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第五章 一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
知识点一 几个常用函数的导数
教材知识整理与归纳
原函数 导函数
f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝
f（x）＝x f'（x）＝
f（x）＝x2 f'（x）＝
f（x）＝x3 f'（x）＝
f'（x）＝
f'（x）＝
0
1
2x
3x2
知识点二 基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝
f（x）＝xα（α∈R，且α≠0） f'（x）＝
f（x）＝ sin x f'（x）＝
f（x）＝ cos x f'（x）＝
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝
f（x）＝ex f'（x）＝
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝
f（x）＝ln x f'（x）＝
0
cos x
－ sin x
axln a
ex
思考：常数函数的导数为0说明了什么？
C. 0
×
×
×
C
3. 曲线y＝ex在点（0，1）处的切线方程为 .
x－y＋1＝0
利用导数公式求函数的导数
【例1】求下列函数的导数：
（1）y＝x0；
（3）y＝lg x；
课堂互动探究与提升
解：（1）y'＝0.
求下列函数的导数：
（1）y＝2 023；
解：（1）因为y＝2 023，
所以y'＝（2 023）'＝0.
（3）y＝4x；
解：（3）因为y＝4x，
所以y'＝4xln 4.
（4）y＝log3x.
利用导数公式解决切线问题
B. 4x－4y＋1＝0
D. 4x＋4y－3＝0
B
（2）已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝ .
归纳总结：利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
（1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.
（2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式 进行求解.
A. y＝4x－3 B. y＝4x＋3
C. y＝－4x－3 D. y＝－4x＋3
解析：因为y'＝4x3，当x＝1时，y'＝4，故切线的斜率为4，切线方程为y＝ 4x－3.
A
A. （1，1） B. （－1，－1）
C. （－1，1） D. （1，－1）
AB
导数公式的实际应用
【例3】某城市近10年间房价年均上涨率为10％，房价p（单位：万元）与时 间t（单位：年）有如下函数关系：p（t）＝p0（1＋10％）t，假定p0＝1， 那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少（精确到0.01万元/年）？ （参考数据：1.15≈1.611，ln 1.1≈0.095）
解：由题意得p'（t）＝1.1tln 1.1，
所以p'（5）＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15（万元/年），
所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年.
从时刻t＝0开始的t（单位：秒）内，通过某导体的电量（单位：库仑）可 以由公式q＝ cos t表示，求第5秒和第7秒时的电流强度（单位：安）.
解：由q＝ cos t，得q'＝－ sin t，
所以q'（5）＝－ sin 5，q'（7）＝－ sin 7，即第5秒和第7秒时的电流强度分 别是－ sin 5安，－ sin 7 安.
D
当堂检测
A. 3 B. 4 C. 8 D. 16
A
A. 若f（x）＝3，则f'（x）＝0
D. 若f（x）＝x，则f'（x）＝1
ACD
4. 曲线y＝ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .
5. 点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.
解：如图，当曲线y＝ex在点P（x0，y0）处的切线与直线y＝x平行时，点 P到直线y＝x的距离最近.
则曲线y＝ex在点P（x0，y0）处的切线斜率为1.
又y'＝（ex）'＝ex，
代入y＝ex，得y0＝1，即P（0，1）.
1. 重点与难点：（1）常用函数的导数.（2）基本初等函数的导数公式及应 用.（3）利用导数研究曲线的切线方程.
2. 定理与公式或方法：方程思想、待定系数法.
3. 误区警示：不化简成基本初等函数.
