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第四章 数列
4.4＊ 数学归纳法
中国过去有个习俗，子女从父亲的姓氏，如父亲姓王，其子女都姓王. 如果我们知道一个男子姓王，假设他每一代后代都有男子，而且严格按照我 国过去的习俗，那么他的儿子姓什么？孙子呢？玄孙呢？如果他有32代孙， 你能确定他的32代孙的姓吗？如果他有无限代孙呢？
为了保证各代孙辈都姓王，必须严格按照中国过去的习俗，否则无法递 推下去，也就是说要保证第n代孙姓王能推出第（n＋1）代孙也姓王，当然 要求第1个人必须姓王了.
思考：通过这个例子，你能得到什么启示呢？
知识点 数学归纳法
1. 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）归纳奠基：验证当n＝ （n0∈N*）时命题成立；
（2）归纳递推：以“当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立”为条件，推 出“当 时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立， 这种证明方法称为数学归纳法.
n0
n＝k＋1
教材知识整理与归纳
2. 数学归纳法的证明形式
记P（n）是一个关于正整数n的命题，可以把用数学归纳法证明的形式改 写如下：
条件：（1）P（n0）为真；（2）若P（k）（k∈N*，k≥n0）为真，则P （k＋1）也为真.
结论：P（n）为真.
思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1？
不一定.如证明n边形的内角和为（n－2）·180°，第一个值n0＝3.
用数学归纳法证明等式
【例1】用数学归纳法证明：对任意的正整数n，2＋6＋10＋…＋（4n－2） ＝2n2.
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证明：当n＝1时，左边＝2＝2×12＝右边；
假设n＝k（k≥1）时，原等式成立，则n＝k＋1时，
等式左边＝[2＋6＋10＋…＋（4k－2）]＋（4k＋2）＝2k2＋4k＋2＝2（k ＋1）2，因此n＝k＋1时原等式也成立.
综上， n∈N*都有2＋6＋10＋…＋（4n－2）＝2n2.
归纳总结：用数学归纳法证明恒等式的注意点
（1）弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；
（2）明确从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；
用数学归纳法证明不等式
归纳总结：
1. 用数学归纳法证明不等式的关键点
用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活一 些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f（k）＞g（k），求证f（k＋ 1）＞g（k＋1）时应注意灵活运用证明不等式的一般方法（比较法、分析 法、综合法）.具体证明过程要注意以下两点：
（1）先凑假设，作等价变换；
（2）瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析，直到凑出结论.
由①②可知，原不等式成立.
用数学归纳法证明一些数学命题
【例3】用数学归纳法证明：f（n）＝（2n＋7）·3n＋9能被36整除.
证明：（1）当n＝1时，f（1）＝（2×1＋7）×31＋9＝36，能被36整除；
（2）假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时，f（k）＝（2k＋7）·3k＋9能被36 整除，
当n＝k＋1时，f（k＋1）＝[2（k＋1）＋7]·3k＋1＋9
＝3[（2k＋7）·3k＋9]＋18（3k－1－1）
＝3f（k）＋18（3k－1－1）.
因为3k－1－1是偶数，
所以18（3k－1－1）能被36整除.
又因为f（k）能被36整除，
所以f（k＋1）能被36整除，
由（1）（2）知，对一切n∈N*，f（n）能被36整除.
归纳——猜想——证明
（1）求a2，a3，猜想数列{an}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
归纳总结：
1. “归纳——猜想——证明”的一般步骤
（2025·北京房山阶段练习）已知数列{an}满足a1＝0，2an＋1－an·an＋1＝1 （n∈N*）.
（1）计算a2，a3，a4，并推测{an}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你所得到的结论.
B. k2＋1
C. （k＋1）2＋k2 D. （k＋1）k2＋2k2
C
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解析：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，
由于n＝k时，左边＝12＋22＋…＋（k－1）2＋k2＋（k－1）2＋…＋22＋12，
n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋（k－1）2＋k2＋（k＋1）2＋k2＋（k－ 1）2＋…＋22＋12，
比较两式，得等式左边应添加的项是（k＋1）2＋k2.
2. 用数学归纳法证明“已知n为正奇数，求证：xn＋yn能被x＋y整除” 时，第二步假设当n＝k（k∈N*）时命题为真后，需证当n＝ 时 命题也为真.
解析：∵n为正奇数，第二步假设n＝k时命题成立，
∴第三步证明相邻正奇数即n＝k＋2时命题成立.
k＋2
2k
解析：根据数学归纳法的证明步骤可知，第一步验证需证明的命题为当n＝1 时，等式1＋2＋3＝（1＋1）×（2×1＋1）成立.
当n＝1时，等式1＋2＋3
＝（1＋1）×（2×1＋1）成立
1. 重点与难点：（1）数学归纳法的概念；（2）增加或减少的项的个数问 题；（3）用数学归纳法证明等式、不等式；（4）归纳——猜想——证明.
2. 定理与公式或方法等：数学归纳法.
3. 误区警示：（1）对n0取值时易出错；（2）增加或减少的项数易出错.
