长沙市 2026 年高三年级模拟考试
数学参考答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
A D B C C B C C
8．【解析】由题意可知，该船空船时不受水深影响．设其卸货前的吃水深度为 d，
在 x h时的安全水深为 y m，则 y d 1.5 8 (x 4)(x 4)（*）．
设 f (x) 2 sin π8 x 5.5(x [4,12])，则 f '(x)
2π cos π8 8 x．当方程（*）对应的
直线与曲线 y f (x)相切时，d 达到最大值．此时，f '(x) π8，解得 x 10或 x 6（舍）；
由 f (10) 4.5，可得 d 1.5 8 (10 4) 4.5，解得 d 3
3
4 ，则 d 5.35m．
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分．
9．【答案】ABD 10．【答案】AC 11．【答案】AC
10．【解析】令 x y 1，则 f (1) 2 f (1)，解得 f (1) 0，即A正确．
令 x y 1，则 f (1) f ( 1) f ( 1) 2 f ( 1) ，解得 f ( 1) 0；令 y 1，则
f ( x) f (x) f ( 1) f (x) ，可得 f (x)为奇函数，即 B错误．
x
f (1)
当 0 x 1时，令 y 1 x 1 2x，有 f (1) xf (x) ，则 f ( x) x f (x) 0，可得x
f (x) 0．而 f (x)为奇函数，则 1 x 0时， f (x) 0，即 C正确．
将 f (xy) f (x) f (y)y x 两边同时乘以 xy，得到 xy f (xy) xf (x) yf (y) ，可设
数学试题与参考答案第 1页（共 7页）
xf (x) ln | x | (x 0) ln | x |，则 f (x) ．当 x 0肘， f (x) ln x，则 f '(x) 1 ln x
x x x2
，
可得 f (x)在 (0,e)上单调递增，在 (e, )上单调递减，此时，x 1不为 f (x)的极值点，
即 D错误．
11．【解析】
|MP | |MC |2 | PC |2 (x 2 2 2M 5) yM 9 (xM 5) 2xM 9 | xM 4 |，可知选
项 A正确．
如下两图所示，过点M ，作直线 x 4的垂线，垂足为H1，作准线 x 1 的垂线，2
垂足为H 12；过点 N，作直线 x 4的垂线，垂足为 H3，作准线 x 的垂线，垂足2
为H4．
根据左图，当点 P在直线 x 4的左侧时，可知 |MN | |MH1 | | NH3 |，为直角梯
形MH1H3N的中位线长的两倍．若M ，N在 x轴的两侧时，|MN |有最小值为 4；若M ，
N在 x轴的同一侧时，当 xP 4时， |MN | 0，即选项 B错误．
如左图，根据以上证明，可知 |MP | |MH1 |， | NP | | NH3 |；再根据抛物线定义，
可知 |MF | |MH2 |， | NF | | NH4 |．从而，△MNF 的周长为
| H H 11 2 | | H3H4 | 2 | 4 ( ) | 9 ，即选项 C正确．2
如右图，当点 P在直线 x 4的右侧时，同理可得 |MF | | NF | |MN | 9．若M ，
N在 x轴的两侧时，而 |MN | |MH1 | | NH3 |，为直角梯形MH1H3N的中位线长的两
倍，则 |MN |有最小值为 8，此时，则△MNF 的周长为 9 2 |MN |，其最小值为 25；
若M ，N在 x轴的同一侧时，当 xP 4时， |MN | 0，△MNF 的周长趋于 9，此时
不存在最小值，即选项 D错误．
数学试题与参考答案第 2页（共 7页）
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．【答案】 (2k 1,0)，其中 k Z ．任写一个满足条件的都可以．
13．【答案】 3
2
【解析】由 AE 1 AC 1
AD，CD AD AC，且 AD 1，可知
2 2
1 1 1 2 2AE CD ( AC AD) (AD AC ) AD 1 AC 1 1 2 1 2 2 3．
2 2 2 2 2 2 2
14．【答案】 3 36
【解析】如图所示，由题意可知，点 A在以 BC为直径的截面圆O '上运动，则
AB2 AC2 4，可得 S 1△ABC AB AC 1 (AB 2 AC 2 ) 1，当且仅当 AB AC 22 4
时取等号．
连接OA，OD，在△OAD中， AD 6，OA OD 2 ，由余弦定理可得
cos OAD 3
2 ，则点D的轨迹是以直线
OA为中心轴的圆锥与该球面的截面圆 E，
其半径DE 6 sin DAE 6 ，且 AE 6 cos DAE 3 22 2 ．
当 AB AC时， S△ABC max 1，此时过点 D，作 DH 平面 ABC于点 H ．根据
对称性，垂足 H 必在 AO 上，易知 OAO 45 ，则 DAH 75 ．当点 D到平面 ABC
的距离最大时，DH AD sin 75 3 32 ，故四面体D ABC的体积的最大值为
V 1 S DH 1 1 3 3 3 3三棱锥D ABC 3 △ABC 3 2 6 ．
数学试题与参考答案第 3页（共 7页）
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分 13分）
【解析】（1）由 sin B sin(A B) sinC，可得 sin B sin(A B) sin(A B) ， 即
sinB sin AcosB cosAsinB sin AcosB cosAsinB，化简 sinB 2cosAsinB，有
cos A 1
2．又 A (0, )，则 A ． .................6分3
（2）记 ABC的角 A,B,C所对的边长分别为 a,b,c，由 AB AC 2，可得
| AB || AC | cos A 2，则 bc 4．
由余弦定理， a2 b2 c2 2bccos A (b c)2 3bc，而 a 3，可得b c 21．
设 ABC的内切圆半径为 r ，则 S 1△ABC bc sin A 1 (a b c)r ，可得2 2
4 3
r bc sin A 2 7 3 ，故 ABC的内切圆半径为 7 32 ．...........13分a b c 3 21 2
16．（本题满分 15分）
【解析】（1）证明：在△ABC中， AC 2， AB 2 2 ， BAC 45 ，由余弦定
理可得， BC2 AC2 AB2 2AB AC cos45 4，即 BC 2，有 BC2 AC2 AB2，
则 BC AC．
由平面 PAC 平面 ABC，平面 PAC 平面 ABC AC，且 BC AC，则 BC 面
PAC；又 PA 平面 PAC，则 BC PA． ................6分
（2）取 AC，AB中点分别为O，M ，连接OP，OM ．易知OP AC；结合（1）
中BC 面PAC，由OM ∥BC，可知OM 平面PAC，则AC ，OM ，OP两两垂直．
如图所示，以O为原点，OA，OM ，OP分别为 x轴， y轴， z轴的正方向，建
立空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，C( 1,0,0)， B( 1,2,0)，
P(0,0, 3)，可得CP (1,0, 3)，AP ( 1,0, 3) ，AB ( 2,2,0)．
设CQ CP ( ,0, 3 )(0 1) ，则Q( 1,0, 3 )，
且 BQ ( , 2, 3 )，可得
cos AP,BQ A P BQ 2 ．由
| AP | | BQ | 2 4 2 4
5 1 1 | cos AP,BQ | ，解得 或 2 2（舍），则Q(
1 ,0, 3)，且 AQ ( 3 ,0, 3)2 2 2 2 ．10
故点Q到直线 AB的距离 d | AQ |2 ( AQ AB )2 3 9 30 ．..............15分
| AB | 8 4
数学试题与参考答案第 4页（共 7页）
17．（本题满分 15分）
【解析】依题意，直线 l的斜率存在．设直线 l的方程为 y kx t，联立直线 l与
y kx t
双曲线方程，即 2 ，可得 (b2 k 2 )x2 2ktx t2 b2 0．
x2
y 1
b2
由 4k 2t2 4(b2 k 2 )(b2 t2 ) 0，可得 k2 t2 b2 ，且 x x 2ktM N b2 k2
，
x x b
2 t2
M N b2 k2
． ..................4分
b2 t2（1）当 k 2时，结合题意可知 x x 2M N b2
0，即 b 4 0，解得 b 2或
4
b 2，又b 0，故 b的取值范围是 (2, )． ..................6分
y y
（2）直线 AM 的方程为 y M (x 1)，令 x 0，则 y Mx ，即M 1 xM 1
y
y yP M ．同理， yQ
N ．
xM 1 xN 1
| PT | |QT | | y
y kx t
因此， M t | | Nx 1 x 1 t | |
kx t
M t | | N
M N xM 1 xN 1
t |
2 xM xN 2 x x (k t) | | (k t) | M N | t2 b2 ．而 2(x 1)(x 1) x x (x x ) 1 | AT | t
2 1，
M N M N M N
则 t2 1 t2 b2，解得b 1．故双曲线C的方程为 x2 y2 1． .................15分
18．（本题满分 17分）
【解析】（1）A ，B {1}； A {1}，B ；A ，B {2}； A {2}，B ；
A {1}， B {1}； A {2}， B {2}． .............3分
（2）根据集合U 的子集个数，可知集合 A的可能情况有 2n 种；同理，集合 B也
可能有 2n种．因此，两集合的所有可能情况数为 2n 2n 4n．
X 的所有取值为 0，1，…，n．当 X k (k 0,1, ,n)时，先从 n个元素中选出 k
个元素，记为 x ki (i 1,2, ,k)，有Cn 种可能情况；对于这 k个元素中的每个元素
xi (i 1,2, ,k)，满足 xi A B时，只可能满足 xi CAB， xi CBA， xi A B这三
种情况之一，有3k 种可能情况．
C k 3k
因此，事件“ X k (k 0,1, ,n)”的所有可能情况数为C k kn 3 ，则 P(X k) n4n
．
C kn 3k由 P(X k) C k (3 k 1 n kn n ，可知4) (4) X B(n,
3)，则 E(X ) 3n．.....10分
4 4 4
数学试题与参考答案第 5页（共 7页）
（3）若m 0，由 P(X 0) 1n ， P(X 1)
3n
n ， P(X 1) P(X 0)，矛盾．4 4
n 1
若m n，由 P(X n 1) n 3 ， P(X n) 3
n
n n ，可知：当 n 2时，满足4 4
P(X n 1) P(X n) ；当 n 3时，满足 P(X n 1) P(X n) ．
Cm m m 1 m 1n 3 Cn 3
P(X m) P(X m 1) 4n 4n 3Cm Cm 1
若1 m n n n，由 ，即 ，即 ，
P(X m) P(X m 1) Cm3m Cm 13m 1 Cm 3Cm 1n
n n n
4n 4n
解得 3n 1 m 3n 3 ．
4 4
E(X ),n 4 j;
E(X ) 1 ,n 4 j 1;
4
从而，m 1 其中 j为自然数． .....17分 E(X ) ,n 4 j 2;
2
E(X )
1或E(X ) 3,n 4 j 3.
4 4
19.（本题满分 17分）
【解析】函数 f (x)的定义域为 (0， )．当 0 x 1时， f '(x) 1 ax 2
x a
2 ；x x
当 x 1时， f '(x) 1 a x ax 2 2 ． ................2分x x
（1）若 a =1，当 x (0,1]时， f (x) ln x 1x ，可得 f (x)单调递减；当 x (1, )
时， f (x) x 12 0，可得 f (x)单调递增．故 f (x)的最小值为 1． ................5分x
（2）当 x (0,1)时，若 a 1， f '(x) 0，则 f (x)单调递增．若 1 a 0，当
x (0, a)时， x a 0，即 f '(x) 0，则 f (x)单调递增；当 x ( a,1)时， x a 0，
即 f '(x) 0，则 f (x)单调递减．若 a 0， f '(x) 0，则 f (x)单调递减．
当 x [1, )时，若 a 0， f '(x) 0，则 f (x)单调递增．若 0 a 1， f '(x) 0，
则 f (x)单调递增．若 a 1，当 x (1,a)时， f '(x) 0，则 f (x)单调递减；当 x (a, )
时， f '(x) 0，则 f (x)单调递增．
综上所述，当 a 1时， f (x)在 (0， )上递增；当 1 a 0时， f (x)在 (0, a)上
递增，在 ( a,1)上递减，在 (1, )上递增；当 0 a 1时，f (x)在 (0,1)上递减，在 (1, )
上递增；当 a 1时， f (x)在 (0,a)上递减，在 (a, )上递增． .................10分
数学试题与参考答案第 6页（共 7页）
（3）若 f (x)有且仅有三个不同零点为 x1，x2 ，x3．由（2）可知，必有 1 a 0，
假设 x1 x2 x3 ，且 0 x1 a x2 1 x3．
当 x 0时， f (x) x ln x ax ；当 x 时， f (x) ln x
a
x ．由
f (x)极小值 f (1) a 0， f (x)极大值 f ( a) ln( a) 1 0，解得
1
e a 0．
先证不等式： x1 x2 2a．
x x x
由 ln x a1 ln x
a 1 2 1
x 2
x ，可得
a ln
x x x ，则只需证：1 2 2 1 2
x1 x2 x x 1 2 ln x1 ln x1 1 ( x1 x 2 )
2 x ，即证： ．2 x1 x2 x2 2 x2 x1
令 t
x
1 ，则 0 t 1x ，不等式转化为证明 ln t
1
2 (t
1
t )．2
1 1 2令 g(t) ln t 2 (t t )(0 t 1)，则 g '(t)
1 1 1 (t 1)2 0 ，可得 g(t)在t 2 2t 2t2
(0,1)上单调递减，有 g(t) g(1) 0，即 ln t 12 (t
1
t )成立．
再证明不等式： x3
1 2a
1 ． a
由于 x 1 2a 1 a3 1 a 1 1，且 f (x)在 (1, )上单调递增，则只需证： a
f (1 2a1 a ) 0．
令 (x) ln x x 1(x 1) ，则 '(x) 1x 1
1 x
x 0，可得 (x) (1) 0，即
ln x x 1 f (1 2a) ln1 2a (1 a)a 1 2a 1 (1 a)a
3
．而 a 01 a 1 a 1 2a 1 a 1 2a (1 ， a)(1 2a)
则 x 1 2a3 1 ． a
2
综上，可得 x1 x2 x3 2a
1 2a 2a 4a 1
1 a 1 ． ..................17分 a
数学试题与参考答案第 7页（共 7页）长沙市 2026 年高三年级模拟考试
科目：数学
（试题卷）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把
答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案编号。回答非选择题时，将
答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 本试卷共 4 页，如缺页，考生须及时报告监考
老师，否则后果自负。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
姓 名___________________
准考证号___________________
祝你考试顺利！
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数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将
答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．请保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题 p : x R ， cos x 1，则 p为
A． x R ， cos x 1 B． x R ， cos x 1
C． x R ， cos x 1 D． x R ， cos x 1
2．复数 5 的共轭复数是
1 2i
A． 1 2i B． 1 2i C．1 2i D．1 2i
3．已知 a b 6，若在 a,b之间插入 3个数 x1， x2 ， x3，使得这 5个数成等差数列，
则 x1 x2 x3
A．6 B．9 C．12 D．18
4．“ x 0”是“ x 1x 2
”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知椭圆的长轴长、短轴长与焦距依次成等比数列，则其离心率为
A． 3 B． 3 1 C． 5 15 D．
5 1
2 2 2
(2a 1)x 4a, x 1,
6．已知函数 f (x) 若 f (x)是R 上的单调递增函数，则实数 a的
x2 ax 5, x 1.
取值范围是
A． (1 ,1) B． (1 ,1]2 2 C． (
1 ,2] D．[1 , )2 2
数学试题第 1页（共 4页）
7．已知某四棱锥的一条侧棱垂直于底面，其底面为平行四边形，且 8条棱的长度构
成的集合为{1, 2, 3}，则满足条件的四棱锥的个数为
注：若两个几何体经过调整位置后重合或者关于某平面对称，算同种形状．
A．2 B．4 C．6 D．8
8．根据预报数据，某港口某一天的水深 y（单位：m）与时间 x（单位：h）的关系
可以用函数 y 2 sin π8 x 5.5来近似描述．现有一艘货船准备在这天 4:00进入港
口并及时卸货，已知该船空船时的吃水深度（船底与水面的距离）为 2.5m，在卸
货过程中，其吃水深度以 π8 m / h的速度减少，且安全间隙（船底与海底的距离）
为 1.5m．若要保证该船能在当天安全驶出港口，则其卸货前的吃水最大深度约为
A． 3.85m B． 4.85m C．5.35m D． 5.40m
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分．
9．在军训打靶测试中，四位同学各射靶 5次，分别记录每次射击所命中的环数．根据
这四名同学射击成绩的统计结果，可以判断出可能出现 10环的是
A．平均数为 8，极差为 3 B．中位数为 8，平均数为 8
C．中位数为 7，众数为 9 D．平均数为 7，方差为 2.4
10．已知函数 f (x)的定义域为 ( ,0) (0, ) f (xy) f (x) f (y) ，且 y x ．当 x 1时，
f (x) 0，则
A． f (1) 0 B． f (x)是偶函数
C．当 1 x 0时， f (x) 0 D． x 1为 f (x)的极值点
11．已知直线 l与圆C : (x 5)2 y2 9相切于点 P，与抛物线 E : y2 2x相交于M ，N
两点，点 F 为抛物线 E的焦点．下列说法正确的是
A．记点M 的横坐标为 xM ，则 |MP | | xM 4 |
B． |MN |的最小值为 4
C．当点 P在直线 x 4的左侧时，△MNF 的周长为定值 9
D．当点 P在直线 x 4的右侧时，△MNF 的周长有最小值 25
数学试题第 2页（共 4页）
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．函数 f (x) tan( π x π）4 4 的一个对称中心为 ．
13．在△ ABC中， AD 1 AB，点 E为CD中点．若 AC 2， AB 3，则3
AE CD ．
14．已知点 A， B，C，D均在半径为 2 的球O的球面上， AB AC， BC 2，
AD 6，则四面体D ABC的体积的最大值为 ．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分 13分）
已知 ABC的三个内角 A， B，C满足 sin B sin(A B) sinC．
（1）求 A；
（2）若 AB AC 2，且 BC 3，求 ABC的内切圆半径．
16．（本题满分 15分）
如图，在三棱锥 P ABC中，平面 PAC 平面 ABC，△PAC是边长为 2的等边
三角形， AB 2 2 ， BAC 45 ．
（1）证明： BC PA；
（2 5）若线段 PC上的点Q满足直线 AP与直线 BQ所成角的余弦值为 10 ，
求点Q到直线 AB的距离．
数学试题第 3页（共 4页）
17．（本题满分 15分）
2
已知 A为双曲线C : x2 y2 1(b 0)的右顶点，过点T (0,t)的直线 l与双曲线C的b
左右两支分别相交于M ， N两点．
（1）若直线 l的斜率为 2，求 b的取值范围；
（2）设直线 AM ， AN分别与 y轴相交于 P，Q两点，若 | AT |2 | PT | |QT |，
求双曲线C的方程．
18．（本题满分 17分）
已知集合U 含有 n个元素，其中 n 2，先后两次随机、独立地选取集合U 的两个
子集，记为 A与 B．设 X 为集合 A B中元素的个数，
（1）若U {1,2}，且 X 1，请列举所有满足条件的 A和 B；
（2）求随机变量 X 的数学期望 E(X )；
（3）设 P(X k)在 k m处取得最大值，试建立m与 E(X )的函数关系．
19．（本题满分 17分）
已知函数 f (x) ln x a ．x (a 0)
（1）若 a 1，求 f (x)的最小值；
（2）讨论 f (x)的单调性；
2
（3）若 f (x)有且仅有三个不同零点为 x1，x2 ，x3，证明：x x x
2a 4a 1
1 2 3 1 ． a
数学试题第 4页（共 4页）
