前n项和的性质及应用
C
课堂互动探究与提升
2
归纳总结：等差数列前n项和计算的两种思维方法
1. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝16，S6＝8，则S12＝ .
－80
A. 12 B. 18 C. 30 D. 36
D
等差数列奇数项或偶数项的和
【例2】已知等差数列{an}的项数为奇数，且奇数项的和为44，偶数项的和为 33，则数列的中间项为 ，项数为 .
11
7
归纳总结：公差为d的等差数列{an}中：
（1）若数列共有2n项，则
（2）若数列共有（2n＋1）项，则
已知等差数列{an}共有（2n－1）项，奇数项之和为60，偶数项之和为54， 则n＝ .
10
等差数列前n项和Sn的最大（小）值
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
B
归纳总结：
1. 在等差数列中，求Sn的最大（小）值的方法
（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第1项起到分界点对应项的 各项和为最大（小）值.
（2）借助二次函数的图象及性质求最值.
A. 2 020 B. 2 021 C. 2 022 D. 2 023
D
求数列{｜an｜}的前n项和问题
【例4】（2025·济宁阶段练习）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝ 9，S6＝45.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{｜an｜}的前n项和Tn.
归纳总结：已知等差数列{an}，求{｜an｜}的前n项和的步骤
（1）确定通项公式an；
（2）根据通项公式确定数列{an}中项的符号，即判断数列{an}是先负后正， 还是先正后负；
（3）去掉数列{｜an｜}中各项的绝对值，转化为{an}的前n项和求解，转化 过程中有时需添加一部分项，以直接利用数列{an}的前n项和公式；
已知数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2.
（1）求{an}的通项公式；
（2）数列{an}的前多少项和最大？
又a17＝0，
故数列{an}的前16项或前17项的和最大.
1. （2025·山西晋中阶段练习）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有 奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列的项数为 .
19
当堂检测
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
B
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
B
A. a1＝9 B. S10＝45
C. Sn的最大值为45 D. 满足Sn＞0的n的最大值为19
D
1. 重点与难点：（1）等差数列前n项和的最值问题.
（2）等差数列前n项和性质的应用.
（3）数列{｜an｜}的前n项和.
2. 定理与公式或方法等：公式法、构造法、函数法、整体代换法.
3. 误区警示：（1）忽视最值问题中n的个数.
（2）等差数列前n项和性质应用的前提是数列是等差数列.
