2026年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟题（一）
数 学
本试卷共10页，23小题，满分150分。考试用时150分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将时间类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
作答选考题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，若为虚数单位，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，则为（ ）
A． B．
C． D．
3．若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．设命题：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．下列说法正确的个数为（ ）
①为奇函数；
②不存在，使得为偶函数；
③存在非零实数，使得为偶函数．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2CD＝3，AD＝2.若点E，F在线段AB上运动，且EF＝1，则·的最小值为( )
A．5 B． C．4 D．
7．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
8．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的150个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取15个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，经统计得，，则该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）（ ）
A．60 B．1200 C．12000 D．6000
9．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
10．抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件，“3次试验恰有1次正面向上”为事件，“3次试验恰有2次正面向上”为事件，“3次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件，则下列说法错误的是（ ）
A．与不互斥 B．与相互独立
C．与相互独立 D．与互斥但不对立
11．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，，则；
④若，，，，，则．
其中真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）
13．计算： .
14．已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为 .（写出一个即可）
15．在中，为中点，且，若，则 .
16．已知函数，则不等式的解集是 .
17．已知α是任意角，且满足，则常数k的一个取值为 ．
18．已知圆台的下底面半径为，上底面半径为，其侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为 ．
三、解答题（本大题共4小题，第19,20,21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．已知函数.
（1）证明函数在上为减函数；
（2）求函数的定义域，并求其奇偶性；
（3）若存在，使得不等式能成立，试求实数a的取值范围.
20．甲、乙两人加工一批标准直径为50mm的钢球共1500个，其中甲加工了600个，乙加工了900个.现分别从甲、乙两人加工的钢球中各抽取50个进行误差检测，其结果如下：
直径误差 0
从甲加工的钢球中抽到的个数 2 6 8 20 5 6 3
从乙加工的钢球中抽到的个数 1 4 7 24 6 6 2
(1)估计这批钢球中直径误差不超过的钢球的个数；
(2)以甲、乙各自加工的钢球的总数为依据按分层抽样的方法从直径误差为的钢球中抽取5个，再从这5个钢球中随机抽取2个，求这2个钢球都是乙加工的概率；
(3)你认为甲、乙两人谁加工的钢球更符合标准？并说明理由.
21．已知的面积为12.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在.
(1)求b与c的值；
(2)求的值.
条件①：，；条件②：，.
22．如图,几何体 为三棱台.
(1)证明: 平面 .
(2)已知平面 平面 ,求三棱台 的体积.
参考公式:台体的体积 ,其中 分别为台体的上底面面积、下底面面积, 为台体的高.
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据复数的几何意义求解即可.
【详解】由题意可得：对应的点为，该点关于虚轴对称的点为，
所以对应的点为，
.
故选：B
2．【答案】C
【分析】根据并集概念进行计算.
【详解】.
故选：C
3．【答案】C
【详解】（）的周期为和的最小公倍数，
所以为和的最小公倍数，所以，所以，
因为，，所以为250的约数，为5的整数倍，为偶数，
所以，
时，，符合题意；时，，不符合题意；
时，，符合题意；时，，不符合题意；
时，，符合题意；时，，不符合题意；
时，，符合题意；时，，不符合题意；
所以，所以满足条件的正整数的所有可能取值有4个.
故选C
4．【答案】D
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：，，则为：，.
故本题答案为D.
5．【答案】B
【详解】对于①：，
，
当时，
令，则，所以，
所以不是奇函数，故①错误；
对于②：当时定义域为，
且，
所以为偶函数，故②错误；
对于③：若为偶函数，则，
即，
所以，
则，
故当时为偶函数，故③正确.
故选：B
6．【答案】D
【解析】依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(3，0)，C.
不妨设点E在F左边，E(x，0)，则F(x＋1，0)，且0≤x≤2，∴＝，＝(x－，－2)，·＝(x－)(x－)＋4＝(x－1)2＋，故当x＝1时，·的最小值为，故选D.
7．【答案】B
【详解】，则.
故选：B.
8．【答案】C
【分析】
先计算15个样区的野生动物的平均数，然后再乘以地块数计算即可.
【详解】
由题可知：15个样区的野生动物的平均数为
所以该地区这种野生动物数量的估计值为
故选：C
9．【答案】D
【详解】对原条件式转化得＋＝5，
则3x＋4y＝(3x＋4y)
＝
≥＝5，
当且仅当＝且x＋3y＝5xy，
即x＝1，y＝时取等号．
故3x＋4y的最小值为5．
10．【答案】C
【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币3次,共有（正,正,正）,（正,正,反）,（正,反,正）,（反,正,正）,（正,反,反）,
（反,反,正）,（反,正,反）,（反,反,反）,共8种结果,
事件“第一次硬币正面向上”包含（正,正,正）,（正,正,反）,（正,反,正）,
（正,反,反）,共4种结果,事件“3次试验恰有1次正面向上”包含（正,反,反）,（反,反,正）,（反,正,反）,共3种结果,事件“3次试验恰有2次正面向上”包含（正,正,反）,（正,反,正）,（反,正,正）,共3种结果,事件“3次试验全部正面向上或者全部反面向上”包含（正,正,正）,（反,反,反）,共2种结果.对于选项,事件与事件可能同时发生,即（正,反,反）,不是互斥事件,故正确.对于选项,,,则与相互独立,故正确.对于选项,,,则与不独立,故错误.对于选项,和互斥但并事件不是全体事件,故它们不对立,故正确.故选.
11．【答案】C
【分析】由线面平行的性质定理和线线垂直的性质，即可判断①；由线面的位置关系和线面平行的判定定理，即可判断②；由线面垂直的性质定理及面面垂直的性质定理，即可判断③；由面面平行的判定定理，即可判断④.
【详解】对于①，假设，因为，所以，又，
所以，而，所以，①正确；
对于②，若，则或，故②错误；
对于③，若， 则，又，
所以在平面内一定存在一条直线，使，而，
所以，则，③正确；
对于④，因为，所以在平面内一定存在一条直线，使，
又因为，所以，
同理可得在平面内一定存在一条直线，使得，从而有，
又，则与也会相交，
所以由面面平行的判定定理， 可以判断出④是正确的.
故真命题有3个.
故选：C
12．【答案】D
【详解】因为函数在上单调递增，
所以.
故选D
13．【答案】/
【详解】根据指数幂与对数的运算公式，可得：
14．【答案】（不唯一）
【详解】解：因为角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，
所以，
则，
所以，
解得，
当时，.
15．【答案】
【分析】
作出图形，求出关于、的表达式，利用平面向量减法可得出，通过计算可得出、的值，即可求得结果.
【详解】
如下图所示：
为的中点，则，
，则，
所以，，，，
因此，.
故答案为：.
16．【答案】
【分析】分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.
【详解】当时，由得，解得，此时，；
当时，由得，即，解得，此时，.
综上所述，不等式的解集是.
故答案为：.
17．【答案】﹣3（答案不唯一）
【详解】因为，
令k＝﹣，则k＝﹣3．
故答案为：﹣3（答案不唯一）．
18．【答案】
【详解】设圆台的母线长为，
则圆台上底面面积，
圆台下底面面积，
所以两底面面积之和为，
又圆台侧面积，
则，所以，
所以圆台的高为.
故答案为：
19．【答案】（1）证明见解析；（2），奇函数；（3）.
【分析】（1）利用单调性定义证明即可.
（2）根据条件可得，其解集即为函数的定义域，可判断定义域关于原点对称，再根据奇偶性定义可判断函数的奇偶性.
（3）令，考虑在上有解即可，参变分离后利用基本不等式可求实数的取值范围.
【详解】（1），，，
又，
因为，，，故，，，
故即，所以函数在上为减函数.
（2）的满足的不等关系有：即，
故，解得，
故函数的定义域为，，该定义域关于原点对称.
令
又
，
故为奇函数.
（3）令，因为，故.
故在上不等式能成立即为
存在，使得，所以在上能成立，
令，则且，
由基本不等式有，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最大值为，所以a的取值范围为.
20．【答案】(1)1062；
(2)；
(3)乙更符合标准，理由见解析.
【分析】（1）根据题意表格中的数据，分别求出甲、乙加工钢球直径误差不超过mm的个数即可；
（2）先求出比例，结合古典概型的概率计算即可；
（3）观察表格中的数据，即可下结论.
【详解】（1）由题意知，加工直径误差不超过mm的钢球中，
甲：个，乙：个，
所以这批钢球中直径误差不超过mm的钢球一共有个；
（2）甲、乙加工钢球的总数之比为，
所以抽取的5个钢球中，甲占2个，记为A，B，，乙占3个，记为a，b，c，
从5个钢球中抽取的2个钢球的基本事件有：，共十个，
则全是乙加个的基本事件为：，共3个；
所以所求概率为；
（3）乙加工的钢球更符合标准.
理由：甲、乙各加工的50个钢球中直径误差为0mm的个数：甲有20个，乙有24个，；甲生产的钢球中误差达到的个数较多.
21．【答案】(1)选条件①，；选条件②，
(2)选条件①；选条件②
【分析】(1)若选①，由条件可得，由同角关系可求，根据面积公式求，由余弦定理求，若选②，由同角关系可求，根据面积公式求，由余弦定理求；(2)若选①，由正弦定理求，再求，利用两角差正弦公式求，若选②，由正弦定理求，再求，利用两角差正弦公式求，
（1）
选条件①
在中，因为，所以，
因为，所以，
因为
所以
由余弦定理
得，；
选条件②
在中，因为，，所以，
因为，
所以，
由余弦定理，
得，
所以 ，
（2）
选条件①
由正弦定理，所以，
因为，，所以，
所以，所以，
所以 ；
如选条件②，
由正弦定理，
所以，
因为， 所以，
因为，所以，
所以，，所以 ，
所以，
所以，
所以.
22．【答案】见详解
【详解】(1)证明:根据三棱台的几何性质可知, ,1分因为 平面 平面 ,所以 平面 .3分
(2)解:根据三棱台的几何性质可知, .4分过 作 的垂线,垂足为 .
因为平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 平面 .6分
因为 ,所以
,则三棱台 的高为 .7分8分
因为 ,所以 的面积为 .9分
又 ,所以 的面积为 .10分
故三棱台 的体积 .12分
