2026年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟题（二）
数 学
本试卷共10页，23小题，满分150分。考试用时150分钟。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将时间类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.作答选考题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若在复平面内，复数、、所对应的点分别为，，，则的面积为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
2．已知集合，则（· ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，周期为的是
A． B． C． D．
4．命题“对，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的点且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动个单位长度
B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度
D．向左平行移动个单位长度
8．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为9，唯一的众数为10，极差为3，则该组数据的平均数为（ ）
A．8.6 B．8.8 C．9 D．9.2
9．设,若,则的最小值为( )
A．6
B．
C．
D．4
10．质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有，，，四个数字，将这个模型抛掷一次，并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为的倍数”为事件，“数字是的倍数”为事件，“数字是的倍数”为事件，则下列选项正确的是（ ）
A．事件两两互斥 B．事件与事件对立
C． D．事件两两相互独立
11．已知直线a，b和平面α，β，满足，，则是的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）
13． .
14．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与以坐标原点为圆心、为半径的圆交于点，若点的横坐标与纵坐标之和为，则的值为 ．
15．已知梯形ABCD，点P是梯形内一点，且满足，则三角形面积为 ．
16．已知函数．若对任意，使得恒成立，则的取值范围是 ；
17．若点A(cos θ，sin θ)关于y轴的对称点为B，则θ的一个取值为________．
18．将底面直径为4，高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为 .
三、解答题（本大题共4小题，第19,20,21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．已知函数，且．
(1)求的解析式，并写出其定义域；
(2)用函数单调性的定义证明：在上单调递减．
20．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
21．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
(1)求b的值；
(2)若AD平分∠BAC，且交BC于点D，，求的面积．
22．如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点，设平面与平面的交线为．
（1）求证：面；
（2）求证：面；
（3）当平面时，面与交于，求的值．
参考答案
1．【答案】C
【分析】
求出，，三点坐标，根据坐标特征进行求解即可.
【详解】
依题意，，，，
因为，两点的纵坐标相同，所以直线与横轴平行，
所以的面积为，
故选：C
2．【答案】B
【详解】，又，故.
故选：B
3．【答案】D
【详解】根据公式
的周期为，故A错误；
的周期为，故B错误；
的周期为，故C错误；
的周期为，故D正确；
故选D
4．【答案】B
【分析】根据全称命题的否定的定义进行求解即可.
【详解】命题“对，”的否定是，.
故选B.
5．【答案】B
【解析】本题考查函数奇偶性的判断
对于,记,定义域为,则,则不是偶函数,故错误；
对于,记,定义域为,
则,则是偶函数,故正确；
对于,记,定义域为,定义域不关于原点对称,所以不是偶函数,故错误；
对于,记,定义域为,
则,
则是奇函数,故错误,故选.
6．【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解.
【详解】
以为坐标原点，为轴，垂直于方向为，建立平面直角坐标系，
因为，,所以，即，
且所以，
所以，
故选:C.
7．【答案】C
【分析】根据三角图象变换的法则即可求出．
【详解】因为，所以只要把函数图象上所有的点向右平行移动个单位长度，即可得到函数的图象．
故选：C
8．【答案】B
【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算即可.
【详解】这组数据一共有5个数，中位数为9，则从小到大排列9的前面有2个数，后面也有2个数，
又唯一的众数为10，则有两个10，
其余数字均只出现一次，则最大数字为10，又极差为3，所以最小数字为7，
所以这组数据为，
所以平均数为.
故选:B.
9．【答案】D
【详解】设,令,解得,所以,即,当且仅当时,等号成立.
10．【答案】D
【详解】事件包含基本事件“数字为”， “数字为”，
事件包含基本事件“数字为”， “数字为”，
事件包含基本事件“数字为”， “数字为”，
事件可能同时发生，所以事件不是互斥事件，A错误；
事件包含基本事件“数字为”， “数字为”，“数字为”，
事件包含基本事件“数字为”，
所以事件与事件不是互斥事件，故也不是对立事件；B错误；
，，，
事件包含基本事件“数字为”， ，
所以，C错误；
事件包含基本事件“数字为”， 事件包含基本事件“数字为”，
事件包含基本事件“数字为”，
所以，
又，
由独立事件定义可得事件两两相互独立，D正确；
故选：D.
11．【答案】B
【详解】由题意，，
若，则与可能相交也可以，
若，而，从而，
所以是的必要不充分条件.
故选B.
12．【答案】D
【详解】解：当时，，因为，所以，
故当时，不等式无解，
当时，，
令，得，解得.
故选：D.
13．【答案】/0.5 -3
【详解】（1）原式
（2）原式.
14．【答案】/
【详解】设，由题意可知，所以，
所以.
15．【答案】/
【详解】如图：
在梯形中，因为，所以.
取中点为，中点为，
则，.
由得.
所以为中点.
如图：
因为，
所以，，，
所以.
16．【答案】
【分析】根据题意，分类讨论去掉绝对值符号即可求得的最小值为4，即可得到，求解不等式，即可得到结果.
【详解】当时，；
当时，；
当时，；
所以的最小值为4，
因为对任意，使得恒成立，所以，
所以，解得，
所以的取值范围是为.
故答案为：.
17．【答案】(答案不唯一)
【详解】本题考查三角函数的诱导公式、已知三角函数值相等求角．由题意知即
所以θ＋＝π－θ＋2kπ，k∈Z，解得θ＝＋kπ，k∈Z(写出其中之一即可)．
18．【答案】
【详解】由题意欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h，底面半径为r，则，将侧面积表示成关于的函数，再利用一元二次函数的性质求最值.
【详解】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h，底面半径为r，则，
所以.
∴，
当时，的最大值为.
故答案为：.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）待定系数法求出解析式，并得到定义域；
（2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论.
【详解】（1）由已知可得，解得，，
∴．
（2）证明：任取，，且，则，
∵，，且，
∴，，，
∴，即，
∴在上单调递减．
20．【答案】见详解
【详解】解：(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
②由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以，事件M发生的概率P(M)＝.
21．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入已知条件，在利用正弦定理及两角和的正弦公式即可解决问题
（2）设，利用等面积法求出的值，
然后代入公式即可.
【详解】（1）因为，，
所以，
由正弦定理得，
，
由正弦定理得．
（2）设，
因为，
AD平分∠BAC，
所以，
因为，，，
所以，
因为，所以，
所以，
所以的面积．
22．【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）
【详解】（1）由为正三角形且可知.
又因为，且，在中，由余弦定理得
，
所以，所以，所以，即.
所以，又因为平面，平面，
所以面.
（2）因为，平面，平面，所以面.
又面，面面，所以.
又面，面，所以面.
（3）
设，如图，连接交于点，连接.
因为平面，平面，平面平面，所以.
在梯形中，，，，
所以有，所以.
因为，所以有，所以．
因为面与交于，面与交于，，
所以有平面平面.
又面，面，所以.
又，所以，，
所以，.
设梯形高为，则.
由，可知，所以.
又四棱锥与三棱锥高相等，
所以．
所以有．
