4.3.3. 余角和补角（第1课时）
一、内容和内容解析
1. 内容
本节的主要内容是理解余角和补角的定义及性质.
2. 内容解析
本节课是人教版教材《七年级（上册）》第四章《几何图形初步》的第三节.余角和补角是角的相关内容，尤其是直角、平角及两个角的和与差的后续，其概念和性质是后继学习几何与三角函数的基础知识.同一对象的多样化表示及图形语言、文字语言、符号语言三种语言之间的相互转化技能是是进一步学习几何的基本技能.认识余角和补角的基本思路（产生并定义余角和补角→生成余角和补角的性质→用余角和补角的定义与性质解答有代表性的问题）具有普适性.余角和补角概念的形成过程中蕴含的数形结合思想、利用余角和补角的概念和性质解决代表性问题的过程中蕴含的方程思想、研究几何问题的一般过程对发展学生的智力与能力有积极的影响.
（1）初中几何的研究核心是用线段长度与角度大小刻画几何图形形状、大小和位置关系.其中余角和补角起到了角度度量中核心的位置.从知识体系而言，在欧几里得《几何原本》中，“凡是直角都相等”作为第四条几何公理宣称了直角的不变性或空间的齐性，并为第五公理铺路.而第五公理“两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小于两个直角， 则两直线作延长时在此侧会相交”中直接使用互为补角的两个角来进行刻画.在教材的体系中，余角和补角是初中几何中第一次研究两个角之间的特殊关系，互余和互补的性质又是初中几何的第一条性质.章建跃博士指出，数学教学要重视向学生传递“基本套路”的研究意识，而余角和补角的学习过程将为后续知识的学习提供基本套路和方法.
因此，学好余角和补角的概念及其性质，并体会几何知识学习的基本套路是学生完善认知的必要支柱，也是本节课的教学重点.
（2）几何语言包括文字语言、符号语言与图形语言三种形式.A·斯托里亚尔曾经说过：“数学教学就是数学语言的教学”.在初中几何教学中，几何语言的教学是重点和难点.初中生对几何的学习模式是提取自己头脑中已有的认知结构（小学实验几何）相关的知识去对平面几何图形进行定性的认识，去理解几何的概念、定理的本质特征.而原有的认知结构与几何认知结构的相互联系就是通过几何语言来实现的.在几何中每一个概念、命题一般是以文字语言描述、图形语言直观表示、符号语言表明其逻辑关系.此外推理论证几何问题是研究几何的基本方法.推理论证几何必须按照逻辑思维规律，综合运用几何语言来进行推导.所以几何语言是学习推理论证的基础.由于学生从实验几何到推理论证几何的跨度太大，本节中教材并未使用抽象的数学符号，而采用文字语言和符号语言相结合的形式进行推理论证.
因此，余角与补角性质的合情推理和文字语言与符号语言相结合的表达是本节课教学中所要重点突出的数学技能.
（3）数形结合思想和方程思想是数学的重要思想方法.本节课在余角和补角概念的形成过程及利用概念和性质解决代表性问题的过程中能较好的体现上述内容.数形结合是代数和几何中最精彩的一面，利用它可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化.但学生的认知水平有限，还不能完全理解数形结合的思想，故而只能在探究过程中渗透.因此渗透数形结合思想是本节的教学目标.用符号语言和文字语言结合进行图形语言的描述并标明其逻辑关系也是学生刚刚接触的新技能，结合方程思想解决比较复杂的问题在能力上的跨度较大.同时对方程思想的体现也不如在一元一次方程的学习过程中明显.因此方程思想不应作为本节课的重点，仅在习题中有所体现.
二、目标和目标解析
教学目标
（1）认识一个角的余角和补角，会求一个角的余角和补角；掌握余角和补角的性质，并能用它解决相关问题.
（2）通过余角和补角性质的推导和应用，初步理解图形语言和符号语言的相互转化；初步接触和体会演绎推理的方法和表述.
（3）体验数学知识的发生、发展过程，渗透数形结合思想，感受数学的严谨美.
教学重点
余角和补角的概念及其性质.
教学难点
余角和补角性质的应用.
从知识顺序来看，在学习过两角和与差之后，定义两角的和为一个直角或为一个平角没有任何知识障碍，从逻辑顺序来看，有了任意两角和与差的学习过程，再到两角的和为一个直角或平角，是从一般到特殊的学习过程，学生也不难理解和掌握.但学生在刚接触几何时对于从复杂图形中析出基本图形的能力有所欠缺，对于合情说理的必要性认识不足，不能主动的使用余角和补角的性质解决问题.
三、教学问题诊断分析
（1）学生对于相互关系认识不够.互为余角和互为补角是指两个角的特殊数量关系，仅有一个角不能称为补角或余角.
（2）学生容易混淆位置关系与数量关系.互为余角、互为补角反应的是角的数量关系，而不一定有公共顶点或公共边.
（3）学生对于文字语言和符号语言的相互转化不熟悉，难以理解说理的必要性和严谨性，在推理论证过程中表达不清.
（4）学生识图没有经验，难于在复杂图形中发现基本图形原型.
因此，在本节课的教学过程设计中，时刻注意引导学生思维聚焦的方向，通过合理设置有梯度的活动，激发学生的思考，让学生在先行知识的基础上通过自我探究、发现问题，在老师指导下进行推理论证，从而积累数学研究的经验.通过比较学习，加深学生对于余角的认识，同时有利于学生掌握补角的概念和性质.
四、教学过程设计
先行组织者：上一节课中，我们学习了角的比较和运算.通过角的和与差我们可以研究两个角的数量关系，今天我们就将研究两种角的特殊的数量关系.
一、复习旧识
问题1如图摆放两个三角板，则锐角的
和等于多少？为什么？
师生活动： 学生回答问题，教师点评.
设计意图：确认最近发展区，唤醒相关的知识
和经验，利于知识的提取和迁移.
问题2请分别从蓝色和绿色的椭圆中各选取一个角度，
使它们的和为90°.
师生活动：学生回答问题并相互纠正
设计意图：强调和为90°的两角之间“数“的联系.
与问题1分别从数和形两方面突出两角互余的
特征.从学生的已有知识和经验为起点，逐步
引出两角互余的概念，引导学生知识迁移，遵循概念发生的一般规律.
二、生成概念
问题3一般地，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角.下列哪些角互为余角？怎么找一个角的余角？是不是每个角都有余角？
追问1 标有度数的角怎么找到它的余角？
追问2 没标有度数的角怎么办？还有别的办法么？
追问3是不是每个角都有余角？0或90角有余角吗？
师生活动： 学生先在小组内讨论交流，然后派代表在全班交流，教师引导并用电脑演示叠合法的判断过程.
设计意图：度量法和叠合法是角度大小比较的两种重要方法，而这两种方法分别从数和形的角度揭示了互为余角的两个角之间的数量关系，加深学生对于概念属性的理解.
三、应用新知
问题4你能填写下表并说说怎么计算一个角的余角的度数吗？计算的理由是什么？
师生活动：学生代表回答问题，教师点评并引导学生归纳“因为和
所以90.”
设计意图：再次加强互余是两角的数量而非位置关系.加深概念的理解，将符号与概念相联系，形成代数表达，突破文字语言与符号语言的互译，并渗透说理格式.
四、归纳性质
问题5刚才在寻找余角时出现相等的角，它们都是同一个角的余角，你能由此总结出一般规律吗？能说明理由吗？
师生活动：学生代表回答，教师引导并演示.
设计意图：借助观察图中角的关系，从形感知探究性质，
进而从数学式子的变形逐步提高学生从感性到理性的抽象思
维能力，初步感受简单说理，并让学生发现规律并进行简单
合情说理．
五、类比学习
问题6如果能拼成一个平角的两个角称为互为补角，你能仿照余角的学习过程说出补角的定义吗？
问题7你能填写下表并说说怎么计算一个角的补角的度数吗？计算的理由是什么？
问题8你能利用下面的图形，类比余角的性质，概括补角的性质吗？能证明吗？
师生活动：学生相互讨论，学生代表回答问题，
学生互相纠正，教师点评并演示.教师注意引导
学生进行类比，规范学生的语言，并引导学生进
行猜想和归纳.
设计意图：让学生通过类比理解并自主建构
互为补角的定义，避免概念学习的单一性，既重
视概念教学的启发性和艺术性，又激发学生的学
习兴趣和培养学生的数学思维．并且通过纠正学生
发言，规范数学语言，培养学生合情推理的能力.
六、技能提高
例如图，A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？
师生活动： 学生独立完成，教师巡视点评，学生代表
回答问题，教师更正并演示.
设计意图：引导学生在复杂图形中发现基本图形原型，
并根据已有知识结构解决问题．同时加深学生对于简单说
理的认识.借助观察图中角的关系，从形感知探究性质，
进而从数学式子的变形逐步提高学生从感性到理性的抽象
思维能力.
七、课堂小结
问题9 这节课我们主要的学习内容是什么？
师生活动： 学生回答问题，教师演示.
设计意图：通过表格的形式再次呈现
本节课的主要知识，概括是课堂教学的核
心，适时的总结利于学生对知识学习的升
华．
八、布置作业
1.课本第140页 7题，第141页11题，12题，13题.
2.∠α的余角是它的3倍，∠α是多少度？
3.（选做题）一个角的余角比这个角的补角的还小10°，求这个角的余角及这个角的补角的度数.（用两种方法求解）
五、目标检测设计
1. 已知，如图，∠AOD＝∠EOC＝∠BOD＝90°．图中互为余角有_________________，
互为补角有_________________．
设计意图：考察学生对于余角和补角概念的掌握，能否从复杂图形中发现基本图形原型.
2. 一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大70°，求这个角．
设计意图：本题渗透方程思想，考察互余、互补的概念.
3. 已知：（1）如图：∠BCD是∠ACD的余角，∠A是∠ACD的余角，∠BCD与
∠A相等吗？为什么？
（2）如图（2），点D是BC边上的一点，∠ADB是∠C的补角，∠ADC与∠C相等吗？为什么？
（1） （2）
设计意图：考察余角与补角的性质，加强学生合情说理的能力.
课件14张PPT。 4.3.3 余角和补角（第1课时） 一、复习旧识??一、复习旧识10°
20°
35°
42°37’
56°
81°9°
18°
24°
47°23’
80°
90°2.请分别从蓝色和绿色的椭圆中各选取一个角度，使它们的和为90°二、生成概念 一般地,如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角.
下列哪些角互为余角？怎么找一个角的余角？是不是每个角都有余角？37°53°120°γ?三、应用新知试一试：你能填写下表并说说怎么计算一个角的余角的度数吗？计算的理由是什么？77°18°44°34’77°(90-x)°?四、归纳性质刚才在寻找余角时出现相等的角，它们都是同一个角的余角，你能由此总结出一般规律吗？能说明理由吗？如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，且∠1=∠4，那么∠2和∠3相等吗？为什么？?同角（等角）的余角相等五、类比学习1.如果能拼成一个平角的两个角称为互为补角，你能仿照余角的学习过程说出补角的定义吗？?五、类比学习2. 你能填写下表并说说怎么计算一个角的补角的度数吗？计算的理由是什么？?∠α的补角?162°134°34’103°?五、类比学习3.你能利用下面的图形，类比余角的性质，概括补角的性质吗？能证明吗？同角（等角）的补角相等?如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠4，那么∠2=∠3.
六、技能提高例 如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？六、技能提高所以∠COD +∠COE＝ ∠AOC+ ∠BOC 解：因为A，O，B在同一直线上,
所以∠AOC和∠BOC互为补角.又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC∠BOC，＝ (∠AOC+ ∠BOC)＝90°所以， ∠COD 和∠COE互为余角，同理， ∠AOD 和∠BOE，
∠AOD 和∠COE ，
∠COD 和∠BOE也互为余角.七、课堂小结∠1+ ∠2 = 90 °∠1+ ∠2 = 180 °同角或等角的余角相等.同角或等角的补角相等.八、布置作业 1.课本第140页 7题，第141页11题，12题，13题.
2.∠α的余角是它的3倍，∠α是多少度？八、布置作业 3.（选做题）一个角的余角比这个角的补角的 还小10°，求这个角的余角及这个角的补角的度数.（用两种方法求解）
