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第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.2 导数的概念及其几何意义
第1课时 导数的概念
在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的瞬时变化率，例如：
（1）摩托车的运动方程为s＝8＋3t2，其中s表示位移，t表示时间，知道它 在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛.
（2）冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准.
（3）净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本.
问题 上述实例中都涉及某个量的瞬时变化率，这些实际上是某个函数量的 瞬时变化率，它在数学上称为什么？
知识点一 函数的平均变化率
教材知识整理与归纳
A. 2.1 B. 1.1 C. 2 D. 0
A
知识点二 导数的概念
提醒 对导数概念的再理解：①函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存 在；②导数是一个局部概念，它只与函数y＝f（x）在x＝x0及其附近的函 数值有关，与Δx无关；③导数的实质是一个极限值.
极限
可导
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
√
√
2. 设f（x）＝2x＋1，则f'（1）＝ .
2
求函数的平均变化率
【例1】已知函数h（x）＝－4.9x2＋6.5x＋10.
（1）计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③ 0.1；④0.01.
课堂互动探究与提升
（2）根据（1）中的计算，当Δx越来越小时，函数h（x）在区间[1，1＋ Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解：（2）当Δx越来越小时，函数h（x）在区间[1，1＋Δx]上的平均变化 率逐渐变大，并接近于－3.3.
【例1】已知函数h（x）＝－4.9x2＋6.5x＋10.
归纳总结：求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的改变量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）；
BC
A. 在区间[1，2]上的平均变化率最小
B. 在区间[2，3]上的平均变化率大于0
C. 在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大
D. 在区间[4，7]上的平均变化率最大
求函数在某点处的导数
归纳总结：求函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的步骤
（1）求函数值的变化量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）；
导数在实际问题中的意义
【例3】某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c（单位：万元）与产量 x（单位：千台）之间的关系式为c（x）＝－2x2＋7x＋6.求c'（1）与c' （2），并说明它们的实际意义.
c'（1）的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获利3万元；
c'（2）的实际意义：当产量为2 000台时，多生产1台旋切机少获利1万元.
归纳总结：认识瞬时变化率的关键点
（1）极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限.
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
B
当堂检测
A. －1 B. －2 C. 1 D. 2
B
3. 设函数f（x）＝ax＋3，若f'（1）＝3，则a＝ .
3
1. 重点与难点：（1）导数的概念.（2）导数定义的应用.（3）导数在实际 问题中的意义.
2. 定理与公式或方法：定义法.
3. 误区警示：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位.
