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第四章 数列
微专题二 常见的数列求和
类型一 分组求和法
（1）若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差数列或等比数列，则可采用分组求 和法求{an}的前n项和.
【例1】（2025·陕西二模）已知等比数列{an}满足a2＝a1＋2，且a3＝8.
（1）求{an}的通项公式；
【例1】（2025·陕西二模）已知等比数列{an}满足a2＝a1＋2，且a3＝8.
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn.
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2025·四川期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a3＋a4＝46，S8 ＝160.
（1）求{an}的通项公式与前n项和Sn；
（2025·四川期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a3＋a4＝46，S8＝160.
类型三 错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成 的，那么这个数列的前n项和可用错位相减法来求，等比数列的前n项和公 式就是用此法推导的.
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
【例3】（2025·广东阶段练习）设等差数列{an}的公差为d（d＞0），前 n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝3，q＝d＋1，S3 ＝9.
【例3】（2025·广东阶段练习）设等差数列{an}的公差为d（d＞0），前 n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝3，q＝d＋1，S3 ＝9.
（2025·辽宁期中）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝3（Sn＋ 1）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（1）解：由an＋1＝3（Sn＋1），得an＝3（Sn－1＋1）（n≥2），
两式相减，得an＋1－an＝3an（n≥2），即an＋1＝4an（n≥2）.
又{an}是等比数列，故公比q＝4，
由a2＝3（a1＋1）＝4a1，知a1＝3，则an＝3×4n－1.
（2）令bn＝nan，求{bn}的前n项和Tn；
（2025·辽宁期中）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝3（Sn＋ 1）.
（2025·辽宁期中）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝3（Sn＋ 1）.
类型四 并项求和法
求一个数列的前n项和时，可以两两结合求解，称之为并项求和法.形如an＝（－1）nf（n）类型的数列求和，可采用两项合并求解的方法.
A. －25 B. 25 C. －50 D. 50
B
A. 2 400 B. 2 500 C. 2 600 D. 2 700
B
类型五 倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项之和等于首末两项之和， 那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，把正着写与倒着写的两个式子 相加，得到一个常数列的和.等差数列的前n项和公式即是用此方法推导的.
（2）用课本上推导等差数列前n项和的方法，求f（a1）＋f（a2）＋f （a3）＋…＋f（a18）＋f（a19）的值.
（1）求数列{an}的通项公式；
（3）求数列{bn}的前99项和T99的值.
