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第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.2 导数的概念及其几何意义
第2课时 导数的几何意义
从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在 每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如 图所示，而且物体是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的 方向与向量v的方向相同.
问题 如果设曲线的方程为y＝f（x），A（x0，f（x0）），那么曲线在 点A处的切线的斜率是什么？
知识点一 导数的几何意义
1. 切线的定义
如图，在曲线y＝f（x）上任取一点P（x，f（x）），如果当点P（x，f（x））沿着曲线y＝f（x）无限趋近于点P0（x0，f（x0））时，割线 P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f（x）在点P0处的切线.
教材知识整理与归纳
2. 导数的几何意义
思考：若函数y＝f（x）在点x0处的导数存在，则曲线y＝f（x）在点P （x0，f（x0））处的切线方程是什么？
根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
√
×
2. 曲线C：y＝x2在x＝1处的切线方程为 .
2x－y－1＝0
知识点二 导函数（导数）
1. 定义：当x变化时，y＝ 就是x的函数，我们称它为y＝
f（x）的导函数（简称导数）.
2. 记法：y＝f（x）的导函数记作f'（x）（有时也记作y'），即f'（x）＝ y'＝ .
f'（x）
提醒 函数f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）与导函数f'（x）之间的区别与 联系：（1）区别：①f'（x0）是在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变 量之比的极限，是一个常数，不是变量；②f'（x）是函数f（x）的导函 数，是对某一区间内任意x而言的.（2）联系：函数f（x）在x＝x0处的导 数f'（x0）就是导函数f'（x）在x＝x0处的函数值.
求切线的方程
【例1】已知函数y＝f（x）＝x3.
课堂互动探究与提升
（1）求曲线y＝f（x）在点（－1，－1）处的切线方程；
（2）求曲线y＝f（x）过点E（2，0）的切线方程.
【例1】已知函数y＝f（x）＝x3.
归纳总结：求过点P（x0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方程的策略
（1）当点P（x0，y0）是切点时，切线方程为y－y0＝f'（x0）（x－x0）.
（2）当点P（x0，y0）不是切点时，可分以下几步完成：
第一步，设出切点P'（x1，f（x1））；
第二步，写出过点P'（x1，f（x1））的切线方程y－f（x1）＝f'（x1）（x －x1）；
第三步，将点P的坐标（x0，y0）代入切线方程求出x1；
第四步，将x1的值代入方程y－f（x1）＝f'（x1）（x－x1）可得过点P （x0，y0）的切线方程.
求切点坐标或参数值
【例2】（1）已知抛物线y＝f（x）＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为 45°，则该切点的坐标为 .
5
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已知曲线f（x）＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g（x）＝1－x3在x＝x0处 的切线互相平行，求x0.
与导数的几何意义有关的图象问题
A. f'（xA）＞f'（xB） B. f'（xA）＜f'（xB）
C. f'（xA）＝f'（xB） D. 不能确定
B
解析：由导数的几何意义，f'（xA），
f'（xB）分别是在点A，B处的切线的斜率，由题图可知f'（xA）＜f' （xB）.
A
A B C D
解析：函数f（x）的导函数f'（x）在[a，b]上单调递增，若对任意x1和x2 满足a＜x1＜x2＜b，则有f'（a）＜f'（x1）＜f'（x2）＜f'（b），根据导数 的几何意义，可知函数y＝f（x）的切线斜率在[a，b]内单调递增，观察图 象，只有A选项符合.
归纳总结：函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的几何意义就是该函数曲线在 x＝x0处的切线的斜率，所以比较两个导数值的大小可以根据函数图象，观察函数y＝f（x）在这两点处对应切线的斜率的大小.
A. f'（1）＜f'（2）＜a B. f'（1）＜a＜f'（2）
C. f'（2）＜f'（1）＜a D. a＜f'（1）＜f'（2）
B
A. 4 B. 16 C. 8 D. 2
A
当堂检测
A. h'（a）＝0 B. h'（a）＜0
C. h'（a）＞0 D. h'（a）不存在
解析：由2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1，由导数的几何意义可知h'（a）＝ －2＜0.
B
2
4. 已知f（x）＝x2＋ax，f'（1）＝4，曲线f（x）在x＝1处的切线在y轴 上的截距为－1，则实数a的值为 .
解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f'（1）＝4.又切线在y轴上 的截距为－1，
所以曲线f（x）在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，从而可得切点坐标为 （1，3），
所以f（1）＝1＋a＝3，即a＝2.
2
（2）f（x）在x＝1处的导数.
1. 重点与难点：（1）导数的几何意义.（2）导函数的概念.
2. 定理与公式或方法：方程思想、数形结合.
3. 误区警示：切线过某点，这点不一定是切点.
